Регрессия

=;

=

==11,2;

==0,85.

Подставляя значения найденных  параметров в выражение (9), получим:

=

Полученное значение линейного  коэффициента корреляции свидетельствует  о наличии слабой обратной статистической связи между величиной доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений (у) и величиной  среднемесячной начисленной заработной платы (х).

Коэффициент детерминации равен , что означает, что только 8,1% объясняется переменной х на величину у. Соответственно величина равная 19% характеризует долю дисперсии переменной у, вызванную влиянием всех остальных, неучтенных в эконометрической модели объясняющих переменных.

Коэффициент эластичности определяется по зависимости (3) и равен:

=-0,014

Следовательно, при изменении  величины среднемесячной начисленной 

24

заработной платы на 1%, величина доли денежных доходов населения направленная на прирост сбережений изменяется на 0,6%. Причем, при увеличении заработной платы наблюдается снижение величины доли денежных доходов населения, направленных на прирост сбережений. Данный вывод противоречит здравому смыслу и может быть объяснен только некорректностью сформированной математической модели.

Для определения средней  ошибки аппроксимации воспользуемся  зависимостью (4). Для удобства расчетов преобразуем таблицу 5 к виду таблица 7. В данной таблице в колонке  рассчитаны текущие значения объясняющей переменной с использованием зависимости (8).

Таблица 7 – К  расчету средней ошибки аппроксимации

№ п/п
1	6,1	356	8,132	0,333
2	9,4	289	9,07	0,035
3	11,0	341	8,342	0,242
4	6,4	327	8,538	0,334
5	9,3	357	8,118	0,127
	42,2	1670	42,262	1,071

 

Тогда средняя ошибка аппроксимации  равна:

 

Полученное значение превышает (12…15)%, что свидетельствует о существенности среднего отклонения расчетных данных от фактических, по которым построена эконометрическая модель.

25

Надежность статистического  моделирования выполним на основе F-критерия Фишера. Технология использования данного критерия приведена в п.п. 1.2.

Теоретическое значение критерия Фишера F_т определяется из соотношения значений факторной D_{факторная} и остаточной D_ост дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы по формуле:

;

 

=

где n – число объясняющих переменных (для рассматриваемого примера m=1).

Тогда

F_т=

Критическое значение F_крит, определяется по статистическим таблицам для уровня значимости равняется 10,13. Так как F_тFкрит, то нулевая гипотеза не отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически незначимым.

2. Построение модели множественной регрессии

Используя статистической материал, приведенный в таблице 8 необходимо:

1.Построить линейное уравнение   регрессии.

2.Дать сравнительную оценку  тесноты связи объясняющих переменных  с зависимой переменной с помощью  средних (общих) коэффициентов 

26

значимости.                                                                                               

3.Оценить статистическую  значимость коэффициентов регрессии  с помощью t-критерия и нулевую значимости уравнения с помощью F-критерия.

4.Оценить качество уравнения  посредством определения средней  ощибки аппроксимации.

Таблица 8 – Исходные данные

№ п/п	Чистый доход, млн. долл. США	Оборот капитала млн. долл. США	Использованный капитал, млн. долл. США
1	5,5	53,1	27,1
2	2,4	18,8	11,2
3	3,0	35,3	16,4
4	4,2	71,9	32,5
5	2,7	93,6	25,4
6	1,6	10,0	6,4
7	2,4	31,5	12,5
8	3,3	36,7	14,3
9	2,4	64,8	22,7
10	1,6	30,4	15,8
	29,1	446,1	184,3

Для определения неизвестных  параметров b₀,b₁,b₂ уравнения множественной линейной регрессии используем стандартную систему нормальных уравнений, которая имеет вид:

                                                        (11)

                                                           27

Для решения этой системы вначале необходимо определить значения величин ,   .  Эти значения определяем из таблицы исходных данных, дополняя ее соответствующими колонками (таблица 9).

Таблица 9 – К  расчету коэффициентов регрессии

№
1	5,5	53,1	27,1	292,05	149,05	1439,01	2819,61	734,41
2	2,4	18,8	11,2	45,12	26,88	210,56	353,44	125,44
3	3,0	35,3	16,4	102,9	49,2	578,92	1246,09	268,96
4	4,2	71,9	32,5	301,98	136,5	2336,75	5169,61	1056,25
5	2,7	93,6	25,4	252,72	68,58	2377,44	8760,96	645,16
6	1,6	10,0	6,4	16	10,24	64	100	40,96
7	2,4	31,5	12,5	75,6	30	393,75	992,25	156,25
8	3,3	36,7	14,3	121,11	47,19	524,81	1346,89	204,49
9	2,4	64,8	22,7	155,52	54,48	1470,96	4199,04	515,29
10	1,6	30,4	15,8	48,64	25,28	480,32	924,16	249,64
	29,1	446,1	184,3	1411,64	597,4	9876,52	25912,05	3996,85

Тогда система (11) приобретает  вид:

 

 

Для решения данной системы  воспользуемся методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных. Делим первое уравнение системы на 10, затем умножаем полученное уравнение на 446,1 и вычитаем его из второго уравнения системы. Далее умножаем полученное уравнение на 184,3 и вычитаем его из третьего уравнения системы.

28

Повторяя указанный алгоритм, для преобразованных второго и третьего уравнений системы, получим:

 

 

После преобразования имеем:

()

 

 

Откуда:

 

 

 

.

Тогда окончательно зависимость  чистого дохода от оборота капитала и использованного капитала в  виде линейного уравнения множественной  регрессии имеет вид:

                                                                       (12)

Из полученного эконометрического  уравнения видно, что с увеличением  используемого капитала чистый доход  увеличивается и, наоборот, с 

29

увеличением оборота капитала, чистый доход уменьшается. Кроме  того, чем

 больше величина коэффициента  регрессии, тем значительнее влияние объясняющей переменной на зависимую переменную. В рассматриваемом примере величина коэффициента регрессии больше чем величина коэффициента , следовательно, используемый капитал оказывает значительно большее влияние на чистый доход, чем оборот капитала. Для количественной оценки указанного вывода определим частные коэффициенты эластичности:

 

 

Анализ полученных результатов  так же показывает, что большее  влияние на чистый доход оказывает  используемый капитал. Так в частности, при увеличении используемого капитала на 1% чистый доход увеличивается  на 1,33%. В то же время, с ростом оборота  капитала на 1%, чистый доход снижается  на 0,6%.

Теоретическое значение критерия Фишера  F_т :

 

где:

 

=

Критическое значение F_крит, определяется по статистическим таблицам и для

30

 уровня значимости  равняется 4,74. Так как F_тFкрит, то нулевая гипотеза отвергается, и полученное уравнение регрессии принимается статистически значимым.

Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии  и сводится к сопоставлению численного значения этих коэффициентов с величиной их случайных ошибок  по зависимости:

=

Рабочая формула для расчета  теоретического значения t-статистики имеет вид:

=                                                                (13)

где парные коэффициенты корреляции и коэффициент множественной  корреляции рассчитываются по зависимостям:

 

 

 

.

Тогда теоретическое значение t-статистики соответственно равны:

 

31

 

Поскольку критическое значение t-статистики, определенная по статистическим таблицам для уровня значимости равно , больше по абсолютной величине чем ,то нулевая гипотеза не отвергается и объясняющая переменная является статистически незначимой и ее можно исключить из уравнения регрессии. И наоборот, для второго коэффициента регрессии (6,452,36), и объясняющая переменная является статистически значимой.

Для определения средней  ошибки аппроксимации воспользуемся  зависимостью (4). Для удобства расчетов преобразуем таблицу 9 к виду таблицы 10. В данной таблице в колонке  рассчитаны текущие значения объясняющей переменной с использованием зависимости (12).

Таблица 10 – К  расчету средней ошибки аппроксимации

№ п.п
1	5,5	53,1	27,1	4,41	0,198
2	2,4	18,8	11,2	2,38	0,008
3	3,0	35,3	16,4	2,83	0,056
4	4,2	71,9	32,5	4,81	0,11
5	2,7	93,6	25,4	2,51	0,07
6	1,6	10,0	6,4	1,63	0,019
7	2,4	31,5	12,5	2,17	0,076
8	3,3	36,7	14,3	2,35	0,088
9	2,4	64,8	22,7	3,05	0,17
10	1,6	30,4	15,8	2,7	0,69
	29,1	446,1	184,3	29,15	1,146