Принятие решений в условиях неопределенности

     Допустим,  мы хотим оценить риск, который  несет i-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший доход. Иначе говоря, если ситуация есть j-я, то было бы принято решение, дающее доход q_j = max q_ij. Значит,

           ⁱ

     принимая  i-е решение, мы рискуем получить не q_j, а только q_ij, значит, принятие i-го решения несет риск недобрать r_ij = q_j - q_ij. Матрица R = (r_ij) называется матрицей рисков.

     Пусть матрица последствий есть Q. 

                 max

     

                                  0     6      5       2              5

                  Q =         6     2      8     22             22 

                                 9     4      3     32              32

                               -6    -4   -12     10              10   

     Составим  матрицу рисков R. Имеем q₁ = 5, q₂ = 22, q₃ = 32,    q₄ = 10. Следовательно, матрица рисков есть R.

     

                                9     0     3    30

                  R =        3     4     0    10

                                0     2     5     0

                              15   10   20    22 

     Здесь мы впервые встретились с количественной оценкой риска. Несомненно, что риск — одна из важнейших категорий  предпринимательской деятельности, неотъемлемая черта этой деятельности. Как известно, предприниматели живут в среднем лучше, чем остальная часть человечества. Это — награда им за риск в один несчастный день оказаться разоренным. Риск — понятие многогранное и мы еще не раз встретимся с ним. 

     Принятие  решений в условиях полной неопределенности. 

     При принятии решений в условиях полной неопределенности некоторыми ориентирами  могут служить следующие правила-рекомендации.

     Правило Вальда (правило крайнего пессимизма). Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т.е. приносящая самый малый  доход   a_i = min q_ij. Но  теперь уже выберем решение i₀  с

           ^j        

     наибольшим  a_i0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение i₀ такое, что a_i0 = max = max (min q_ij).

           ^i j

                                                                            min

                                                                    

                                 0     6      5       2                  0

                  Q =         6     2      8     22                 2

                                 9     4      3     32                  3

                               -6    -4   -12     10               -12 

     Так, в вышеуказанном примере имеем  a₁ = 0, a₂ =2, a₃ = 3,     a₄ = -12. Теперь из чисел 0, 2, 3, -12 находим максимальное. Это — 3. Значит, правила Вальда рекомендует принять 3-е решение. Данному правилу следует человек, боящийся риска.

     Правило Сэвиджа (правило минимального риска). Данному правилу следует человек, боящийся риска. При применении этого правила анализируется матрица рисков R = (r_ij). Рассматривая i-е решение, будем полагать, что на самом деле складывается ситуация максимального риска b_i = max r_ij. Но

           ^j

     теперь  уже выберем решение i₀ с наименьшим b_i0. Итак, правило Сэвиджа рекомендует принять решение i₀ такое, что b_i0 = min b_i = min (max r_ij).

           ^i j 
 
 
 
 

                                                                     max 

                                                 

                                9     0     3    30               30

                  R =        3     4     0    10               10

                                0     2     5     0                  5

                              15   10   20    22               22 

       Так, в вышеуказанном примере   имеем b₁ = 30, b₂ =10, b₃ = 5, b₄ = 22. Теперь из чисел 30, 10, 5, 22 находим минимальное. Это — 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять 3-е решение.

     Правило “розового оптимизма”. ЛПР считает, что для него сложится самая благоприятная ситуация, т.е. он получит самый большой доход в результате своей деятельности

       c_i = max q_ij. Теперь выберем решение i₀ с наибольшим c_i0. Итак,

           ^j

     правило “розового оптимизма рекомендует  принять решение i₀ такое, что c_i0 = max (max q_ij).

            ^{i           j}

                                                                          max 

                                  0     6      5       2                  6

                  Q =         6     2      8     22                22

                                 9     4      3     32                32

                               -6    -4   -12     10                10 

     Так, в вышеуказанном примере имеем  с₁ = 6, с₂ = 22, с₃ = 32, с₄ = 10. Теперь из чисел 6, 22, 32, 10 берем максимальное. Это — 32. Значит, правило “розового оптимизма” рекомендует 3-е решение.

     Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). Принимается решение i, на котором достигается максимум {l min q_ij + (1 - l) max q_ij}, где          0 £ l £ 1. Значение l выбирается из субъективных соображений. Если l приближается к единице, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении l к нулю правило Гурвица приближается к правилу “розового оптимизма”.

     Возьмем l = 1/2. 
 
 
 
 

                                                                         max            min 

                                               max           min

     

                                 0     6      5       2                  6               0

                  Q =         6     2      8     22                22              2

                                 9     4      3     32                32               3

                               -6    -4   -12     10                10            -12 

     i₁ = ½ * 6 + ( 1- ½ ) * 0 = 3

     i₂ = ½ * 22 + ( 1 - ½ ) * 2 = 12

     i₃ = ½ * 32 + ( 1 - ½ ) * 3 = 17.5

     i₄ = ½ * 10 + ( 1 - ½ ) * ( -12 ) = -1 

     Итак, мы имеем i₁ = 3, i₂ = 12, i₃ = 17.5, i₄ =  -1. Теперь из чисел 3, 12, 17.5, -1 берем максимальное. Это — 17.5. Значит, правило Гурвица рекомендует 3-е решение. 

     Принятие  решений в условиях частичной неопределенности. 

     Предположим, что в рассматриваемой схеме  известны вероятности p_j того, что реальная ситуация развивается по варианту j. Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил.

     Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход, получаемый    фирмой   при   реализации   i-го    решения,   

     является  случайной величиной Q_i с рядом распределения                  

      Математическое ожидание M[Q_i] и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Q_i. Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

      В приведенном примере вероятности  такие (1/2, 1/4, 1/5, 1/20).

                                 0     6      5       2

                 Q =          6     2      8     22

                                 9     4      3     32

                               -6    -4   -12     10   

                     р_j =  ( 1/2  1/4   1/5  1/20 )   

     

                     0        6        5        2

      Q₁ :

                  1/2      1/4     1/5    1/20  
 

     

                     6        2        8       22

      Q₂ :

                  1/2      1/4     1/5    1/20  
 
 

     

                     9        4        3       32

      Q₃ :

                  1/2      1/4     1/5    1/20  
 
 

     

                    -6        -4     -12     10

      Q₄ :

                  1/2      1/4     1/5    1/20  

     

     Q₁ = 6/4 + 5/5 + 2/20 = 1,5 + 1 +0,1 = 2,6

     

     Q₂ = 6/2 + 2/4 + 8/5 + 22/20 = (30+5+16+11)/10 = 62/10 = 6,2

     

     Q₃ = 9/2 + 4/4 + 3/5 + 32/20 = (45+10+6+16)/10 = 77/10 = 7,7

     

     Q₄ = - 6/2 - 4/4 - 12/5 + 10/20 = (-30-10-24+5)/10 = - 59/10 = -5,9 

     Максимальный  средний ожидаемый доход равен 7.7, что соответствует 3-му решению.

     Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фирмы при реализации i-го решения является случайной величиной R_i с рядом распределения 

          

      Математическое ожидание M[R_i] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также R_i. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски. 

     

                                9     0     3    30

                  R =        3     4     0    10

                                0     2     5     0

                              15   10   20    22 

                   р_j =  ( 1/2  1/4   1/5  1/20 )   
 

     

                     9        0        3       30

      R₁ :

                  1/2      1/4     1/5    1/20  
 

     

                     3        4        0       10      

      R₂ :