Введение

        Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении равновесных положений системы. Простое наблюдение показывает, что некоторые положения равновесия системы устойчивы к небольшим возмущениям, а другие принципиально возможные равновесные положения практически не могут быть реализованы. Так, например, если маятник занимает нижнее положение, то небольшие возмущения могут вызвать только колебания его. Если же после некоторых усилий удастся установить маятник в верхнем положении, то малейший толчок вызовет его падение. В 1644 г. Критерий устойчивости равновесия системы тел, находящихся под действием сил тяжести, в общем виде сформулировал Е.Торричелли, а в 1788 г. Ж.Лагранж доказал теорему, определяющую достаточные условия устойчивости равновесия произвольной консервативной системы.

       Устойчивостью  любого явления в обиходе называют его способность достаточно длительно и с достаточной точностью сохранять те формы своего существования, при утрате которых явление перестает быть самим собой. Однако не только в обиходе, но и в научной терминологии устойчивым называют не явление, а систему, в которой оно наблюдается, хотя это не оправдывает логически. Устойчивы ли физические тела - шар или куб? Такой вопрос будет иметь смысл, если речь идет о материале, из которого они сделаны. (Металлический шар устойчив, шар из дыма нет.)  В одной и той же системе одни состояния или движения могут быть устойчивыми, а другие не устойчивыми. Более того, одно и то же движение может быть устойчивым относительно одной переменной и неустойчивым относительно другой - это отмечал еще А.М. Ляпунов. Вращение ротора турбины устойчиво по отношению к угловой скорости и неустойчиво относительно угла поворота вала. Движение ракеты устойчиво относительно траектории и неустойчиво по отношению к неподвижной системе координат. Поэтому нужно оговаривать, устойчивость какого состояния или движения в системе и относительно каких переменных изучается.

         В середине ХIХ столетия в науке и технике возникли проблемы, потребовавшие постановки общей задачи об устойчивости не только  равновесия , но и движения. Укажем на одну из них.

        Центробежные регуляторы, установленные  на паровых машинах небольшой  мощности, устойчиво сохраняли заданные  обороты двигателя. С увеличением  мощности машин регуляторы, построенные  по тем же схемам, не только  не обеспечивали надежное регулирование,  но даже разгоняли двигатели,  создавая неустойчивый режим  работы. Это непонятное для инженеров  и техников тех лет явление  вызвало серьезный кризис в  двигателестроении и потребовало  усилий ученых многих стран  для решения возникшей проблемы. Исследования Максвелла (1868 г.), Вышнеградского (1876-1877 гг.) и других показали, что решение, как этой задачи, так и общее развитие теории регулирования требует, прежде всего, установления критериев устойчивости движения.

        В конце ХIХ столетия появились работы, в которых вопросы устойчивости движения трактовались с общих позиций. Так, в 1877-1884 гг. были опубликованы монографии Э.Дж.Рауса, а в 1882 г. – докторская диссертация Н.Е.Жуковского, в которых авторы, пользуясь различными методами, рассмотрели ряд общих вопросов устойчивости движения. Некоторые результаты и методы, развитые ими, не утратили своего значения и в наши дни.

       Основной недостаток работ того  времени состоял в том, что  при анализе уравнений возмущенного  движения авторы исходили из  линеаризованных уравнений возмущенного  движения и не рассматривали  влияния членов высшего порядка. Так, например, если уравнения возмущенного движения имеют вид

то, согласно рекомендациям авторов тех лет, их можно упростить, отбросив нелинейные члены, т.е заменить уравнения (*) уравнениями

  и судить устойчиво или неустойчиво движение не по уравнениям(*), а по уравнениям (**), ничего общего не имеет с результатом анализа точных уравнений (*).

          В 1892 г. Была опубликована докторская диссертация А.М.Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения». Эта работа содержит так много плодотворных идей и результатов первостепенного значения, что всю историю теории устойчивости движения не без основания делят на доляпуновский  и послеляпуновский периоды. Полностью оценить его работу может только специалист, хорошо знающий предмет.

          А. М. Ляпунов дал строгое математическое определение устойчивости. Отсутствие такого определения приводило часто к недоразумениям, так как движение устойчивое в одном смысле может оказаться неустойчивым в другом понимании этих слов, и наоборот. Определение Ляпунова оказалось настолько удачным, что оно принято как основное всеми учеными.

           А.М.Ляпунову принадлежит постановка задачи об устойчивости движения по уравнениям первого приближения, когда об устойчивости можно судить по линеаризованным уравнениям без необходимости привлечения к анализу точных уравнений. Он предложил два основных метода исследования устойчивости движения, из них второй метод, или, как сейчас принято называть его, прямой метод, получил наибольшее распространение благодаря своей простоте и эффективности. Он поставил вопрос об обратимости теоремы Лагранжа и доказал его для двух частных случаев.

         После А.М.Ляпунова теория устойчивости движения развивалась по различным направлениям. Углублялись методы и уточнялись результаты самого Ляпунова, расширялся круг понятий, введенных Ляпуновым в теорию устойчивости движения, в частности, усилия многих ученых были направлены на определение условий устойчивости при больших начальных и постоянно действующих возмущениях, а также на конечном промежутке времени при случайных силах. Возникло также направление, которое условно можно назвать прикладным. Речь идет о создании общих методов исследования устойчивости движения отдельных, достаточно обширных классов систем ( системы автоматического регулирования, управляемые системы и т.п. ).

       Теория устойчивости движения широко применяется в физике, астрономии, химии и даже биологии. Особо важное значение теория устойчивости движения имеет для техники. Турбины, генераторы должны устойчиво сохранять заданный режим работы. Гироскопический компас должен устойчиво показывать направление географического меридиана т т.п.

        Прежде чем перейти к методам исследования устойчивости или неустойчивости движения введем определение устойчивости.

1.Определение устойчивости и асимптотической устойчивости.

           Поведение широкого класса физических систем часто описывается дифференциальными уравнениями n–го порядка, которое всегда может быть преобразовано в эквивалентную систему n дифференциальных уравнений 1-го порядка в виде:

       Здесь y_ν(t) являются какими – либо зависимыми переменными, связанными с «движением» (в свете механики), т. е. с временным (динамическим) протеканием процесса; например, в электрических системах это могут быть напряжения, токи, заряды и т. п. Точка сверху означает производную от этих величин по времени.

     Частному  решению f_ν(t) одного из системы уравнений (1) соответствует движение системы, которое назовем невозмущенным движением в противоположность другому движению, которое обозначим как возмущенное движение y_ν(t) . Очевидно, что f_ν(t) должно удовлетворять следующей системе уравнений: 

            Различие значений возмущенного y_ν(t) и невозмущенного f_ν(t) движений в каждый момент времени t назовем возмущением x_ν(t): 

Затем при следующих выражениях:

     Ляпунов дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение называется устойчивым, если для всякого небольшого положительного числа δ>0 может быть найдено другое такое число ε(δ), чтобы для всех возмущенных движений y_ν(t) для начального момента времени t = t₀ выполнялось неравенство (4), а во все последующие моменты времени t > t₀ было справедливо неравенство (5). В противном случае невозмущенное движение неустойчиво. Иными словами невозмущенное движение устойчиво, если, будучи возмущено в начальный момент времени оно в дальнейшем целиком проходит в непосредственной окрестности своего первоначального состояния и не покидает эту соседнюю область.

     Из  данного определения устойчивости движения получается устойчивость положения  равновесия как частный случай, когда  все f_ν(t)=С_ν, т.е. являются постоянными величинами.

     Более жестким, чем только что данное определение, является определение асимптотической  устойчивости. А именно, невозмущенное  движение называется асимптотически устойчивым, если оно, во-первых, устойчиво в  смысле вышеуказанного определения (4), (5), и, во-вторых, если можно выбрать  число δ такое, чтобы для всех возмущенных движений, которые удовлетворяют неравенству (4) дополнительно выполнялось условие (6). Другими словами это означает, что при возмущенном в начальный момент времени t=t₀ асимптотически устойчивом движении возмущения не только остаются внутри окрестности первоначального состояния ε(δ), как при нормальной устойчивости, но и дополнительно с течением времени затухают до нуля.

     Итак, возмущенное движение устойчиво, если возмущенное в начальный момент времени движение проходит в его  непосредственной окрестности и  не покидает определенную соседнюю область. Оно асимптотически устойчиво, если возмущенное движение асимптотически стремится к невозмущенному.

     Приведенное определение устойчивости называется устойчивым «в малом». Наряду с ним  часто пользуются понятиями об устойчивости «в большом» и «в целом», которые  характеризуют поведение движения по отношению к большим начальным  возмущениям из определенной области  или даже для произвольных начальных  возмущений. Такие случаи часто имеют  существенное значение в некоторых  задачах. Однако во многих практически важных задачах вполне достаточным оказывается исследование устойчивости «в малом». Именно этот вариант и будет рассматриваться в дальнейшем изложении. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Дифференциальные уравнения возмущенного движения; уравнения первого приближения.

   Продифференцировав (3) по времени, получим: 

где, в  соответствии с (1), (2), обозначено 

     Уравнения (7) записаны относительно возмущений x_ν(t) и называются дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Каждому движению рассматриваемой системы соответствует частное решение уравнений (8). Например, полностью невозмущенному движению соответствует тривиальное решение: 
 

при котором, как легко видеть (8), функции  X_ν также становятся тождественно равными нулю.

            Для многих задач исследования  устойчивости желательно правые  чести уравнений возмущенного  движения (7) разложить в ряд по  степеням возмущений X_ν в окрестности нулевой точки (9). Так как здесь выполняются условия (10), то свободные члены в разложение не попадают (ряд Маклорена) и можно записать: 
 

где а_ν1, а_ν2,..., а_νn – постоянные коэффициенты при разложении функции X_ν в ряд Маклорена, X_ν – сокращенная запись для суммарного обозначения всех слагаемых разложения, которые относительно возмущений x_ν имеют степень выше единицы, а также -  перекрестных членов ряда. Во многих случаях, если начальные значения возмущений x_ν малы, то при исследовании устойчивости можно пренебречь членами высших порядков малости и рассматривать линеаризованную систему уравнений возмущенного движения: 

Эту систему  называют системой уравнений 1-го приближения.

      Вопрос  о возможности суждения об устойчивости или неустойчивости первоначальной нелинейной системы на основании  рассмотрения уравнений 1-го приближения, т. е. Линеаризованной системы уравнений  возмущенного движения, впервые был  рассмотрен А. М. Ляпуновым для всех случаев исследования уравнений (7). При этом найденные и доказанные им положения об устойчивости линеаризованной  системы получаются из общей теории А. М. Ляпунова об устойчивости и неустойчивости. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  3.Исследование устойчивости движения в окрестности особых точек