Шпаргалка по "Теория статистики"

Таким образом все значения признака можно  разделить на какую-то постоянную величину, затем определить среднее квабратическое отклонение и умножить его на эту  постоянную величину 

4⁰ Средний квадрат отклонений от любой величины А в той или иной степени отличающейся от средней арифметической всегда будет больше среднего квадрата отклонений, исчисленного от средней арифметической 

При этом средний квадрат отклонений будет  больше на определенную величину (на квадрат разности средней и условно взятой величины)

5⁰ Дисперсия имеет свойство минимальности; если А=0, то дисперсия вычисляется по формуле: 

Между средним линейным отклонением и  средним квадратическим отклонением существует примерное соотношение. в том случае, если фактическое распределение близко к нормальному распределению. Как правило

В условиях нормального распределения существует зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений.

Правило трех

1) В  пределах  располагается 68,3% количества наблюдений

2) В  пределах  находится 95,4% количества наблюдений

3) В  пределах  находится 99,7% количества наблюдений

Отклонения  считается максимально возможными.

33. Виды дисперсий и правило их сложения

Показатели  вариации могут быть использованы не только в анализе изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.

При проведении такого анализа совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками – факторным и результативным.

Для выявления  взаимосвязи исходная совокупность делится на две или более групп  по факторному признаку. Выводы о степени  взаимосвязи базируются на анализе  вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

- общая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых  дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию.

Межгрупповая  дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием факторного признака. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

где  - среднее значение результативного признака по i-ой группе;

- общая средняя по совокупности в целом;

- объем (численность) i-ой группы.

Если  факторный признак, по которому производится группировка, не оказывает никакого влияния на результативный признак, то групповые средние будут равны  между собой и совпадут с общей  средней. В этом случае межгрупповая средняя будет равна нулю.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора, положенного в основание группировки.

Средняя из внутригрупповых  дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

где  - дисперсия результативного признака в i-ой группе;

- объем (численность) i-ой группы;

Эмпирический  коэффициент детерминации представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии.

Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:

Данный  показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его  величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками. 

34. Вариация альтернативного признака

Среди множества варьирующих признаков, изучаемых статистикой, существуют признаки, которыми обладают одни единицы  совокупности и не обладают другие. Эти признаки называются альтернативными. Альтернативный признак принимает всего два значения – 0 и 1 с весами соответственно p и q. Поэтому среднее значение альтернативного признака равно р. А дисперсия альтернативного признака равна pq. Дисперсия альтернативного признака равна произведению доли признака, обладающего характеристикой на долю признака, не обладающего характеристикой. Предельное значение дисперсии для альтернативного признака равно 0,25 при р=0,5.

Дисперсия альтернативного признака широко применяется  в выборочном обследовании. 

35. Закономерность распределения. Изучение формы распределения

Закономерностями  распределения называются закономерности изменения частот в вариационных рядах.

Основная  задача анализа вариационных рядов  заключается в выявлении подлинной  закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных для данного распределения факторов.

Если  увеличить объем совокупности и  уменьшить интервал в группах, то графическое изображение приближается к некоторой плавной кривой, которая  называется кривой распределения.

Кривая  распределения – графическое изображение в виде непрерывной линии изменения частот в вариационном ряду, функционально связанного с изменением вариант.

Теоретическая кривая распределения – кривая, выражающая общую закономерность данного типа распределения в чистом виде, исключающего влияние случайных для него факторов.

Выяснение общего характера распределения  предполагает оценку его однородности, а также расчет показателей асимметрии и эксцесса.

При сравнительном  изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии:

Его величина может быть положительной (для правосторонней асимметрии) и отрицательной (для  левосторонней асимметрии).

Применение данного показателя дает возможность определить не только величину асимметрии, но и проверить ее наличие в генеральной совокупности. Принято считать, что асимметрия выше 0,5 (независимо от знака) считается значительной. Если асимметрия меньше 0,25, она считается незначительной.

Наличие асимметрии в генеральной совокупности проверяется с помощью определения  оценки существенности на основе средней  квадратической ошибки:

В случае, если , асимметрия считается существенной и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично и неслучайно, а закономерно.

Для симметричных распределений может быть рассчитан  показатель эксцесса, который показывает, насколько резкий скачок имеет изучаемое  явление. Показатель эксцесса определяется на основе центрального момента четвертого порядка по формуле:

Если  показатель эксцесса больше нуля, то распределение  островершинное и скачок считается  значительным, если коэффициент эксцесса меньше нуля, то распределение считается плосковершинным и скачок считается незначительным. Среднеквадратическая ошибка эксцесса показывает, насколько существенен скачок в явлении и рассчитывается по формуле:

 

36. Закон нормального распределения

- ордината прямой нормального распределения

- стандартизированная (нормированная)  величина

Свойства  кривой нормального  распределения

1⁰ - функция нормального распределения четная

2⁰ При функция имеет бесконечно малые значения

3⁰ Функция имеет мах при модальное значение функция достигает также при или при . При этом мах значение функции будет составлять

4⁰ При функция дает точку перегиба

5⁰ Если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, каждая из которых следует нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону.

При нормальном распределении коэффициент ассиметрии ; ;

Суть  закона нормального распределения: значение исследуемой непрерывной случайной величины формируется под воздействием очень большого числа независимых случайных факторов, причем сила воздействия каждого отдельного фактора мала и не может иметь превосходство. 

37. Структурные характеристики рядов распределения

К структурным  характеристикам ряда распределения  относятся мода, медиана, квартили, децили и перцентили.

Квартили представляют собой значение признака, делящее ранжированную совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль первого порядка (нижний квартиль) и квартиль третьего порядка (верхний квартиль). Каждый из них отсекает соответственно ¼ и ¾ совокупности. Для расчета квартилей используются следующие формулы:

- нижняя граница интервала,  содержащего нижний квартиль. Интервал определяется по сумме накопленных частот, превышающих 25 %

- нижняя граница интервала,  содержащего верхний квартиль. Интервал  определяется по сумме накопленных  частот, превышающих 75 %

- шаг интервала

- накопленные частоты интервала,  предшествующего интервалу, содержащему  нижний квартиль

- накопленные частоты интервала,  предшествующего интервалу, содержащему  верхний квартиль

- частота интервала, содержащего  нижний квартиль

- частота интервала, содержащего  верхний квартиль 

Децили – варианты, делящие ранжированный ряд на десять равных частей. Первый дециль отсекает 1/10 часть совокупности, а девятый дециль отсекает 9/10 частей. Рассчитываются децили по аналогичным формулам:

Перцентили – варианты, которые делят ранжированную совокупность на 100 частей. 

38. Понятие и классификация рядов динамики

Ряд динамики – последовательность изменяющихся во времени значений статистического показателя, распложенного в хронологическом порядке.

Составными  элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда (статистический показатель, характеризующий данное явление  за период или на момент времени) и периоды времени (годы, кварталы, сутки) или моменты (даты) времени (периоды времени,  которым относятся статистические данные об изучаемом явлении).

Уровни  ряда обычно обозначаются через «у», моменты или периоды времени, к которым относятся уровни – через «t».