Дифференциальное  уравнение гармонического осциллятора

    

    

    Сложение колебаний одного направления и взаимно перпендикулярных

    Колеблющееся  тело может участвовать в нескольких колебательных процессах. Тогда  необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты

    х₁ = А₁ cos (w₀t + φ₁)

    х₂ = А₂ cos (w₀t + φ₂),

    воспользовавшись  методом вращающегося вектора амплитуды, построим векторные диаграммы этих колебаний. Так как векторы А₁ и А₂ вращаются с одинаковой угловой скоростью w₀, то разность фаз (φ₂ - φ₁) между ними остается постоянной. Очевидно, что уравнение результирующего колебания будет

    х = х₁ + х₂ = А cos (w₀t + φ)                                                         (7.14) 

    В выражении (7.14) амплитуда А и начальная фаза φ соответственно задаются соотношениями

А²=А₁²+ А₂² + 2А₁А₂ cos (φ₂ - φ₁); tg φ = (A₁ sin φ₁ + A₂ sin φ₂)/(A₁ cos φ₁ + A₂ cos φ₂), (7.15)

    Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических  колебаниях одного направления и  одинаковой частоты, совершает также гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ₂ - φ₁) складываемых колебаний.

    Проанализируем  выражение (7.15) в зависимости от разности фаз (φ₂ - φ₁):

1. (φ₂ - φ₁) = ± 2mπ (m = 0, 1, 2, …) тогда А = А₁ + А₂, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний;
2. (φ₂ - φ₁) = ± (2m + 1)π (m = 0, 1, 2, …) тогда А = |А₁ - А₂|, т.е. амплитуда результирующего колебания А равна разности амплитуд складываемых колебаний.

    Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических  колебания одинакового направления  мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой. Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.

    Рассмотрим  результат сложения двух гармонических  колебаний одинаковой частоты w, происходящие во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей х и у. Для простоты начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и запишем

                                                                                              (7.16)

    где а – разность фаз обоих колебаний, А и В – амплитуды складываемых колебаний.

    Уравнение траектории результирующего колебания  находится исключением из выражений (7.16) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде

    x/A = cos wt;

    y/B = cos (wt + a) = cos wt cos a – sin a

    и заменяя во втором уравнении cos wt на x/A и sin а на , получим после несложных преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей произвольно:

                                                                                    (7.17) 

    Контрольные вопросы 

1. Роль колебательных  процессов в развитии естествознания.
2. Кем и как были открыты электромагнитные волны?
3. Уравнение электромагнитной волны.
4. Проблема четвертой естественно-научной революции.

 

    Лекция  №8 

    Тема: Химия в естествознании

    (с. 308-309 /1/; с. 168-182 /2/) . 

• Взаимосвязь естественных наук. Уровни организации  материи.
• Основная проблема химии как науки.
• Периодический закон и периодическая система элементов Д. И. Менделеева.

 

    Взаимосвязь  естественных наук. Уровни организации  материи 

    Наши  знания о природе накапливаются  и развиваются не хаотично, а в  строгой последовательности  обусловленной  иерархией уровней организации материи. Природа едина по своей сути и деление знаний о ней на отдельные естественные дисциплины, например, химию или физику часто бывает достаточно условным: физические идеи находят свое  отражение в объяснении химических процессов, а изучение химических превращений веществ друг в друга приводят физиков к открытию новых физических закономерностей и явлений, например, открытию высокотемпературной сверхпроводимости или открытию солитонов. Это обусловлено, прежде всего, существованием общего  для химиков и физиков  объекта исследования – вещества. Но есть и  существенные различия между этими двумя науками: во-первых, круг объектов исследования физики по сравнению с химией более широк- от микромира до масштабов Вселенной; во-вторых , законы физики более универсальны  и  применимы к целому ряду природных явлений. Об этом свидетельствует развитие большого количества смежных с ней наук  физической химии,  геофизики, биофизики, астрофизики  и т. д. В этих науках ученные пытаются объяснить химические, биологические и все прочие природные явления и процессы  с точки зрения основных физических законов. И действительно, представим себе, как бы  прекрасно жилось человечеству, если бы весь мир описывался элементарными физическими закономерностями. Но мы знаем, как на самом деле  не просто устроена единственная самая простая живая клетка с ее уникальной клеточной мембраной, избирательной для разных ионов, с разнообразными клеточными органеллами, безукоризненно обеспечивающими ее жизнедеятельности и с загадочным “мозговым центром’’ клетки - клеточным ядром, содержащим хромосомы. При этом следует  учитывать и тот факт, что каждую секунду в живой клетке все изменяется- происходит обмен веществ и обмен энергией с окружающей средой, меняется цикл жизнедеятельности клетки: она стареет, или напротив, готовится к синтезу  белка, взаимодействует с другими клетками и т. д. Совершенно очевидно, что для того, чтобы исследовать такие сложные процессы сначала просто описать, удостовериться в их истинности в повторяемости. Существует некая иерархия знаний, когда сложные явления и процессы описываются с точки зрения более простых и знакомых. Вспомните еще раз уже известную вам схему связи физических, химических и биологических наук:

    ФИЗИКА----->ХИМИЯ---->БИОЛОГИЯ---->

 

    Но  эта связь не является чисто механической, придуманной кем-то схемой, она отражает иерархию организации материи, которая  действительно существует в природе: 

    ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ  ЧАСТИЦЫ ----> АТОМ----> МОЛЕКУЛА->

    МАКРОМОЛЕКУЛА --> НАДМОЛЕКУЛЯРНЫЕ КОМПЛЕКСЫ->

    ОРГАНЕЛЛЫ КЛЕТКИ ------->ЖИВАЯ  КЛЕТКА. 

    Основная  проблема химии как  науки

 

    Д.И. Менделеев называл химию наукой о химических элементах и их соединениях.

    В одних учебниках химию определяют как “науку, о веществах и их  превращениях”, в других – как  “науку, изучающую процессы качественного превращения веществ”, и т.д. Все эти определения по своему хороши, но они не учитывают тот факт, что химия является не просто суммой знаний о веществах, а упорядоченной, постоянно развивающейся системой знаний,  имеющей определенное социальное назначение и свое место в ряду других наук.

    Химия как наука с момента своего зарождения ставила перед собой  весьма практические цели и с тех  пор она всегда была нужна человечеству для того, чтобы получить из природных  веществ по возможности все необходимые металлы и керамику, известь и цемент, стекло и бетон, красители и лекарства, взрывчатые вещества и горючесмазочные материалы, каучук и пластмассы, химические волокна и материалы для электроники с заданными свойствами. Поэтому все химические знания, которые были приобретены в течение многих веков подчинены  главной единственной задачей  химии - задача получения веществ с необходимыми свойствами”. Но это, - скажете вы, - задача вовсе и ненаучная, а скорее производственная “. Да, действительно, химия как  никакая другая естественная наука, тесно связана с производством  новых веществ.

    Вспомним  о самых первых попытках средневековых  химиков (вернее алхимиков) добывать драгоценные  металлы из доступных природных  соединений. Эти попытки  были безуспешными, но зато, сколько новых простых и сложных химических веществ было попутно открыто! Практическая задача – получения золота и платины стимулировала поиск новых веществ, их синтез и, трансформировавшись, расширяла горизонты представлений о многообразии веществ, существующих в мире. Исследование же химических и физических свойств  искусственно синтезируемых веществ ставили перед учеными уже  вполне  научную задачу, – от каких факторов зависят свойства получаемых веществ и возможно ли заранее предугадать этих соединении. 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         

    Периодический закон и периодическая система химических  элементов   Д.И. Менделеева  

    В предыдущем параграфе  мы установили, что многие химические свойства сегодня  можно объяснить, прибегая к законам  физики. Однако так было не всегда.

    На  заре зарождение физики и химии они существовали отдельно. Каждая из них развивалась по своему определенному пути. Тем более значительными кажутся гениальные открытия, которые способствовали взаимопроникновению наук друг в друга, устанавливали взаимосвязь между физическими и химическими свойствами элементов. Ведущее место среди них, безусловно, занимают периодически закон и периодическая система химических элементов Д.И. Менделеева. Русский химик Д.И. Менделеев сделал это открытие в 1869 году., совершив революцию в естествознании,  т. к. оно не просто устанавливало связь между химическими и физическими свойствами  отдельных элементов, но и взаимную связь между всеми химическими элементами.                                 Группы и ряды периодической системы стали надежной основой для выявления семейств родственных элементов.

    Первым  практическим применением периодического закона было исправление величин  валентности и атомных весов  некоторых элементов, для которых  в то время принимались неверные значения. Это относилось, в частности,  к индию, церию, другим редкоземельным элементам: торию, урану. Основным принципом, по которому Менделеев строил сваю таблицу, было размещение элементов в порядке возрастания их атомных  весов. Основываясь на валентности и химических свойствах элементов,  Менделеев расположил все элементы по 8 группам, в каждой из которых размещались элементы со сходными свойствами.

    Великие открытия приводят к великим последствиям: благодаря периодическому закону были сначала теоретические предсказаны, а затем и открыты и исследованы множества химических элементов и веществ, появилась возможность  моделирования химических процессов – закон лег в основу теоретической химии.

    В  1872  г. Д.И. Менделеев писал: “ Основной задачей современной химии является установление зависимости состава, реакций и свойств простых и сложных тел от основных свойств входящих в их состав элементов, чтобы на основании  известного характера данного элемента можно было заключить о неизвестном еще составе и свойствах его соединений”. 

       Глубоко убежденный в том, что им (Менделеевым) открыт один из важнейших законов природы, он смело взял его за основу при оценке имевшихся данных опыта. Для того чтобы выявить периодичный закон во всей его стройности, потребовалось расположить некоторые элементы (Os, La, Y, Er, Ge, Th, U) и, наконец, допустить необходимость существования ряда элементов, еще не открытых. Нужна была гениальность Менделеева для того, чтобы пойти на все это, и уже в статье 1871 г. дать развернутое изложение периодичного закона и мало чем отличающуюся от современной форму периодичной системы. По определению самого Менделеева периодичный закон заключается в том, что «Свойства элементов (а следовательно образованных ими простых и сложных тел) находятся в периодичной зависимости от их  атомных весов». Первоначально он был принят большинством современников весьма холодно. Лишь последовавшее затем подтверждение ряда измененных Менделеевым атомных весов, особенно же открытие Са, Sc и Ge, и совпадение их свойств с предсказанными, расчистило периодичному закону путь ко всеобщему признанию. Окончательно оно было завоевано около 1890 г. Общенаучное значение работ Д.И. Менделеева может быть охарактеризовано словами Энгельса: «Менделеев совершит научный подъем, который смело можно поставить рядом с открытием Леверье, вычислившего орбиту еще неизвестной планеты – Нептун». В самой химии периодичный закон создал новую эпоху и ценность его для этой науки совершенно исключительна.

    «Периодичный  закон ждет не только новых предложений, но и усовершенствований, подробной  разработки и свежих сил», указывал Менделеев в 1883 г. Первым серьезным испытанием, которое пришлось выдержать этому закону уже после его всеобщего признания, было открытие в 1893 г. аргона. По своему атомному весу (39,9) новый элемент должен был располагаться в периодичной системе между калием (39,1) и кальцием (40,1), где для него не имелось свободного места. Лишь после нахождения на земле гелия и открытия других инертных газов стало ясно, что все они являются членами особой «нулевой» группы, которая должна быть расположена в системе после 7-ой. Таким образом, периодичная система стала более полной и законченной. «По-видимому, периодичному закону будущее не грозит разрушением, а только надстройка и развитие обещается», -  писал Менделеев в 1905 г.