Средние и структурные средние величины как обобщающие характеристики совокупности

      

 

В этой формуле x_i — значения вариант; п — общее число вариант, или объем данной совокупности.

Рассмотрим пример.

      Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламного агентства. При  этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах: 6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

 
 

          Как видно, средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальные значения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущности средней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е. она может принимать такое числовое значения, которое не встречается в представленной совокупности индивидуальных значений признака.

Под средней  арифметической понимается такое значение признака, которое имело бы каждая единица совокупности, если бы общий  итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности.

      Когда отдельные варианты повторяются, среднюю  арифметическую вычисляют по формуле 

      

 

и называют взвешенной средней, причем весами, как это показывает формула служат частоты вариант f_i.

      Средняя арифметическая обладает некоторыми свойствами, которые определяют ее широкое применение расчетах и в практике статистического  исследования.

      1. Если каждую варианту статистической  совокупности уменьшить или увеличить на некоторое произвольно взятое положительное число А, то и средняя уменьшится или увеличится на это число.

      Отсюда . Это означает, что среднюю х можно вычислять по уменьшенным на А членам выборки, прибавив к полученной величине вычтенное из вариант число А.

      2. Если каждую варианту разделить  или умножить на какое-либо одно и то же число А, то средняя арифметическая изменится во столько же раз. Это свойство позволяет вычислять среднюю упрощенным способом, предварительно уменьшив каждую варианту в А раз, а затем умножив полученный результат на А, т. е.

      

      3. Сумма произведений отклонений вариант от их средней 
арифметической на соответствующие им частоты равна нулю.

4.   Сумма квадратов отклонений вариант от их средней х меньше суммы квадратов отклонений тех же вариант от лю 
   бой другой величины A, не равной х, т. е.

 

      

 

Рассмотренные свойства средней арифметической позволяют значительно облегчить работу по вычислению статистических характеристик.

      2.2. Средняя гармоническая

Средняя гармоническая величина является преобразованной средней арифметической величиной. Применяется она тогда, когда необходимые веса (f_i) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в одни из имеющихся показателей. Она также может быть простой и взвешенной. Средняя гармоническая простая рассчитывается по формуле:

      

      в которых 

      п — число произведенных наблюдений;

      x_i — значения вариант;

      f_i — частоты.

2.3. Средняя квадратическая x_q

      Основной  сферой ее применения является измерение  вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

        

2.4. Средняя кубическая

В качестве характеристики объемных признаков более точной является средняя кубическая, определяемая по формулам 

        
 

2.5. Средняя геометрическая

      Этот  показатель представляет собой корень n-й степени   из произведений   членов ряда

      

где

п — объем совокупности;   

при этом x_i>0.

      Обычно  среднюю геометрическую вычисляют  с помощью десятичных логарифмов по следующим рабочим формулам:

      

      

      

      3. СТРУКТУРНЫЕ СРЕДНИЕ

   Для характеристики структуры вариационных рядов применяются так называемые структурные средние. Наиболее часто  используются в мода и медиана и квантили.

      3.1. Медиана (Me)

   Медиана - это численное значение признака у той единицы совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда (построенного в порядке возрастания, либо убывания значения изучаемого признака). Медиану иногда называют серединной вариантой, т.к. она делит совокупность на две равные части.

   В дискретных вариационных рядах с нечетным числом единиц совокупности - это конкретное численное значение в середине ряда. Так в группе студентов из 27 человек медианным будет рост у 14-го,  если они выстроятся по росту. Если число единиц совокупности четное, то медианой будет средняя арифметическая из значений признака у двух средних членов ряда. Так, если в группе 26 человек, то медианным будет рост средний 13-го и 14-го студентов.

      Для данных, сгруппированных в вариационный ряд, медиана определяется следующим образом. Сначала находят класс, в котором содержится медиана. Для этого частоты ряда кумулируют в направлении от меньших к большим значениям классов до величины, превосходящей половину всех членов данной совокупности, т. е. n/2. Первая величина в ряду накопленных частот ∑f_i, которая превышает n/2, соответствует медианному классу.

      Затем берут разность между n/2 и суммой накопленных частот ∑f_i, предшествующей медианному классу, которая относится к частоте медианного класса f_Me; результат умножают на величину классового интервала λ. Найденную таким способом величину прибавляют к нижней границе х_y медианного класса. Если же исходные данные распределены в безынтервальный вариационный ряд, названную величину прибавляют к полусумме соседних классовых вариант. В результате получается искомая величина медианы, которая определяется по формуле:

      

где

х_н — нижняя граница классового интервала, содержащего медиану, или полусумма соседних классов безынтервального ряда, в промежутке между которыми находится медиана;

∑f_i — сумма накопленных частот, стоящая перед медианным классом;

f_Mе — частота медианного класса;

 λ—величина классового интервала;

n — общее число наблюдений. 
 

      Рассмотрим  пример.

   Распределение турагентств  по  численности персонала характеризуется следующими данными:

 

   Определим прежде всего медианный интервал.  В данной задаче сумма накопленных  частот, превышающая половину всех значений (41), соответствует интервалу 400 - 500.  Это и есть медианный  интервал,  в  котором находится медиана.  Определим ее значение по приведенной выше формуле.

   Известно, что:

   

   Следовательно,

    . 

      3.2. Мода (Мо)

      Модой называется величина, наиболее часто встречающаяся в данной совокупности.

Предположим товар А реализуют в городе 9 фирм по цене в рублях: 44; 43; 44; 45; 43; 46; 42; 46;43; Так как чаще всего встречается цена 43 рубля, то она и будет модальной. Класс с наибольшей частотой называется модальным.

  Он определяется довольно просто в безынтервальных рядах. Для определения моды интервальных рядов служит формула: 

      

где

x_н — нижняя  граница  модального  класса, т.  е.  класса  с наибольшей частотой f₂; f₁ — частота класса, предшествующего модальному;

f₃ — частота класса, следующего за модальным;

λ—ширина  классового интервала.

Рассмотрим  пример.

Распределение турагентств  по  численности  персонала характеризуется следующими данными:

 
 

   В этой задаче наибольшее число турагентств (30) имеет численность работающих от 400 до 500 человек. Следовательно, этот интервал является модальным интервалом ряда распределения.

   Введем  следующие обозначения:

    =400, =100,  =30, =7, =19

   Подставим эти значения в формулу моды и  произведем вычисления:

   Мода  и медиана в отличие от степенных средних являются конкретными характеристиками, их значение имеет какой-либо конкретный вариант в вариационном ряду.

   Мода  и медиана, как правило, отличаются от значения средней, совпадая с ней  только в случае симметричного распределения частот вариационного ряда. Поэтому соотношение моды, медианы и средней арифметической позволяет оценить ассиметрию ряда распределения.