Солитоны в твердом теле

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «Бийский педагогический государственный университет 

имени В.М. Шукшина»

Физико-математический факультет

Кафедра физики 
 
 

Солитоны  в твердом теле 

Курсовая  работа

по дисциплине «Физика» 
 
 
 
 

Выполнил студент

  Группа Ф-ФИ 051

Захаров  Павел Васильевич 

Научный руководитель:

К.ф-м.н., доцент

Медведев  Николай Николаевич 

Оценка                                     .            

«       »                           20      г.

подпись                                      .                
 
 

Бийск - 2008

Содержание 

Введение ………………………………………………………………….………3

Глава 1. Основные понятия теории солитонов ………………………….…….5

1.   История развития теории солитонов ………………………………....…….5
2.   Основные свойства солитона .………………………………..………….….8
3.   Определение солитона: N-солитонные решения нелинейных эволюционных уравнений ………………………………………………………….……11
4. Солитон-солитонные взаимодействия ………………………..…………..16

Глава 2. Моделирование процессов в физике твердого тела ……..…………18

2.1 Компьютерный эксперимент как способ исследования …………………18

2.1.1 Основные положения компьютерного эксперимента …….……..18

2.1.2 Метод молекулярной динамики как метод компьютерного моделирования ……………………………………………………………..…..….20

2.2. Исследование солитонных явлений типа кинк в компьютерной модели ячейки кристалла никеля (Ni) ……………………………….…………...……22

2.2.1 Исследуемая компьютерная модель ………………….…….....……22

2.2.2 Содержание и результаты эксперимента ………….….…………..23

Заключение……………………………………………………….….. ……..…..25

Список  литературы ………………………….……………………..… ……….26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение

    Нигде единство природы и универсальность ее законов не проявляются так ярко, как в колебательных и волновых явлениях. Некоторые из них мы видим невооруженным глазом, другие наблюдаем с помощью приборов. Одни колебания очень простые, как, например, колебания качелей, другие намного сложнее – достаточно посмотреть на электрокардиограммы или энцефалограммы, но мы всегда легко отличим колебательный процесс по характерной повторяемости, периодичности.

    Мы знаем, что колебание – это периодическое движение или изменение состояния, причем неважно, что движется или изменяет состояние. Наука о колебаниях изучает то общее, что есть в колебаниях самой разной природы.

    За  последние несколько десятилетий в нелинейной физике произошла революция. Два значительных открытия, каждое из которых было сделано с помощью вычислительного эксперимента, радикальным образом изменили наши представления о природе нелинейности и ввели в динамику две новые теоретические конструкции. Одним из них является солитон, вторым – странный аттрактор.

    Солитон сам по себе является драматически новой концепцией в нелинейной теории. В нем, наконец, на классическом уровне реализуется объект, существование которого специалисты по теории поля постулировали многие годы: локальный бегущий волновой импульс, компактная когерентная структура, удивительно устойчивое решение полевого уравнения и частице-подобные свойства. Он существенно нелинеен и возникает благодаря равновесию двух сил; одна из них линейна и стремится размазать импульс, другая является нелинейной и сжимает его. До появления солитона физики часто говорили о волновых пакетах и фотонах, которые являлись решениями линейного не зависящего от времени уравнения Шрёдингера. Но такие пакеты всегда будут расплываться за время обратно пропорциональное квадрату ширины пакета.

    Сейчас  изучают солитоны в кристаллах, магнитных материалах, сверхпроводниках, в живых организмах, в атмосфере Земли и других планет, в галактиках. По-видимому, солитоны играли важную роль в процессе эволюции Вселенной. Многие физики сейчас увлечены идеей, что элементарные частицы тоже можно рассматривать как солитоны. Современные теории элементарных частиц предсказывают различные, пока не наблюдавшиеся солитоны, например солитоны, несущие магнитный заряд.

    Уже начинается применение солитонов для  хранения и передачи информации. Развитие этих идей в будущем может привести к революционным изменениям, например, в технике связи.

           Сказанное выше свидетельствует об актуальности и значимости выбранной темы данной курсовой работы.

     Целью данной курсовой работы является выявление основных положений теория солитонов, а так же исследование солитонных явлений типа кинк в компьютерной модели ячейки кристалла никеля.

     Объект  исследования – солитонные явления.

     Предмет исследования – солитонные явления типа кинк в компьютерной модели ячейки кристалла никеля.

     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Изучить учебную и научную литературу по теме курсовой работы.
2. Выявить основные этапы развития теории солитонов.
3. Произвести анализ и раскрыть основные направления в теории солитонов.
4. Исследовать с помощью компьютерной модели солитонные явления типа кинк в  ячейки кристалла никеля.

    Структура курсовой работу: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка используемой литературы. В заключении содержится обобщенный итог проведенного исследования.  

Глава 1. Основные понятия  теории солитонов

1.1 История развития  теории солитонов

    Честь открытия солитона («большой уединенной волны») приписывают британскому инженеру Джону Скотту Расселу (1808–1882). В 1834 им впервые дано описание наблюдения солитона. В то время Рассел изучал пропускную способность канала Юнион близь Эдинбурга (Шотландия). Вот как сам автор открытия рассказывал о нем: «Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешенного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции…».

    Впоследствии  Рассел экспериментальным путем, проведя  ряд опытов, нашел зависимость  скорости уединенной волны от ее высоты (максимальной высоты над уровнем  свободной поверхности воды в  канале).

    Возможно, Рассел предвидел ту роль, которую играют солитоны в современной науке. В последние годы своей жизни он завершил книгу: «Волны трансляции в водном, воздушном и эфирном океанах», опубликованную посмертно в 1882. Эта книга содержит перепечатку «Доклада о волнах» – первое описание уединенной волны, и ряд догадок о строении материи.

    Реакция на научное сообщение Рассела  наиболее авторитетных в то время  английских механиков Джорджа Байделя  Эйри (1801–1892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828 по 1835, астронома королевского двора с 1835 по 1881) и Джорджа Габриэля Стокса (1819–1903) (профессора математики в Кембридже с 1849 по 1903) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт. Интересно, что и воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом месте, где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.

    В 1871–1872 были опубликованы результаты французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (1842–1929), посвященных теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение:

 

Описывающее такие волны (u – смещение свободной поверхности воды в канале, d – глубина канала, c₀ – скорость волны, t – время, x – пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс (рис.1), и скорость.

    Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями  и рассмотрел вспучивания положительной  и отрицательной высоты. Буссинеск  обосновал устойчивость положительных  вспучиваний тем, что их малые  возмущения, возникнув, быстро затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для длинного и положительного очень короткого вспучиваний. Несколько позже, в 1876, опубликовал результаты своих исследований англичанин лорд Рэлей.

   Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (1848–1941) и его ученика Густава де Фриза. По-видимому, ни Кортевег, ни де Фриз работ Буссинеска не читали. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя – уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби, эти решения были названы «кноидальными» волнами.

В нормальной форме уравнение КдФ для искомой функции и имеет вид:

   Долго считалось, что уединенные волны  связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами  – гидродинамиками. В 1946 М.А.Лаврентьев (СССР), а в 1954 К.О.Фридрихс и Д.Г.Хайерс (США) опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.

   Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) – Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн. Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Методом исследования в этой работе стал численный эксперимент, расчеты производились на одной из первых, созданных к этому времени ЭВМ.

     Филиппов  в своей книге «Многоликий  солитон» называет «вторым рождением солитона» использование ЭВМ для изучения этого явления. Он пишет: «Новые возможности предоставленные ЭВМ начинают сильно менять характер работы физика-теоретика или математика. В первую очередь изменяется само понятие о том, что значит решить задачу. Если, скажем, мы хотим изучить движение двух грузиков, связанных пружинками, нам достаточно получить уравнение, а все остальное предоставить машине. С такой же легкостью ЭВМ разберется и с движением пяти, десяти или ста грузиков. Для нас грузики и пружинки не были самоцелью. Они представляют собой простые механические модели гораздо более сложных физических систем. Кроме того, нас интересует не движение отдельных грузиков, а качественное поведение системы в целом. Мы старались выявить такие закономерности в движениях грузиков, которые позволили бы  нам получить ясную, легко охватываемую нашей интуицией, физическую картину всех явлений. Уяснив эту картину, мы смогли затем разобраться в гораздо более сложных вещах, к которым мы иначе и не смогли бы подступиться».