Шпаргалка по "Статистике"

1.Случайные  события. Пространство  элементарных событий.  Алгебра событий.

Влияние случ.факторов приводит к тому,что мы постоянно  получаем разл.значен-я(пр

 измерении  каких-либо предметов)

Случайные соб-я  – это события,которые могут  произойти,а могут и не произойти.

Серия экспериментов- последов-ть экспериментов,проводимых в неизменных условиях.

А-случ.соб-е

n раз повторяется эксперимент. n_A –частота появления соб.А в n экспериментах.

Относит.частота  h_A=  n_A/n – статистич.опр-е(отношение числа экспериментов А к числу всех благопр.исходов)

Р(А)-вер-ть соб.А.

Такая процедура  назыв.частотное определение вер-ти соб.А

Пространство  элемент.соб-тий

 Пример. Подбрасывание  игр.кости 1 раз. 

w1-выпала «1», w2- выпала «2»... w6-выпала «6»

Соб.А –выпад.четного  числа очков. А={ w2; w4; w6 }

Соб.В-вып.числа  очков кратных 3. В={ w3; w6 }

Множество W всех элемент.исходов данного эксперимента назыв.

 пространством  элементарных событий. W={ w1; w2 ... }

Операции  над случ.событиями:

диаграмма Эйлер-Венна

А) событие A

Б) Суммой событий А и В назыв.соб. А+В,состоящее из элемент.соб, принадлежащ.хотя бы одному из соб.А или В.

В) Произведением  событий А и B назыв.соб. АВ,сост.из элемент.соб-й,принадлеж.одновременно А и В.

Г) Разностью  соб.А иВ назыв.соб-е А-В,сост.из элем.соб-й,принадлежащих А и не принадлеж.В.

 Д) Соб.Ā=w/А назыв. противоположным событию A(или дополн.к соб.А)

Е) Несовместимые  события (если они не могут произойти  одноременно), если  АВ=Æ

Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них  обязательно происходит в результате испытания.

З) Если из наступления  соб.А следует наступл.В,т.е соб.В  есть следствие А,то это записыв.так: АÌВ.

Алгебра событий:

Система F подмножеств W,удовлетворяющая условиям:

1)WÎF; 2) из того,что А,ВÎF,следует,что А+ВÎF, ABÎF, Ā,B(с черточкой)ÎF называется алгеброй событий.

Т. о., алгебра  F-это система подмножеств W,котор.замкнута относ-но конечного числа опер-й слож-я, умн-я и доп-я.

Если усл-е 2) выполн.для счетного числа соб-й,то алгебра F называется s-алгеброй(сигма-алгеброй) 

2 Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.

Пусть W содержит либо конечное, либо счетное число элемнт.соб-й: W={w1,w2,..}

F-набор все подмножеств W. F явл. s-алгебра.

Каждому эл.исходу w_i (i=1,2,..) поставим в соот-е неотриц.число P(w_i)=p_i, такое что å p_i=1 и 0≤p_i≤1.

Следствия: P(A)=å p(w_i), 0≤P(A)≤1, P(W)=1, P(Æ)=0, P(Ā)=1-P(A), P(A+B)≤P(A)+P(B) или P(A+B)+P(A)+P(B)-P(AB)

Вероятностное прост-во (W,F,P) называется в этом случае дискретным. 

3. Классическая схема равновероятных событий.

Если W сожержит конечное число эл.соб-й,например N соб-й, причем все эл.исходы равновозможны,т.е. p(w_i)=1/N, i-1,2,..,N, то P(A)=|A|/|W|,

где |A|-кол-во эл.исходы,составляющих множество А, а |W|- число всех эл.исходов данного эксперимента. |W|=N

Такая ф-ла назыв. классическим определением вер-ти (Если эл.исходы равновозможны, то вер-ть соб.А равна отношению числа исходов,благоприятствующих соб.А, к числу всех эл.исходов) 

4 Теорема сложения и умножения вероятности.

P(A/B)- условная  вероятность события A при условии , что соб.B произошло.

усл.вер-ть P(A/B)

усл.вер-ть P(B/A) 

-теорема  умножения для зависимых соб.А  и В. 

Если соб.А  не влияет на вер-ть соб.В и наоборот,то они независимы:

P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) => P(AB)+P(A)*P(B) – вер-ть произ-ния соб-й равна произ-нию вер-тей.

P(ABC)=P(AH)*P(A/H)=P(BC)*P(A/BC)=P(C)*P(B/C)*P(A/BC) (ВС обозначили за Н)

 Опр-е независимости  для А,В и С- соб. А,В и  С назыв.независимыми в совокупности,если  выполн.след усл-я:

1. Если попарно независимы P(AB)=P(A)*P(B), P(BC)=P(B)*P(C), P(AC)=P(A)*P(C).
2. P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)

P(A+B)=P(A)+P(B) вер-ть суммы двух несовместных событий

- ф-ла сложения вер-тей двух  совместных событий

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) вер-ть суммы трех несовместных соб-й

 Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. 

5. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Формула полной вероятности

      Пусть Н₁,Н₂…Н_k подмножества пространства эл.соб-й W, такие что:

1. H_i H_j=Æ, i≠j и I,j=1,2,…,k
2. H1+H2+…+H_k = W

В этом случае говоря,что сис-ма подмножеств  Н₁,Н₂…Н_k образует разбиение множества W. Для любого соб.А,являющего подмножеством W, верна ф-ла полной вер-ти

P(A)=

События H_i называются гипотезами по отношению к соб.А,а вер-ти Р (H_i) трактуются как доопытные вер-ти гипотез, причем å Р (H_i)=1.

       Формула Байеса

     Если  известно, что соб.А произошло, то априорные(после опыта) вер-ти гипотез  H_i ,очевидно, должны быть пересчитаны, так как появилась доп.информация. Апостериорные вер-ти гипотез H_i ,при условии, что соб.А произошло,вычисляются по ф-ле Байеса:

      ,i=1,2,…,k,

   где Р(А) определяется по ф-ле полной вер-ти.  
 

истор.процесса – локальная цивилизация – общность людей, объединенных дух.традициями и проживающие на одной тер-и. Выделяет первичные, вторичные и третичные цивилизации. Свыше 20 цив-ций. Сейчас основных 8 (западно-христ, православно-христ, иудейская, исламская, индуистская, дальневосточная, буддистская, конфуцианская).  4 этапа развития: генезис, рост, упадок и дезинтеграция.

Недостатки: не принимает во внимание качественные различия хозяйственных систем в  современном мире.

- теория  единой цивилизации

- теория столкновения цивилизаций 

6. Основные вопросы  экономики и способы  их решения различными  экономическими системами:  традиционной, административно-плановой, рыночной, смешанной.  Основные черты  ,преимущества и  недостатки экономических  систем.

Дискретные  случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.

Пусть (W,F,P) – дискретное вероятностное пространство.

Числовая ф-ция  Х=Х(W) определенная на пространстве эл.соб-й Wназывается дискретной случ.величиной.

Сис-ма равенств: P[x=x_i]=р_i, ш=1,2…n,.. определяет распределение вероятностей дискретной слу.величины Х. Очевидно,что р_i≥0, å р_i=1 

 Простейшей  формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.

   Графической интерпретацией ряда  распределения является многоугольник распределения.

 Функция распределения случайной  величины.

 Для непрерывных случайных величин  применяют такую форму закона распределения, как функция распределения.

 Функция распределения случайной величины Х называется ф-ция F(х),  определяемая для любого действительного зн-я х,как вер-ть события [Х<х], т.е. F(х)=Р[Х<х].

 Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. 0≤F(х)≤1
2. F(x)- неубывающая ф-ция х, если если х₂>х₁,то F(х₂)>F(х₁)

 Функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.

Числовые  характеристики случайной  величины.

 Математическое  ожидание случайной  величины.

 Пусть Х- дискретная случ.величина,принимающая зн-я х₁,х₂.. с вероятностями р₁,р₂.. Математическое ожидание M[x] случ.величины X определяется формулой

  =m

 Свойства  мат.ожидания:

1. с=const

M[c]=c

2. M[c*X]=c*M[X]
3. M[c+X]=c+M[X]
4. M[X+Y]=M[X]+M[Y] мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий

 

Х- некая дискр.случ.вел-на. Рассмотрим h(X) – функцию от Х.

Примеры h(X): x², sin x, ln x (если х>0)

Мат.ожидание  функции случ.вел-ны:

 Дисперсия

 Дисперсия (D[x]) характеризует разброс случ.величины Х относительно ее математического ожидания и вычисляется:

 

 Дисперсия случайной величины всегда величина положительная.

 Среднеквадратическое  отклонение.

  

 Св-ва дисперсии:

1. D[X]≥0
2. D[c]=0, если случ.вел-на Х постоянна
3. D[X]=0
4. D[cX]=c²D[X], где с=const
5. D[X+c]=D[X]
6. D[X+Y]=D[X]+D[Y]