Устойчивость движения

align="justify">          Так как квадратичная часть  функции H определенно- положительна относительно то при достаточно малых значениях вся функция H будет также определенно-положительна. Производная по времени функции H на основании интегралов (11) тождественно равна нулю, и, следовательно, стационарное движение конического маятника устойчиво относительно .

Пример 2. Асимптотическая устойчивость равновесия     твердого         тела,   находящегося в сопротивляющейся среде. Рассмотрим свободное твердое тело, движущееся в сопротивляющейся среде поступательно относительно инерциальной системы отсчета (в частности, оно может находиться в покое). Это движение тела примем за невозмущенное. Дадим телу небольшие возмущения, в результате чего возникает вращательное движение относительно поступательно перемещающихся координатных осей , начало которых совпадает с центром масс С тела.

           Будем считать, что среда, в которой движется тело, создает момент сил сопротивления М, пропорциональный некоторой степени угловой скорости тела:

,            (12)

где — угловая скорость тела в возмущенном движении, а и -положительные коэффициенты (они могут быть постоянными, но могут зависеть и от , изменяясь в некоторых пределах: , .

           Кроме того, будем предполагать, что другие силы, действующие  на тело (если они существуют), не создают момента относительно  центра масс. В этих предположениях  динамические уравнения Эйлера  примут вид 

                             (13) 

где — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции тела x, y, z, а — проекции угловой скорости тела на те же оси.

           Будем рассматривать устойчивость  вращательного движения тела  относительно проекций угловой  скорости. Так как по условию задачи в невозмущенном движении (тело двигалось поступательно или находилось в покое), то уравнения (13) будут дифференциальными уравнениями возмущенного движения.

           Докажем, что невозмущенное движение  тела асимптотически устойчиво  относительно величин . Для этого умножим первое уравнение (13) на , второе на , третье на   и сложим все уравнения. После очевидных преобразований получим

 

 или, учитывая,   что   , 

Функция  

определенно-положительна, а ее производная в силу уравнений  возмущенного движения, согласно равенству (15), определенно-отрицательна. Следовательно, выполнены все условия соответствующей теоремы Ляпунова и вращательное движение тела в сделанных предположениях асимптотически устойчиво относительно величин . Заметим, что из этого не следует устойчивость относительно угловых перемещений. 

                   Рис.6                                                                 Рис.7 
 
 

6.Устойчивость движения в предельных циклах

     Предельные  циклы характеризуют режимы автоколебаний. Для анализа устойчивости автоколебаний  вводится понятие орбитальной устойчивости.

     Пусть имеем предельный цикл, вблизи которого выбираем окрестность -e, представляющую криволинейный цилиндр (рис. 8).

     Если  может быть выбрана такая окрестность -e, чтобы движение, начавшись в пределах окрестности, сколь угодно близко приближалось к предельному циклу, то такое движение называется орбитально-асимптотически устойчивым.

Рис. 8

Если  внутри окрестности предельного  цикла может быть найдена такая  область, чтобы движение, начавшись  вблизи окрестности, заканчивалось  в пределах области, то такое движение называется орбитально-устойчивым по Ляпунову.

Для определения  автоколебаний их устойчивости и  параметров существует ряд методов: метод точечных преобразований, метод  гармонической линеаризации и др. 
 
 

  
 

7.Метод точечных преобразований

     Метод точечных преобразований позволяет  определить наличие предельных циклов и их устойчивость.

     Идея  метода. Пусть задана фазовая траектория, выбираем линию, которая пересекает фазовую траекторию (рис. 9). Обычно это отрезок оси – 0х. Пусть начальное положение, изображающие точки на оси 0х – . 

Рис. 9                   Рис. 10

     За  один оборот начальная точка траектории М ( ) переходит в конечную точку М ( ), которая является начальной для следующего оборота M( ). Таким образом, можно построить зависимость конечных значений изображающей точки от начальных, т.е. так называемую кривую точечного преобразования (рис. 10). Эта кривая позволяет определить наличие предельных циклов и их устойчивость. Точка пересечения кривой точечного преобразования с линией под углом 45° характеризует наличие предельного цикла. При этом = (рис. 11а).

     Возьмем точку справа от цикла: , т.е. колебания будут затухать (рис. 11б). Возьмем точку слева от цикла: , т.е. колебания будут увеличиваться по амплитуде (рис. 11в).

a)    б)     в)

                                          Рис. 11

         Таким образом, рассматриваемый  цикл будет устойчивым. Устойчивость  можно определить по направлению  стрелок точечного преобразования. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8.Заключение

     В заключении отметим, что теория устойчивости движения еще далека от завершения. Она продолжает развиваться, охватывая  все более широкий курс вопросов. В ее разработке принимают участие  много ученых различных стран.

     В данной курсовой работе изучены основные методы исследования устойчивости движения.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

9.Список  литературы          

1. Грумондз В.Т. Динамика нелинейных систем: Некоторые задачи устойчивости и колебаний – 2-е изд. Вуз. книга, 2009. – 182c.
2. Малкин И.Г  Теория устойчивости движения.- 2-е издание- М.: Наука, 1978
3. Красовский Н.Н Некоторые задачи теории устойчивости движения.- М.: Физматгиз, 1959.
4. Ляпунов А.М Общая задача об устойчивости движения.- Москва, 1950
5. Меркин Д.Р Введение в теорию устойчивости движения.- Наука.