Средние и структурные средние величины как обобщающие характеристики совокупности

РОСОБРАЗОВАНИЕ

ПЕНЗЕНСКАЯ  ГОСУДАРСТВЕННАЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ  АКАДЕМИЯ

Кафедра «Информационные технологии и менеджмент в медицинских и биотехнических системах» 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

по дисциплине «Вероятностные методы анализа»

на тему: «Средние и структурные средние величины как обобщающие характеристики совокупности» 
 
 
 
 

Разработал:  

Проверил:  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2008

 

      
СОДЕРЖАНИЕ 

     ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..4

     1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О СРЕДНИХ  ВЕЛИЧИНАХ……………...........6

     2. СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ……………………………….7

  1.2. Средняя арифметическая ……………………………………..10

  1.2. Средняя гармоническая ………………………………………………12

1.3. Средняя квадратическая xq...........................................................13

  1.4. Средняя кубическая ……………………………………….13

  1.5. Средняя геометрическая …………………………………..13

            3. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ  И СПОСОБЫ ИХ ВЫЧИСЛЕНИЯ……13

3.1. Медиана (Me)…………………………………………………..13

3.2. Мода (Мо)……………………………………………………15

3.3. Квантили……………………………………………………….17

5. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ…………………………………………….19

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………....31

     СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ……………………..33 

 

      ВВЕДЕНИЕ

    Статистика, как известно, изучает массовые социально-экономические  явления. Каждое из этих явлений может иметь различное количественное выражение одного и того же признака. Например, заработная плата одной и той же профессии рабочих или цены на рынке на один и тот же товар и т.д.

    Для изучения какой-либо совокупности по варьирующим (количественно изменяющимся)  признакам статистика использует средние величины.

    Средняя величина - это обобщающая количественная характеристика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку. Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности. Таким образом, через характеристику единицы совокупности она характеризует всю совокупность в целом.

    Средние величины связаны с законом больших  чисел. Суть этой связи заключается  в том, что при осреднении случайные  отклонения индивидуальных величин  в силу действия закона больших чисел взаимопогашаются и в средней выявляется основная  тенденция развития, необходимость, закономерность, однако, для этого среднюю необходимо вычислять на основе обобщения массы фактов.

    Средние величины позволяют сравнивать показатели, относящиеся к совокупностям с различной численностью единиц.

    Важнейшим условием научного использования средних  величин в статистическом анализе  общественных явлений является однородность совокупности, для которой исчисляется  средняя. Одинаковая по форме и технике вычисления  средняя в одних условиях  (для неоднородной совокупности) фиктивная, а в других (для однородной совокупности) соответствует действительности. Качественная однородность совокупности определяется на основе всестороннего теоретического анализа сущности явления. Так, например, при исчислении средней урожайности требуется, чтобы исходные данные относились к одной и той же культуре (средняя урожайность пшеницы) или группе культур (средняя урожайность зерновых). Нельзя вычислять среднюю для разнородных культур.

    Математические  приемы, используемые в различных  разделах статистики, непосредственно  связаны с вычислением средних  величин.

    Средние в общественных явлениях обладают относительным  постоянством, т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними.

    Средине величины очень тесно связаны  с методом группировок, т.к. для  характеристики явлений необходимо исчислять не только общие (для всего  явления) средние, но и групповые (для  типических групп этого явления по изучаемому признаку).

    Далее  в своей курсовой работе я более  подробно рассмотрю сущность, средних  и структурных средних величин  и их применение в статистике. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ

      Для полного описания варьирующих объектов служат особые, логически и теоретически обоснованные числовые показатели, называемые статистическими характеристиками. К ним относятся прежде всего средние величины.

      В отличие от индивидуальных числовых характеристик средние величины обладают большей устойчивостью, способностью характеризовать целую группу однородных единиц одним (средним) числом. Значение средних заключается в их свойстве уравновешивать все индивидуальные отклонения, в результате чего проявляется то наиболее устойчивое и типичное, что характеризует качественное своеобразие варьирующего объекта, позволяет отличать один групповой объект от другого.

      В зависимости от того, как распределены первичные данные в равно- или в неравноинтервальный вариационный ряд,— для их характеристики применяют разные средние величины.

     В качестве статистических характеристик  равноинтервальных вариационных рядов применяют степенные и структурные (нестепенные) средние величины. Степенные средние вычисляют из общей формулы

      

где М — средняя величина; x_i— варианта; п — число наблюдений, для которых вычисляют среднюю; k — величина, по которой определяют вид средней. Так, при k=1 получается средняя арифметическая, при k=2 — средняя квадратическая, при k =—1 образуется средняя гармоническая и т. д. Из структурных средних в биологии применяют медиану, моду и др.

      Средние величины могут характеризовать  только однородную совокупность вариант. При наличии разнородных по составу данных их необходимо группировать в отдельные качественно однородные группы и вычислять групповые или частные средние. 

      Средние величины принято обозначать строчными  буквами латинского алфавита, что и варианты, с той лишь разницей, что над буквой, соответствующей средней величине, ставят черту. Так, если признак обозначен через X, то его числовые значения выражают буквой x_i, среднюю арифметическую — , и т. д.' При вычислении средних величин и других статистических характеристик не обязательно распределять исходные данные в вариационный ряд. 

      2. СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ  ВЕЛИЧИНЫ

    Степенные средние в зависимости от представления  исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

,где X_i – варианта (значение) осредняемого признака; 
m – показатель степени средней; 
n – число вариант.

    Взвешенная  средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:        

,

,где X_i – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;  
m – показатель степени средней; 
f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение признака. 
 
 

    Приведем  в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек:

 

Средний возраст рассчитаем по формуле простой  средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

 

    В результате группировки получаем новый  показатель – частоту, указывающую  число студентов в возрасте Х  лет. Следовательно, средний возраст  студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

 
 
 
 
 

    Общие формулы расчета степенных средних  имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних: 
средняя гармоническая, если m = -1; 
средняя геометрическая, если m → 0; 
средняя арифметическая, если m = 1;  
средняя квадратическая, если m = 2; 
средняя кубическая, если m = 3.

    Если  рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

Виды  степенных средних:

 
 
 
 

      2.1. Средняя арифметическая

      Из  общего семейства степенных средних наиболее часто используют среднюю арифметическую. Этот показатель является центром распределения, вокруг которого группируются все варианты статистической совокупности. Средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Простую среднюю арифметическую определяют как сумму всех членов совокупности, деленную на их общее число: