Ляпунов сформулировал теоремы об устойчивости линеаризованных систем. Движение в  окрестности особой точки  асимптотически устойчиво (рис. 1а) или устойчиво в смысле Ляпунова (рис. 1б).

а)      б)

                     Рис. 1

     Пусть имеется особая точка в начале координат. Устойчивость определяется в окрестности этой точки.

     Если  может быть найдена такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, заканчивалось в точке, характеризующей состояние равновесия, то такое движение называется асимптотически устойчивым.

     Если  внутри окрестности точки может  быть найдена такая область, чтобы  движение, начавшись вблизи окрестности, заканчивалось в пределах области  точки, то такое движение называется устойчивым по Ляпунову.

     Рассмотрим  нелинейную систему второго порядка, которая описывается системой уравнений:

     

     Условие особых точек: 

     Каждое  из этих уравнений может быть представлено в виде линии на плоскости x0y. Если система линейная (рис. 2а), то оба уравнения линейны и линии пересекаются в одной (особой) точке, которая расположена, как правило, в начале координат. Для нелинейных систем (рис. 2б) каждое уравнение это уравнение кривой. Они могут пересекаться в нескольких точках, т.е. особых точек может быть сколь угодно.

                                       Рис. 2

     Для определения устойчивости в окрестности  какой-либо точки можно воспользоваться  методом линеаризации.

     

      

Переходим к уравнениям в изображениях 

              

где   - постоянные коэффициенты, при этом  _, а

     Система линеаризованных уравнений

     

     Исключив  одну переменную, можно получить уравнение  второго порядка 

            Для определения устойчивости  анализируем корни характеристического  уравнения 

     Если  корни характеристического уравнения  расположены в левой полуплоскости, то линеаризованная система устойчива, а соответствующая ей исходная нелинейная система асимптотически устойчива  в окрестности, рассматриваемой  особой точки.

     Если  корни расположены в правой плоскости, то линеаризованная система неустойчива, а движение в окрестности особой точки является неустойчивым.

     Если  корни расположены на мнимой оси, то линеаризованная система не устойчива, а для определения устойчивости нелинейной системы необходимо провести дополнительные исследования нелинейной системы, т.е. уравнения в первом приближении не дают точного представления  об устойчивости нелинейной системы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Второй (прямой) метод Ляпунова

     Одним из наиболее эффективных методов  исследования устойчивости движения является прямой метод Ляпунова (очень часто этот метод называется вторым методом Ляпунова).

     Если  хотя бы один из корней характеристического  уравнения расположен на мнимой оси, то  при этом используется второй (прямой) метод Ляпунова, позволяющий  определить устойчивость в большом.

     Метод основан на использовании специальных  функций, называемых функциями Ляпунова. Чтобы выяснить смысл функций  Ляпунова рассмотрим фазовый портрет  в окрестности некоторой особой точки (рис. 3). Рассмотрим радиус – вектор -r, который изменяется по модулю в функции времени.

                 Рис. 3

           Если при ,то движение асимптотически устойчиво.

            Если при увеличивается , то движение не устойчиво.

            Если при ,то движение устойчиво в смысле Ляпунова.

     Ляпунов доказал, что надо найти такую произвольную функцию H(x, y), которая бы играла роль радиус-вектора r, и была бы положительной для всех точек за исключением, быть может, начала координат, где она может быть равной нулю. Такая функция называется функцией Ляпунова.

     Знакоопределенной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов за исключением, может быть, начала координат, где она равна нулю, имеет определенный знак (рис. 4а).

     Знакопостоянной функцией называется функция, которая при всех значениях аргументов (за исключением нескольких точек, где она равна нулю) сохраняет постоянный знак (рис. 4б). 

а)     б)

                                            Рис. 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Теоремы Ляпунова об устойчивости нелинейных систем

     Th1. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H(x, y), что тоже знакоопределенная функция противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки асимптотически устойчиво.

     Th2. Если можно найти такую знакоопределенную функцию H(x, y), что будет знакопостоянной функцией противоположного знака, то движение в окрестности рассматриваемой особой точки будет устойчивым в смысле Ляпунова.

     Th3. Если существует такая функция H(x, y) > 0, что > 0, то такое движение неустойчиво.

     Эти теоремы характеризуют достаточные  условия устойчивости движения в  нелинейных системах. Функции Ляпунова выбираются в виде квадратичных функций  или квадратичная функция плюс интеграл исходя из того, что 

     Например:  

     Это самое слабое место метода, так  как нет способа выбора функций  Ляпунова, ее выбор представляет трудности, надо полагаться на интуицию и некоторые  рекомендации.

     Методы  построения функции  Ляпунова

     Применение  основных теорем прямого метода требует  знания функций Ляпунова, удовлетворяющих  определенным требованиям. К сожалению, общих методов построения таких функций нет, но во многих случаях их можно сконструировать. Не останавливаясь на подробном разборе различных способов построения функций Ляпунова, укажем на несколько методов, чаще всего применяемых при решении практических задач.

     1. Метод преобразования координат. Если для данных уравнений возмущенного движения трудно найти функцию Ляпунова, то часто переходом к новым координатам (конечно, прежде всего следует испробовать линейное преобразование с постоянными коэффициентами) уравнения удается привести к такой форме, для которой соответствующая функция находится сравнительно просто.

     2. Метод неопределенных коэффициентов. Будем искать функцию Ляпунова в виде квадратичной формы с постоянными коэффициентами 

     3. Построение функции Ляпунова с помощью связки интегралов. Предположим, что уравнения возмущенного движения  допускают интеграл

           (*)

для которого разность является определенно-положительной функцией переменных .Тогда в качестве функции Ляпунова можно взять функцию 

Действительно, производная функции V по времени в силу уравнений возмущенного движения согласно интегралу (*) тождественно равна нулю и, следовательно, эта функция будет удовлетворять всем условиям теоремы Ляпунова об устойчивости движения.

     Рассмотрим  примеры анализа устойчивости движения в окрестности особых точек с  использованием методов Ляпунова.

 

Пример 1. Устойчивость движения конического маятника. Рассмотрим стационарное движение материальной точки М массой m, подвешенной на невесомой нити длиной l и движущейся с постоянной скоростью под действием силы тяжести по горизонтально расположенной окружности (конический маятник (рис.5,а)).

 Нить  маятника, закрепленная в точке  O, описывает в стационарном движении круговой конус; обозначим угол между нитью и вертикалью через , а угловую скорость вращения нити вокруг вертикали   через . Между углом , угловой скоростью и длиной маятника l в стационарном движении существует хорошо

известное    соотношение:                                                   Рис.5               

             (9)       

которое может быть получено, например, с  помощью принципа                                                Даламбера.

        Примем стационарное движение маятника по окружности за невозмущенное движение. Предположим, что на это движение наложены небольшие возмущения. Обозначим угол между нитью и вертикалью в возмущенном движении через (рис. 5, б),  а угловую скорость                                                                 вращения плоскости М вокруг вертикали через .                                

         Введем обозначения

,                                                                     (10)   

         Будем изучать устойчивость невозмущенного движения относительно величин и . Кинетическая T и потенциальная П энергии маятника определяются равенствами

                      

         Так как действующая на маятник сила тяжести потенциальна, а координата циклическая (кинетическая анергия Т зависит от обобщенной скорости , но не зависит от координаты , и обобщенная сила, соответствующая этой координате, равна нулю: ,

то существуют два интеграла движения (h и п — постоянные): 
 

(множители и введены для удобства).

          Второе равенство представляет интеграл момента количества движения маятника относительно вертикали и его можно получить из элементарных соображений.

Пользуясь равенствами (10), запишем эти интегралы в следующей форме:

 

         Интегралы (11) получены из общих теорем динамики. Конечно, можно было сначала составить дифференциальные уравнения возмущенного движения, а затем, комбинируя их, найти интегралы (11). Выбранный здесь путь является, как правило, более простым.

          Перейдем к исследованию устойчивости стационарного движения маятника относительно величин и . Ни один из найденных интегралов не является знакоопределенной функцией относительно величин . Поэтому составим линейную связку интегралов (11), положив и : 

         Члены и внесены для того, чтобы функция H обращалась в нуль при . Заменим отношение g/l его значением из равенства (9) и разложим функцию V в ряд по степеням . Имеем 
 

где точками  обозначены члены высшего порядка.

          Внесем эти значения для  и в последнее выражение для функции V и сгруппируем члены: 

          Для того чтобы функция H была определенно-положительной, необходимо прежде всего избавиться от членов, содержащих вариации в первой степени. В данном случае для этого достаточно положить 

При таком  значении функция H примет вид