Шпаргалка по "Статистике"

№1.Случайные события.  Пространство элементарных событий. Алгебра Событий.

Влияние случ.факторов приводит к тому,что  мы постоянно получаем разл.значен-я(при  измерении каких-либо предметов) Случайные  соб-я – это события,которые  могут произойти,а могут и не произойти.

Серия экспериментов- последов-ть экспериментов, проводимых в неизменных условиях. А-случ.соб-е n раз повторяется эксперимент. n_A –частота появления соб.А в n экспериментах. Относит.частота h_A= n_A/n – статистич.опр-е (отношение числа экспериментов А к числу всех благопр.исходов) Р(А)-вер-ть соб.А.

Такая процедура назыв.частотное определение  вер-ти соб.А Пространство элемнт.соб-тий

Пример. Подбрасывание игр.кости 1 раз.

А₁-выпала «1»,A₂ -выпала «2», A₆ выпала «6»

А–выпад.четного  числа очков.А={А₂, А₄, А₆} В-вып.числа очков кратных 3. В={ В₃, В₆ }

Множество W всех элемент.исходов данного эксперимента назыв. пространством элементарных событий. W={ ω_1,,ω₂,…}

Операции  над случ. событиями:Диаграмма Эйлер-Венна

А) событие A Б) Суммой событий А и В назыв. соб. А+В,состоящее из элемент.соб, принадлежащ. хотя бы одному из соб.А или В.

В) Произведением событий А и B назыв. соб. АВ ,сост. из элемент. соб-й, принадлеж. одновременно А и В. Г) Разностью соб.А и В назыв. соб-е А-В, сост.из элем. соб-й, принадлежащих А и не принадлеж. В. Д) Соб.Ā = w/А назыв. противоположным событию A (или дополн.к соб.А) Е) Несовместимые события (если они не могут произойти одноременно), если АВ=Æ Ж) События образуют полную группу, если хотя бы одно из них обязательно происходит в результате испытания. З) Если из наступления соб.А следует наступл.В,т.е соб.В есть следствие А,то это записыв.так: АÌВ. Алгебра событий: Система F подмножеств W,удовлетворяющая условиям: 1)WÎF; 2) из того,что А,ВÎF,следует,что А+ВÎF, ABÎF, Ā,B(с черточкой)ÎF называется алгеброй событий. Т. о., алгебра F-это система подмножеств W, котор. замкнута относ-но конечного числа опер-й слож-я, умн-я и доп-я. Если усл-е 2) выполн.для счетного числа соб-й,то алгебра F называется s-алгеброй(сигма-алгеброй)

W-постоянное событие;Æ– невозможное событие; Ā-отрицательное событие.

№2.Вероятность в дискретных пространствах элементарных событий.

Пусть W содержит либо конечное, либо счетное число элемнт.соб-й: W={w1,w2,..} F-набор все подмножеств W. F явл. s-алгебра. Каждому эл.исходу w_i (i=1,2,..) поставим в соот-е неотриц.число P(w_i)=p_i, такое что å p_i=1 и 0≤p_i≤1. (аксиоматическое определение) Следствия: P(A)=å p(w_i), 0≤P(A)≤1, P(W)=1, P(Æ)=0, P(Ā)=1-P(A), P(A+B)≤P(A)+P(B) или P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Вероятностное прост-во (W,F,P) называется в этом случае дискретным.

 
 
 
 

№9.Производные функции вероятности.

G(z)=P0+P1z+P2z+…+Pkzk…=M[zk]  

G’(z)=P1+2P2z+3P3z2+…+ KPKzk-1  G’(1)=M[x]=m

G”(z)=2P2+6P3z+…+k(k-1)PkZk-2  G”(1)=∑k2Pk - ∑kPk

Биномиальное  распределение

X=0,1,2,…n –бином-ое распредел.  Pk=P[x=k]=CknPkqn-k  G(z)=P0+P1z+P2z+…+Pkzk…

=∑ CknPkqn-kzk = ∑ Ckn(pz)kqn-k = (pz+q)n

G’(z)=n(pz+q)n-1p  G’(1)=M[x]=np 

G”(z)=n(n-1)( pz+q)n-2p2 G”(1)=n(n-1)p2

M[x]=np = ∑kPk        D[x]=npq = ∑(k-np)2Pk

Распределение Пуассона 

Pk=P[x=k]= (λk\k!)e-λ

G(z)= ∑(λk\k!)e-λzk=e-λ∑( λz)k\k!= e-λ ezλ= eλ(z-1)

G’(1)= eλ(z-1) λ  G’(1)= λ= M[x]=m 

G”(z)= eλ(z-1) λ2  G”(1)= λ2  M[x]=λ  

D[x]= λ2+ λ- λ2= λ

Геометрическое  распределение

X=0,1,2….

P_k=P[x=k]q^kp

G(z)= ∑P_kz^k=∑q^kpz^k=p∑(qz)^k=P*1\(1-qz)=P\(1-qz)

M[x]=1\p  D[x]=q\p²

 

№4.Теорема сложения и умножения вероятности.

P(A/B)- условная  вероятность события A при условии  , что соб.B произошло.

1. 1)усл.вер-ть P(A/B) 2) усл.вер-ть P(B/A) 3) -теорема умножения для зависимых соб.А и В. Если соб.А не влияет на вер-ть соб.В и наоборот,то они независимы: P(A/B)=P(A); P(B)=P(B/A) => P(AB)=P(A)*P(B) – вер-ть произ-ния соб-й равна произ-нию вер-тей.

P(ABC)=P(H)*P(A/H)=P(BC)*P(A/BC)=P(C)*P(B/C)*P(A/BC) (ВС обозначили за Н)

 Опр-е независимости для А,В и С- соб. А,В и С назыв.независимыми в совокупности,если выполн.след усл-я: 1)Если попарно независимы P(AB)=P(A)*P(B), P(BC)=P(B)*P(C), P(AC)=P(A)*P(C). 2)P(ABC)=P(A)*P(B)*P(C)

- ф-ла сложения вер-тей

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

 

№5. Формула полной вероятности и формула Байерса.

  Пусть Н₁,Н₂…Н_k подмножества пространства эл.соб-й W, такие что:

1)H_i H_j=Æ, i≠j и I,j=1,2,…,k 2)H1+H2+…+H_k = W

В этом случае говоря,что сис-ма подмножеств Н₁,Н₂…Н_k образует разбиение множества W. Для любого соб.А,являющего подмножеством W, верна ф-ла полной вер-ти

События H_i называются гипотезами по отношению к соб.А,а вер-ти Р (H_i) трактуются как доопытные вер-ти гипотез, причем å Р (H_i)=1.

Формула Байеса Если известно, что соб.А произошло, то апостериорные вер-ти гипотез H_i ,очевидно, должны быть пересчитаны, так как появилась доп.информация. Апостериорные вер-ти гипотез H_i ,при условии, что А произошло,вычисляются по ф-е Байеса: ,i=1…k, где Р(А) определяется по ф-е полной вер-ти.

 
 

№6.Дискретные случайные величины. Ряд распределения. Числовые характеристики.Пусть (W,F,P) – дискретное вероятностное пространство. Числовая ф-ция Х=Х(W) определенная на пространстве эл.соб-й Wназывается дискретной случ.величиной. Сис-ма равенств: P[x=x_i]=р_i, i=1,2…n,.. определяет распределение вероятностей дискретной слу.величины Х. Очевидно,что р_i≥0, å р_i=1 Простейшей формой закона распределения дискретной величины является ряд распределения.

Графической интерпретацией ряда распределения является многоугольник  распределения.

Функция распределения случайной  величины. Для непрерывных случайных величин применяют такую форму закона распределения, как функция распределения. Функция распределения случайной величины Х называется ф-ция F(х), определяемая для любого действительного зн-я х,как вер-ть события [Х<х], т.е. F(х)=Р[Х<х]. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1.0≤F(х)≤1 2.F(x)- неубывающая ф-ция х, если х₂>х₁,то F(х₂)>F(х₁) 3. F(-∞)=0 F(+∞)=1 Функция может быть изображена в виде графика. Для непрерывной величины это будет кривая изменяющееся в пределах от 0 до 1, а для дискретной величины - ступенчатая фигура со скачками.

 Числовые характеристики случайной величины.

  Математическое ожидание случайной величины. Пусть Х- дискретная случ.величина, принимающая зн-я х₁,х₂.. с вероятностями р₁,р₂.. Математическое ожидание M[x] случ.величины X опередляется формулой ↓ Свойства мат.ожидания: 1.M[c]=c 2.M[c*X]=c*M[X] 3.M[c+X]=c+M[X] 4.M[X+Y]=M[X]+M[Y] мат.ожидание суммы равно сумме мат.ожиданий

Х- некая  дискр.случ.вел-на. Рассмотрим h(X) – функцию от Х. Мат.ожидание функции случ.вел-ны:

Дисперсия Дисперсия (D[x]) характеризует разброс случ.величины Х относительно ее математического ожидания и вычисляется:

Дисперсия случайной  величины всегда величина положительная. Среднеквадратическое отклонение.

  Св-ва дисперсии: 1)D[X]≥0 2)D[c]=0 3)D[X]=0 4)D[cX]=c²D[X] 5)D[X+c]=D[X] 6)D[X+Y]=D[X]+D[Y]

Начальным моментом k-го порядка α_k случайной величины X называется математическое ожидание k-ой степени случайной величины X.

k=1 α₁=M[X]=m ; k=2 α₂=M[X²]

 
 
 

Центрированная  случайная величина - это величина, равная X’=X-MX. Покажем, что математическое ожидание MX’ равно 0.

Центральным моментом k-го порядка μ_k случ.величины Х называется матем.ожидание k-ой степени отклонения Х от ее мат.ожидания m

 

Модой d_x дискретной случайной величины, принимающей зн-я x₁,x₂.. , называется такое зн-е случ.величины,кот.имеет наибольшую вер-ть: P[X= d_x]=max P[X=x_k] (при условии что x_k –единств.зн-е,удовлетвор.этому условию.

Медианой h_x случайной величины называется такое ее значение, для которого окажется ли случайная величина меньше этого значения. Квантиль порядка р=0,5 назыв. медианой h_x случ.вел-ны Х (h_x=х_0,5) Для непрерывной случайной величины медиана это абсцисса точки, в которой площадь под кривой распределяется пополам.

 
 
 
 
 

№7.Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биномиальное распределение. Формула Пуассона. Последовательные испытания наз-ся независимыми, если вероятность осущ-я любого исхода в n-ом по счету эксперименте не зависит от исходов предыдущих испытаний. Схема испытаний Бернулли: 1. послед-ть независимых испытаний с двумя исходами («успех» и «неуспех»); 2. эксперимент проводится n раз в неизменных усл-ях, т.е. вероятности «успеха»(p) и «неуспеха»(1-p=q) неизменны.

n-число испытаний, k-число благоприятных исходов, событие А – «успех», Х – случ.величина, обозначающая число «успехов» в n испытаниях по сх. Бернулли (Х=0,1,2,…n).

- формула Бернулли, где C_n^k-число случайного размещения события А в послед-ти из n мест. Соответствующее распр-е случ.вел.Х наз-ся биномиальным распр-ем.

Свойства  бином.распр-я:

1. ;

2. -матем.ожидание

3. -дисперсия.

Приближенная формула  Пуассона:

.

 (-интенсивность потока):

= = ;

Берем предел

№3.Классическая схема равновероятных событий.

Если W содержит конечное число эл.соб-й,например N соб-й, причем все эл.исходы равновозможны,т.е. p(w_i)=1/N, i-1,2,..,N, то P(A)=|A|/|W|, где |A|-кол-во эл.исходоы,составляющих множество А, а |W|- число всех эл.исходов данного эксперимента. |W|=N Такая ф-ла назыв. классическим определением вер-ти (Если эл.исходы равновозможны, то вер-ть соб.А равна отношению числа исходов,благопритствующих соб.А, к числу всех эл.исходов)