Солитоны в твердом теле

    Как уже отмечалось, бризеры, кинки и антикинки ведут себя как солитоны при столкновениях. СГ-уравнение может быть решено с помощью обратной задачи для системы двух уравнений первого порядка. Уравнения КдФ и НУШ также решаются этим способом. У уравнений, резрешимых посредством схемы обратной задачи рассеяния, предложенной Захаровым и Шабатом, а также Абловицем, Каупом, Ньюэллом и Сегуром, не может быть более сложных солитонов, чем sech (или sech2 для уравнения КдФ), кинки и бризеры.

    Заметим, что два солитона уравнения КдФ или два кинка СГ-уравнения должны двигаться с различными скоростями, поэтому любое возмущение, содержащее их, должно распасться. С другой стороны, любое число солитонов НУШ могут двигаться с одной и той же скоростью, и любое число бризеров СГ-уравнения также может иметь одинаковую скорость, которая притом может совпадать со скоростью одиночного кинка или антикинка. Это происходит потому, что скорости бризеров СГ-уравнения определяются из его задачи рассеяния модулями пар комплексных собственных значений; аналогично определяется скорость солитона НУШ. Конечно, может существовать любое число различных комплексных собственных значений. Однако и теперь уже ясно, что у уравнения КдФ не может быть никаких решений типа бризеров: собственные значения связанных состояний для этого уравнения лежат на мнимой оси, и они не могут встречаться парами. Заметим также, что для задач рассеяния более общего вида солитонные решения могут быть более сложными.

1.4 Солитон-солитонные взаимодействия

    Закончим  обзор классических солитонов коротким обсуждением их взаимодействий. Уже было указано соответсоответствие единичного солитонного решения протяженной частице. Найдем некоторое аналогичное соответствие между многосолитонным решением и системой частиц. В частности, выясним, можно ли аналогично случаю нескольких частиц хотя бы приближенно описать динамику двух или большего числа солитонов, используя потенциал взаимодействия, зависящего от расстояния между ними. Хотя некоторые модели обладают односолитонными решениями, точные многосолитонные решения для большинства из них отсут- отсутствуют. Поэтому необходимо и полезно достичь качественного по- понимания систем двух или более солитонов, используя интуитивные аргументы и приближения. Так как наши уравнения поля нелинейны, суперпозиция односолитонных функций в общем случае не будет решением. Но если солитоны достаточно далеки друг от друга, их перекрытие мало. Тогда искажения каждого солитона, вызванные нелинейными эффектами вследствие присутствия других, будут также малыми. Иначе говоря, можно ожидать существование решений (независимо от того, найдем ли мы аналитически или нет), соответствующих широко разделенным солитонам, сохраняющим, за исключением небольших искажений, свою индивидуальность. В общем случае такие решения могут не быть  статическими. Можно ожидать, что каждый солитон, воздействуя на другие, не только их деформирует (поляризует), но и ускоряет. Для того чтобы удержать солитоны на месте, необходимо вводить дополнительные внешние силы. Такую картину широко разделенных солитонов, схожую с системой широко разделённых протяженных частиц, можно реализовать в конкретной форме для специальных моделей. В качестве простого примера возьмем кинки модели . Граничные условия модели допускают конфигурации кинк — антикинк, но точное решение такого вида неизвестно. Рассмотрим не зависящее от времени уравнение этой модели

Единственными решениями этого уравнения с конечной энергией являются кинк, антикинк и тривиальные решения . Уравнение не имеет решений, которые можно было бы рассматривать как широко разделенную статическую пару кинк – антикинк. Это соответствует нашему ожиданию, что кинк и антикинк взаимодействуют и не остаются статическими. Но если их удержать некоторой внешней силой, то статическое решение пары кинк – антикинк будет существовать. Такое «удержание» можно провести следующим способом.

    Рассмотрим вместо (8) модифицированное уравнение,

    Правую  часть можно рассматривать как  две внешние силы, приложенные к точкам . В отличие от (8) уравнение (8.1) обладает решением с конечной энергией, напоминающим пару кинк — антикинк, разделенную расстоянием R. Решение, конечно, имеет разрыв в точках . Оно возникает только в том случае, если величина внешних сил выбрана соответствующим образом как функция от R. Кинк и антикинк в этом решении искажены по сравнению с их первоначальными формами, но искажение стремится к нулю при . Все эти свойства соответствуют нашим ожиданиям и аналогии с протяженными частицами.

    Мы  не будем рассматривать детали или вывод решения кинк – антикинк. Уравнение (8.1) интегрируется непосредственно, при этом решение получается в эллиптических интегралах. При подстановке этого статического решения в интеграл энергии имеем

      Первый член есть масса покоя  свободных кинка и антикинка.  Остальные члены можно отнести к потенциальной энергии взаимодействия V(R) пары кинк — антикинк

      Отметим, что это взаимодействие соответствует притяжению и является сильным при малом значении постоянных взаимодействия   . Аналогичный потенциал притяжения можно получить таким же способом для пары солитон – антисолитон модели синус-Гордона.

      Мы привели выражение для потенциала  (8.3) только для больших R, так как для малых R кинк и антикинк теряют свою индивидуальность и, следовательно, V (R) перестает иметь смысл.  

Глава 2. Моделирование процессов в физике твердого тела

2.1 Компьютерный эксперимент как способ исследования

      2.1.1 Основные положения компьютерного эксперимента

    В настоящее время при исследованиях  в физике конденсированного состояния успешно применяются три основных подхода: теория, реальный эксперимент и компьютерный эксперимент. В прошлом развитие данного направления осуществлялось теоретическими и экспериментальными методами. При накоплении экспериментальных данных их обобщение приводило к определенным фундаментальным представлениям и к последующей постановке эксперимента с целью обобщения теории. В то же время существует множество проблем, решение которых оказывается трудным, дорогостоящим, а в ряде случаев, неразрешимым. Это, прежде всего процессы, протекающие при высоких скоростях, при импульсных, высокоэнергетических воздействиях на материал, таких как, например, лазерное, радиационное воздействие, ионная имплантация. В таких случаях экспериментально удается исследовать начальное состояние материала и конечный результат. Процесс и стадии структурно-фазовой трансформации материала при подобных воздействиях оказываются невыясненными. С другой стороны, такие процессы как старение, фазовые переходы типа порядок-беспорядок в упорядоченных сплавах развиваются во многих случаях в течение длительного интервала времени. Компьютерный эксперимент позволяет сократить время реализации таких процессов. И решать подобные проблемы невозможно без применения компьютерных технологий, которые с развитием науки и научно-технического процесса становятся усовершенствованными. Компьютерный эксперимент часто оказывается единственно возможным и способным дать определённые объяснения, которые ставят в свою очередь задачи перед реальным экспериментом и развитием фундаментальных теоретических положений. В свою очередь, совершенствование последних лет ставит перед компьютерным экспериментом новые задачи и проблемы. Результаты, получаемые методом компьютерного моделирования на атомном уровне, демонстрируют тот факт, что компьютерное моделирование является важной частью фундаментальных исследований материалов наряду с теорией и реальным экспериментом.

    В настоящее время понятие "компьютерное моделирование" связывают в первую очередь с системным анализом - направлением кибернетики, впервые заявившим о себе в начале 50-х годов при исследовании сложных систем, макроэкономике, при создании автоматизированных экономико-организационных систем управления.

    Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, совокупности уравнений, алгоритмов и программ. Возможности моделирования, то есть перенос результатов, полученных в ходе построения и исследования модели, на оригинал основаны на том, что модель в определенном смысле отображает некоторые интересующие исследователя черты объекта. Различают следующие виды моделирования: концептуальное, физическое, структурно-функциональное, математическое, имитационное моделирование, которые применяются при исследовании сложных объектов.

    Под компьютерной моделью чаще всего  понимают условный образ объекта или некоторой системы объектов, описанный с помощью взаимосвязанных компьютерных таблиц, блок-схем, диаграмм, графиков, анимационных фрагментов, и отображающий структуру и взаимосвязи между элементами объекта.

    Компьютерное  моделирование – это метод решения задачи анализа или синтеза сложной системы на основе использования ее компьютерной модели. Суть компьютерного моделирования заключена в получении количественных и качественных результатов по имеющейся модели. Качественные выводы, получаемые по результатам анализа, позволяют обнаружить неизвестные ранее свойства сложной системы: ее структуру, динамику развития, устойчивость, целостность.

    Цели  компьютерного моделирования могут  быть различными, однако наиболее часто  моделирование является центральной  процедурой системного анализа, причем под системным анализом мы понимаем совокупность методологических средств, используемых для подготовки и принятия решений экономического, организационного, социального или технического характера.

    2.1.2 Метод молекулярной динамики как метод компьютерного моделирования.

    Одним из методов компьютерного моделирования  является метод молекулярной динамики, наиболее активно применяющийся в настоящее время. Согласно этому методу скорости смещений атомов в структуре задаются в зависимости от температуры, посредством применения статистик Больцмана или Максвелла-Больцмана. Метод молекулярной динамики  базируется на численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений движения Ньютона с заданными характеристиками межчастичного взаимодействия. Это, как правило, различного рода потенциалы межатомного, межмолекулярного взаимодействия. При решении системы дифференциальных уравнений движения применяется один из численных методов интегрирования. Один из методов решения системы уравнений основан на применении метода Эйлера, где шаг интегрирования подбирается таким, чтобы он был на два прядка меньше периода колебания атомов. Если требуется более высокая точность, то при решении задачи применяется методы более высокого прядка точности, например, метод Рунге-Кутта. Систематические ошибки уменьшаются, однако время счёта возрастает.

      Наличие стохастического источника  ошибок в методе молекулярной динамики можно интерпретировать, как существование дополнительной случайной силы. Действие случайного источника создает флуктуацию полной энергии системы. Результаты, получаемые методом молекулярной динамики устойчивы к изменению точности счёта не только для равновесных систем, но и в случаях, когда на систему накладываются градиенты термодинамических параметров или внешние силы. В настоящее время разработано четыре разновидности метода молекулярной динамики.

      Для замкнутых систем, для которых  справедливо микроканоническое  распределение по некоторому ансамблю частиц считается, что объем системы, число частиц и энергия сохраняются. Такой метод используется при расчёте эволюции системы в фазовом пространстве изменения скоростей и координат во времени вдоль траекторий соответствующих неизменной энергии.

    В случае, если исследуется система при постоянной температуре в схему моделирования включается связь системы с тепловым резервуаром. Такая система характеризуется каноническим ансамблем в координатах фиксированного числа частиц N, объёма V и температуры Т, при условии, что давление равно нулю. В этом случае должно выполняться условие, что кинетическая энергия сохраняется в определённых интервалах в течение компьютерного эксперимента. Эти две формы метода молекулярной динамики относятся к категории классических.

      Методы молекулярной динамике основанные на исследовании в системе с постоянным числом частиц N, неизменной энтальпией Н и некоторым тензором напряжения были развиты в работах Паринелло и Рахмана. Эта модификация позволяет исследовать процессы, характеризующиеся значительными структурными изменениями. Оба последних метода молекулярной динамики нашли применение при исследовании структурных изменений имеющих место в материале, при различных типах внешних воздействиях. В целях ускорения времени компьютерного эксперимента при расчётах применяются комбинации перечисленных выше методов.

    Хотя  применение подобного метода требует значительного объема машинного времени, данный метод позволяет исследовать фазовые превращения в материале в динамике, и при удачной постановке задачи может приближаться к исследованию реального процесса.

2.2 Исследование солитонных явлений типа кинк в компьютерной модели ячейки кристалла никеля (Ni)

2.2.1 Исследуемая модель (компьютерная модель).