Регрессия

Таблица 3-Исходные данные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Технология  построения уравнения  регрессии аналогична алгоритму, изложенному  в п.п. 1.1. Протокол построения уравнения  регрессии показан на рисунке 7.

 

 

14

Рисунок 7-Протокол решения задачи

Из рисунка 7 видно, что  эмпирические коэффициенты регрессии  соответственно равны:

b₀=0,81;

b₁=-0,04;

b₂=0,2.

Тогда уравнение множественной  линейной регрессии, связывающие величину чистого дохода y с оборотом капитала x₁ и использованным капиталом x₂ имеет вид:

=0,81-0,04 x₁+0,2x₂.                                                                                             (5)

На следующем этапе, в  соответствии с заданием необходимо выполнить количественную оценку влияния объясняющих переменных x₁ и x₂ на результативную переменную y, используя коэффициенты эластичности. Коэффициенты эластичности для модели множественной линейной регрессии определяется в виде:

15

                                                                                                             (6)

Тогда:

 

Следовательно, при изменении  оборота капитала на 1% величина чистого 

 

При изменении использованного  капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,2%.

На третьем  этапе исследования необходимо оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия и нулевую гипотезу о значимости уравнения с помощью F-критерия.

Технология оценки статистической значимости коэффициентов регрессии  также основываются на проверке нулевой  гипотезы о не значимости коэффициентов  регрессии. При этом проверяется  выполнение условия:

если t_тtкрит , то нулевая гипотеза отвергается, и коэффициент регрессии принимается значимым. Из рисунка 7 видно, что t_т для первого коэффициента регрессии равен -1,66, а для второго 2,9. Критическое значение t_крит при уровне значимости определяем с использованием статистической функции СТЬЮДРАСПОБР () рисунок 8. Входным параметрами функции является уровень значимости (Вероятность) и число степеней свободы. Для рассматриваемого примера число степеней свободы соответственно равно n-3 (так как, для двухфакторной модели множественной регрессии, оценивается три параметра b₀, b₁, b₂). Тогда число степеней свободы равно 10-3=7.

16

Рисунок 8- Окно статистической функции СТЬЮДРАСПОБР

Из рисунка 8 видно, что  критическое значение t_крит=2,36.

Так как t_тtкрит для первого коэффициента регрессии (1,66_{), то нулевая гипотеза} не отвергается и объясняющая переменная x₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии t_тtкрит (2,9) и объясняющая переменная x₂ является статистически значимой.

Проверка значимости уравнения  множественной регрессии в целом  с использованием F-критерия аналогично проверке уравнения парной регрессии.

Из рисунка 7 следует, что F_т=6,005. Критическое значение F-критерия F_крит, определяем с помощью использования статистической функции FРАСПОБР (). Для модели множественной регрессии с двумя переменными число степеней свободы соответственно равно 2 (две объясняющие переменные x₁ и x₂) и n-k – 1 (где k=2 – число объясняющих переменных). И второе число степеней свободы равно 10-3=7. Критическое значение F_крит,=4,74.

17

Следовательно:

F_ткрит, (6,005), и уравнение регрессии в целом является значимым.

На последнем  этапе исследования необходимо оценить качество уравнения посредством определения средней ошибки аппроксимации по зависимости (4). С этой целью представим таблицу 3 в виде вспомогательной таблицы 4. Тогда средняя ошибка аппроксимации составит:

 

Значительная ошибка объясняется  последним и предпоследним значением  колонки . Исключая последнее значение из анализа, можно показать, что средняя ошибка аппроксимации в данном случае не превысит 15%, что также является свидетельством достоверности и адекватности полученной эконометрической модели реальному процессу.

Таблица 4-Расчет средней ошибки аппроксимации

Чистый доход, мл. долл. США, у	Оборот капитала, мл. долл. США,х1	Использованный капитал, мл. долл. США, х2
5,5	53,1	27,1	4,1	0,3
2,4	18,8	11,2	2,3	0,04
3,0	35,3	16,4	2,7	0,1
4,2	71,9	32,5	4,4	0,05
2,7	93,6	25,4	2,1	0,2
1,6	10,0	6,4	1,7	0,06
2,4	31,5	12,5	2,1	0,1
3,3	36,7	14,3	2,2	0,3
2,4	64,8	22,7	2,8	0,2
1,6	30,4	15,8	2,8	0,8

18

4. Заключение

1.Сформирована эконометрическая  модель в виде линейного уравнения  парной регрессии, связывающая  величину ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х

ŷ=310-0,4848x.

2.На основании анализа  численного значения коэффициента  корреляции r_yx=0,943 установлено отсутствие статистической связи между величиной прожиточного минимума х и величиной ежемесячной пенсии у. Показано, что доля всех неучтенных в полученной эконометрической модели объясняющих переменных приблизительно составляет 10,9%.

3.Путем расчета коэффициент  эластичности показано, что при  изменении прожиточного минимума  на 1% величина ежемесячной пенсии  изменяется несущественно, всего  на 0,397536%.

4.Рассчитана средняя ошибка  аппроксимации статистических данных линейным уравнением  парной регрессии, которая составила 0,86%, что является вполне допустимой величиной.

5.С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически незначимым, и не адекватно описывает изучаемое явление связи величины ежемесячной пенсии у с величиной прожиточного минимума х.

6.Сформирована эконометрическая модель множественной линейной регрессии, связывающая величину чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂

=0,81-0,04 x₁+0,2x₂.

7.Путем расчета коэффициентов  эластичности показано, что при  изменении 

19

оборота капитала 1% величина чистого дохода компании изменяется на , а при изменении использованного капитала на 1% величина чистого дохода компании изменяется на 0,2%.

8.С использованием t-критерия выполнена оценка статистической значимости коэффициентов регрессии. Установлено, что объясняющая переменная х₁ является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии, в тоже время объясняющая переменная х₂ является статистически значимой.

9.С использованием F-критерия установлено, что полученное уравнение парной регрессии в целом является статистически значимым, и адекватно описывает изучаемое явление связи величины чистого дохода условной фирмы у с оборотом капитала х₁ и использованным капиталом х₂.

10.Рассчитана средняя  ошибка аппроксимации статистических  данных линейным уравнением множественной  регрессии, которая составила  21,5%. Показано за счет какого  наблюдения в статистической  базе величина данной ошибки  превышает допустимое значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

20

2 Построение эконометрических уравнений без использования специализированных программных продуктов

2.1Построение модели  парной регрессии

Используя статистический материал, приведенный  в таблице 5 необходимо:

1.Рассчитать параметры уравнения линейной парной регрессии.

2.Оценить тесноту связи  зависимой переменной с объясняющей  переменной с помощью показателей  корреляции и детерминации.

3.Используя коэффициент эластичности выполнить количественную оценку влияния объясняющей переменной на результативную переменную.

4.Определить среднюю ошибку  аппроксимации.

5.Оценить с помощью  F-критерия Фишера статистическую надежность моделирования.

Таблица 5-Исходные данные

№ п.п	Область	Доля денежных доходов, направленных на прирост сбережений во вкладах, займах, сертификатах и на покупку валюты, в общей сумме среднедушевого денежного дохода, %.	Среднемесячная начисленная  заработная плата, у.д.е.
		уi	xi
1	Костромская	6,1	356
2	Орловская	9,4	289
3	Рязанская	11,0	341
4	Смоленская	6,4	327
5	Тверская	9,3	357
	ИТОГО	42,2	1670

21

Для определения неизвестных параметров b₀,b₁ уравнения парной линейной регрессии (1) используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

                                                                                              (7)

 

Для решения этой системы  вначале необходимо определить значения величин  Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 6)

Таблица 6 – К  расчету коэффициентов регрессии

№	уi	xi	xi2	xiyi
1	6,1	356	126736	2171,6
2	9,4	289	83521	2716,6
3	11,0	341	116281	3751
4	6,4	327	106929	2092,8
5	9,3	357	127449	3320,1
	42,2	1670	560916	14052,1

Тогда система (7) приобретает вид:

 

  

Выражая из первого уравнения  b₀ и подставляя полученное выражение во второе уравнение, получим:

 

 

22

Производя полученное умножение  и раскрывая скобки, получим:

 

Оттуда

 

Тогда

 

Окончательно уравнение  парной линейной регрессии связывающее  величину доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) с величиной среднемесячной начисленной заработной платы (х) имеет вид:

                                                                                          (8)

Далее, в соответствии с  заданием необходимо оценить тесноту  статистической связи зависимой  переменной у с объясняющей переменной х с помощью показателей корреляции и детерминации.

Так как построено уравнение  парной линейной регрессии, то определяем линейный коэффициент корреляции по зависимости:

                                                                                                            (9)

Где - значения среднеквадратических отклонений соответствующих параметров.

Для расчета линейного  коэффициента корреляции по зависимости (9) выполним промежуточные расчеты:

;

23