Теория автоматического управления

     Составим  главный определитель Гурвица, принимая анализируемый  коэффициент К_ТП как неизвестный параметр: 

    Используя формулировку устойчивости критерия Гурвица (положительность  всех определителей), для отыскания границы возможного изменения параметра необходимо решить следующее неравенство:

    

Решением  данного неравенства  является интервал. 
 
 

3.4 Определение запасов  устойчивости. 

     При определении устойчивости невозможно учесть все  факторы, влияющие на ее работу. Кроме того, элементы, из которых построена система имеют разброс относительно номинального значения. Поэтому при построении САУ стремятся обеспечить их устойчивость с некоторой гарантией, для того чтобы изменения параметров системы в процессе ее работы не могли привести к неустойчивости системы.

     Критерий  Найквиста — частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы, по виду амплитудно-фазочастотной характеристики соответствующей разомкнутой системы.

Подробное описание построения АФЧХ приведено выше, с единственным отличием в том, что основой  данного расчета  является передаточная функция разомкнутой  системы.

     Кривая, представляющая собой  АФЧХ разомкнутой  системы представлена на рис. 11.

     

     Рис. 11 Амплитудно-фазо-частотная характеристика разомкнутой системы. 

     Замкнутая система будет  устойчивой, если амплитудно-фазовая  характеристика разомкнутой  системы не охватывает точки с координатами (-1;j=0) на плоскости.

     

     Данная  система автоматического регулирования также является устойчивой и в соответствии с частотным критерием Найквиста.

     Для обеспечения устойчивости в некотором диапазоне  система должна обладать определенными запасами по амплитуде и  фазе. Запас устойчивости — количественная оценка расстояния значений параметров системы или ее характеристик от зоны опасной с точки зрения устойчивости.

     Запас устойчивости по амплитуде  определяется расстоянием  между точкой и  точкой, в которой  годограф Найквиста  пересекает вещественную отрицательную полуось

, h — запас устойчивости по амплитуде

h=1-0,02=0,98.

     Для определения запаса по фазе, из начала координат  проводится окружность с радиусом равным 1. В точке пересечения  этой окружности с  годографом Найквиста, проводится луч из начала координат. В результате запас устойчивости по фазе определится как угол между лучом и отрицательной вещественной осью.

     Запас по фазе может быть определен с помощью  программы MathCAD 2001 Professional при использовании функции angle(x,y), возвращающей значение угла в радианах между положительным направлением оси x и точкой с координатами (x,y).

где x,y координаты точки  пересечения единичной  окружности с годографом Найквиста приложение №2.

g — запас устойчивости по фазе

g=-45°

     Запас по фазе показывает, на сколько фаза отличается от -p при амплитуде равной 1.

     Необходимый запас устойчивости также можно задать в виде области, в  которую не должен входить годограф Найквиста. Такая  запретная зона может  быть задана в виде окружности с радиусом R=h, которая проводиться из точки (-1;j=0).

     Сравнивая полученные значения с параметрами  системы, которыми она  должна обладать (h=0,51; g=45°) можно сделать вывод о том, что по данным свойствам система отвечает предъявленным требованиям.

     

     В инженерной практике широкое применение анализа устойчивости системы получил метод, основанный на применении логарифмической частотной характеристики разомкнутой системы. При расчетах систем пользуются логарифмической амплитудно-частотной (ЛАЧХ) и логарифмической фазо-частотной (ЛФЧХ) характеристиками. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают lgw, по оси ординат логарифмическую амплитуду, рассчитанную по формуле:

используя передаточную функцию 

разомкнутой системы построим совмещенные графики логарифмических характеристик — ЛАЧХ и ЛФЧХ. Рис.12.

Рис. 12 Логарифмические характеристики САУ 

     На  частоте, при которой  модуль комплексного коэффициента усиления равен единице, фазовый  угол j<p, т.е. имеется некоторый запас по фазе. Там, где ЛФЧХ проходит через значение j=-p, она находится в области отрицательных значений; ординату ЛАЧХ, где j=-p, называют запасом по амплитуде.

Запас по амплитуде рассчитывается исходя из того, что  по оси ординат  отложена логарифмическая амплитуда:

       

Так как ЛФЧХ построена  в градусной мере, никаких дополнительных пересчетов не требуется:

g — запас устойчивости по фазе

g=83,861°

     Сравнивая значения запасов  устойчивости, полученных двумя способами (при  помощи критерия Найквиста и определение по ЛАЧХ, ЛФЧХ) можно сделать вывод о минимальности расхождений и ошибки. 
 

3.5 Выделение областей  устойчивости.

     Одной из задач исследования систем автоматического  регулирования и  управления на устойчивость является определение некоторой области, в пределах которой могут изменяться те или иные параметры системы при сохранении ее устойчивости. Если система имеет q изменяемых параметров, то говорят о q–мерном пространстве параметров. Каждой точке этого пространства соответствует характеристическое уравнение со своими значениями коэффициентов, а область пространства, внутри которой все значения параметров (или коэффициентов характеристического уравнения) соответствуют устойчивой системе, называется областью устойчивости. Гиперповерхность, ограничивающая эту область, называется границей области устойчивости.

     В принципе для выделения  областей устойчивости могут быть использованы частотные критерии или критерий Гурвица. Однако, чтобы определить область устойчивости с помощью критериев Михайлова или Найквиста, нужно производить многократное построение соответствующих характеристик. Если использовать критерий Гурвица, то решение задачи может оказаться связанным с анализом сложных и громоздких выражений или с построением кривых зависимостей определителей Гурвица от рассматриваемых параметров.

     Наиболее  удобно производить  выделение областей устойчивости на основе понятия о D–разбиении, разработанного А.А. Соколовым и Ю.И. Неймарком.

     D–разбиением называется разбиение пространства коэффициентов характеристического уравнения (или параметров системы) на области, соответствующие одному и тому же числу корней, расположенных слева от мнимой оси.

     Мнимая  ось в плоскости  корней характеристического  уравнения есть отображение  границы D–разбиения, и переход через последнюю в пространстве коэффициентов (или параметров) соответствует переходу корней в плоскости корней через мнимую ось.

    Требуется выяснить влияние  на устойчивость системы  изменение параметра  системы (К_С), входящих линейно в характеристическое уравнение замкнутой системы.

Основным  уравнением метода является характеристическое уравнение замкнутой системы автоматического регулирования:

, где

N(p) — часть уравнения, содержащая параметр n (n=Ктп)

М(p)  — часть уравнения, не содержащая параметра n

Делая замену p=jw получим уравнение для графика D–разбиения, которое можно записать в виде:

введем  обозначения

приравнивая отдельно вещественную и мнимую части  к нулю, получим систему:

решая систему, получим выражения для параметра n, зависящего от частоты w. Задаваясь значениями частоты от -¥ до +¥ для этого значения частоты по параметрическим уравнениям определяем величину n и строим график D–разбиения в плоскости этого параметра. Также необходимо построить особые прямые, которые получаются при w=0 и w=¥, при этом n, должен входить в коэффициенты соответствующие С₀, С_n характеристического уравнения (2.2.2). Особая прямая при w=0 получается приравниванием С_n=0; при w=¥ она получается при С₀=0.

Особая  прямая при w=0:

     Особая  прямая для w=¥ отсутствует, т.к. коэффициент С₀ характеристического уравнения не зависит от  n.

     График D–разбиения штрихуется при возрастании wÎ(-¥;+¥) справа, так как главный определитель D<0 (двойная штриховка). Штриховка особой прямой одинарная, и она производится таким образом, чтобы вблизи сопряжения особой прямой и кривой D–разбиения заштрихованные области были направлены друг к другу. Рис. 13.

Рис. 13 График D–разбиения 

После нанесения штриховки  определяют область, претендующую на область  устойчивости. 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Определение переходной  характеристики и  показателей качества  процесса управления. 

4.1 Построение переходной  характеристики. 

     Переходной процесс САУ представляет закон изменения ее выходной координаты после внезапного приложения сигнала на входе.

     При нахождении выражения  переходного процесса находят корни  характеристического  уравнения и осуществляют переход к оригиналу (например, при помощи таблиц изображений).

     В данной курсовой работе используется другой метод перехода от изображения к  оригиналу — при  помощи теоремы разложения.

     

Пусть искомая функция  y(t) имеет следующее изображение по Карсону–Хевисайду:

,

     причем  m£n и уравнение D(p)=0 не имеет нулевых и кратных корней. Тогда, согласно теореме разложения, оригинал y(t) может быть найден по формуле

, где: р₁, …, р_k, …, р_n — корни уравнения