Анализ динамических рядов с помощью трендовых моделей

  В процессе формирования значений уровней  каждого временного ряда не обязательно должны участвовать одновременно все компоненты. В изменении значений одного показателя может отсутствовать трендовая компонента, другого – периодические составляющие, динамика третьего показателя может описываться лишь случайной компонентой. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной, нерегулярной компоненты.

2. Методы  анализа основной тенденции (тренда) в  рядах динамики

 

   Одна  из важнейших задач статистики - определение в рядах динамики общей тенденции развития. Основной тенденцией развития называется плавное и устойчивое изменение уровня во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в выявлении общей тенденции в изменении уровней ряда, освобожденной от действия различных факторов.

   Изучение  тренда включает два основных этапа:

• ряд динамики проверяется на наличие тренда;
• производится выравнивание временного ряда и непосредственно выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

   Существует  несколько методов обработки  рядов, помогающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные (расчётные) уровни, в которых тем или иным способом взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Последние в результате становятся как бы «выровненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным. Такие методы обработки рядов называются сглаживанием или выравниванием рядов динамики.

   Один  из наиболее простых приемов обнаружения  общей тенденции развития явления  - укрупнение интервала динамического ряда. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При суммировании уровней или при выведении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются, и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).

   Выявление основной тенденции может быть осуществлено также методом скользящей средней. Скользящая средняя - подвижная динамическая средняя, которая рассчитывается по ряду при последовательном передвижении на один интервал, то есть сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем- средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. Таким образом, средняя как бы скользит по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

   При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни). Суть метода заключается в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды.

   Скользящая  средняя обладает достаточной гибкостью, но недостатком метода является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, что ведет к потери информации. Кроме того, скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда.

   Период  скользящей может быть четным и нечетным. Практически удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующие:

      ;  ;  и т.д.

   Полученные  средние записываются к соответствующему срединному интервалу.

   Особенность сглаживания по четному числу  уровней состоит в том, что  каждая из численных (например, четырехчленных) средних относится к соответствующим промежуткам между смежными периодами. Для получения значений сглаженных уровней соответствующих периодов необходимо произвести центрирование расчетных средних, т.е. из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определённому периоду.

   Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дает теоретических рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность.

  Изучение  основной тенденции развития методом  скользящей средней является лишь эмпирическим приемом предварительного анализа. Рассмотренные приемы сглаживания  динамических рядов (укрупнение интервала  и метод скользящей средней) могут  рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выявления тенденции.

   Более совершенным приемом изучения общей  тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями.

   Для аналитического выравнивания наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей:

• прямая (линейная) ;
• парабола второго (или более высокого) порядка   ;
• показательная (логарифмическая) ;
• гиперболическая ;
• экспоненциальная ;
• логистическая ;
• Гомперца  , где ;
• ряд Фурье 

[5, с. 309; 6, с. 234; 7, с. 140]

   Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

  Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как  правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определённую вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приёмы сглаживания (выше рассмотренные укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (управление) для аналитического выравнивания.

  Кроме того, в результате многолетнего опыта  использования аналитического выравнивания рядов динамики наработаны некоторые правила или, вернее, условия использования перечисленных простых уравнений, которыми полезно руководствоваться при выборе функции.

1. Так, выравнивание по прямой линии (линейной функции) эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней (абсолютные приросты) более или менее постоянны.
2. Если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны, то такое развитие хорошо описывается параболой 2-го порядка . Если постоянны k-е разности уровней, можно использовать параболу k-го порядка , позволяющую «улавливать» перегибы, изломы в кривой, смену направлений изменения уровней. Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменение уровней ряда.
3. Если при последовательном расположении t (меняющемся в арифметической прогрессии) значения уровней меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны, то такое развитие можно отразить показательной функцией .
4. Если обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля, для описания характера тренда выбирают гиперболу вида и т.д.[5, с. 310]

   Чтобы решить вопрос о том, использование  какой кривой даёт лучший результат, обычно сопоставляют суммы квадратов  отклонений эмпирических уровней от теоретических, рассчитанных по разным функциям, т.е. . Та функция, при которой эта сумма квадратов меньше, считается более адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров. Если же число параметров (n-m), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы).

3. Экстраполяция тенденции как  метод прогнозирования

 

   Основа  большинства методов прогнозирования - экстраполяция тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы или, другими словами, это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

   Экстраполяция, проводимая в будущее,- это перспектива, а в прошлое,- ретроспектива.

     Предпосылки применения экстраполяции:

• развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;
• общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

     Экстраполяцию в общем виде можно представить  так:

     

,

   где - прогнозируемый уровень; - текущей уровень прогнозного ряда; Т - срок экстраполяции; - параметр уравнения тренда.

   При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации.

   Упрощенные  приемы целесообразны при недостаточной  информации о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ряда или информация заданна только двумя точками: на начало и конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних показателях динамики, и можно выделить:

1. Метод среднего абсолютного прироста.

   Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

     

,

   где t- срок прогноза; i- номер последнего уровня.

   Применение  в экстраполяции среднего абсолютного  прироста предполагает, что развитие явления происходит по арифметической прогрессии и относится в прогнозировании к классу «наивных» моделей, т.к. чаше всего развитие явления следует по иному пути, чем арифметическая прогрессия. Вместе с тем в ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет динамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

2. Метод среднего темпа роста.

   Осуществляется, когда общая тенденция характеризуется  показательной кривой

     

,

   где - последний уровень ряда динамики; - средний коэффициент роста.

3. Выравнивание рядов по какой-либо аналитической формуле.

   Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактических данных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, имеет малую вероятность.

   Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно  определение доверительных интервалов прогноза:

     

,   ,

   где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ;

     - средняя квадратическая ошибка тренда;

   k - число параметров в уравнении;

    - расчетное значение уровня.

   Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

   Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.

   Адаптивные  методы используются в условиях сильной  колеблемости уровней динамического  ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований.