Методы финансовой математики и их применение в экономическом анализа

   - схема сложных процентов (compound interest).

2.1 Простые проценты.

   С экономической точки зрения "процент" это плата за использование денежных средств одного лица (кредитора) другим лицом (заемщиком, дебитором), выраженную в сотых долях от исходной суммы.

   Источник  постоянно текущего дохода - есть капитал, а доход с него - "интерес" или прибыль. Разница между прибылью и капиталом заключается в том, что размер капитала, как источник дохода, может не изменяться с течением времени, а доход с него накапливается через некоторые промежутки времени; значит, величина капитала зависит от числа его единиц, а величина дохода определяется и размерами капитала и временем накопления прибыли.

   Простые проценты – это метод расчета дохода кредитора от предоставления денег в долг заемщику.

   Сущность  простых процентов состоит в  том, что они начисляются на одну и туже величину капитала К в течении всего срока ссуды. Простые проценты дают больший доход при их начислении на срок меньше года.

   Схема простых процентов предполагает неизменность базы начисления и реализуется  с помощью формулы:

             ( 1.1 )

   Значение  символов:

   Р_Т — сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из первоначальной суммы размещенных денежных средств, плюс начисленные проценты;

   Р₀ – начальная сумма;

   i – номинальная процентная ставка;

   Т – конечный момент времени;

   t – начальный момент времени;

   K – фиксированный момент времени (базовый период, период начисления).

   В зависимости от соотношения длительности финансовой операции T – t₀ и периода начисления К возникают следующие подробности начисления простых процентов:

1. если T – t₀ = К, то Р_Т= Р₀(1+i);
2. если T – t₀ = nК, то Р_Т= Р₀(1+ni);
3. если T – t₀ < К, то такая операция относится к краткосрочным финансовым операциям, которые являются основной сферой применения простых процентов. Наращенная сумма в этом случае может быть найдена тремя способами.

   Способ 1. Точные проценты с точным числом дней операции дают самый точный результат, обозначаются условно как 365/365, подразумевают точную продолжительность периода начисления (365 или 366) и точное число дней между началом и окончанием операции, исключая первый или последний день. Этот способ называется еще английской системой начисления простых процентов при краткосрочных операциях.

   Способ 2. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней операции обозначаются 360/360, или германская система, подразумевают приближенный период начисления (360 дней) и приближенную длительность финансовой операции, исходя из 30 дней в каждом месяце. Первый и последний день, по-прежнему, принимаются за один день.

   Способ 3. Обыкновенные проценты с точным числом дней операции обозначаются как 365/360, или  французская система, подразумевают приближенный период начисления (360 дней) и точную, как в английской системе, длительность операции.

   Пример 1.

   Определить  сумму накопленного долга, если ссуда  составляет 50000 руб., проценты простые  по ставке 20% годовых, а сделка осуществляется в период с 7 сентября по 25 декабря 2006 года.

   Рассмотрим  решение примера тремя способами. Предварительно определим точное и  приближенное число дней ссуды.

   Точное  число дней ссуды можно найти  либо по календарю, либо по таблице  порядковых дней в году.

   По  календарю: подсчитаем число дней с 7 сентября по 25 декабря включительно (110 дней), вычтем первый или последний  день (109 дней).

   Приближенное  число дней ссуды находим из расчета 30 дней в каждом месяце. Удобна следующая  схема:

   с 7 сентября по 6 октября – 30 дней,

   с 7 октября по 6 ноября – 30 дней,

   с 7 ноября по 6 декабря – 30 дней,

   с 7 декабря по 25 декабря – 19 дней,

   всего – 109 дней, за вычетом первого дня  – 108 дней.

   Находим сумму накопленного долга.

1. Английская система (365/365):

      Р_Т = 50000(1 + (109/365)0,2) = 52978,14 руб.

2. Германская система (360/360):

      Р_Т = 50000(1 + (108/360)0,2) = 53000 руб.

3. Французская система (365/360):

      Р_Т = 50000(1 + (109/360)0,2) = 53027,78 руб.

   Наращенные  суммы, получились, естественно, разными. Это очень характерно при работе с простыми процентами и говорит о том, что ни одна из схем начисления не является универсальной и приоритетной – все зависит от конкретных обстоятельств.

2. Сложные проценты.

   Для оценки движения финансовых потоков  во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет сложных процентов. Сущность расчета заключается в том, что проценты, начисленные за период, по инвестированным средствам, в следующем периоде присоединятся к основной сумме, в результате чего в следующем периоде проценты будут начислены и на основную сумму, и на добавленные проценты. При этом происходит капитализация процентов по мере их начисления и база, с которой начисляются проценты, постоянно возрастает.

   Сложные проценты - проценты, полученные на начисленные (реинвестированные) проценты.

   Формула сложных процентов выглядит так:

              ( 1.2 )

   В зависимости от соотношения длительности финансовой операции T – t₀ и период начисления К возникают следующие подробности начисления сложных процентов:

   а. если T–t₀ = К, то Р_Т=Р₀(1+i); схема простых и сложных процентов совпадают;

   б. если T–t₀ = nК (n-целое), то Р_Т=Р₀(1+i)ⁿ. Эта формула является основной в схеме сложных процентов, так как большинство финансовых операций содержат в себе целое число периодов начисления. Множитель (1+i)ⁿ называется множителем наращения. Он может быть найден по таблице сложных процентов, которые приводятся во всех книгах по финансовой математике.

   в. если T–t₀ = nК+Dt, т. е. продолжительность операции равна дробному числу периодов, то проценты могут быть начислены двумя методами: общим и смешанным. Согласно первому расчеты ведутся непосредственно по формуле сложных процентов. Согласно второму расчеты распадаются на два этапа. За целое число периодов начисляются сложные проценты, а за оставшуюся дробную часть – простые:

   Р_Т=Р₀(1+i)ⁿ(1+i(Dt/K))           ( 1.3 )

   Расчеты по смешанному методу приводятся к  несколько большему результату, чем  по общему.

   Пример 2.

   Кредит  в размере 300000 руб. выдан на 3 года и 160 дней

   (T–t₀ = 3*(160/365)=3, 43836 года) под 16,5% сложных годовых. Определить сумму долга на конец срока.

   Сумма долга по общему методу: Р_Т=300000(1+0,165)^3,43836=507193,6 руб., в свою очередь, смешанный метод дает

   Р_Т=300000(1+0,165)³(1+0,165*0,43836)=508659,6 руб.

   В схеме сложных процентов существует понятия номинальной и эффективной  процентной ставке.

   2.3 Эффективная и  номинальная процентные  ставки.

   Удобным поводом для их рассмотрения является, например, такое условие контракта: «банк предлагает 12% годовых с ежемесячным (в других вариантах – полугодовым, поквартальным) начислением процентов». Годовая ставка, которая фигурирует в этом контракте (12% годовых), является номинальной (условной). Фактически речь идет о месячном периоде начисления и о месячной процентной ставке в 1% (ставка за период находится как отношение номинальной ставки к числу периодов начисления в году). Поэтому расчеты можно осуществлять по исходной формуле сложных процентов, переводя временные интервалы в месячную размерность и используя процентную ставку i=0,01.

   С другой стороны, можно использовать исходные условия контракта и  специальные формулы:

               ( 1.3 ) 

   или при целом числе лет       .         ( 1.4 )

   Здесь j – номинальная годовая ставка, m – число периодов начисления в году, К – годовой период начисления (К=1 год, 2 полугодия, 4 квартала, 12 месяцев или 365 дней в зависимости от размерности срока операции T–t₀), n – число лет.

   Пример 3.

   Какова  сума долга через 25 месяцев, если его начальная величина 500000 руб., проценты сложные, 20% годовых, начисление поквартальное?

   По  условиям задачи j=0,2; m=4; T–t₀=25 месяцев; К=12 месяцев. Применим два метода наращения – общий и смешанный.

   Согласно  общему методу

   

   Р_Т=750840,04 руб.

   Смешанный метод дает такой результат:

   Р_Т=500000(1+0,05)⁸(1+0,05*1/3)=751039,85 руб.

   Рассмотрим  понятие эффективной (действенной) ставки процентов. Это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m – разовое начисление по ставке j/m:

   Р₀(1+i)ⁿ= Р₀(1+j/m)^mn, отсюда i=(1+j/m)^m-1.

   В условиях примера 3 эффективная ставка равна  i=0,2155.

   Таким образом, поквартальное начисление процентов по ставке 20% годовых эквивалентно начислению процентов раз  году по ставке 21,55% годовых.

   При анализе условий контракта, при  сравнении нескольких условий контракта  необходимо оценить именно эффективную  ставку.

   При увеличении m множитель наращения (1+j/m)^mn увеличивается, но как бы часто не начислялись проценты, множитель наращения не превысит величины

                                             ( 1.5 )

   где е – основание натуральных  логарифмов. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 3. Операции наращения  и дисконтирования.

   В практике финансовых операций нередко  возникает потребность в изменении условий контракта, например, в переносе срока платежа, в объединении нескольких платежей в один (консолидация платежей), в замене заданного множества на эквивалентное множество (конверсия платежей). Такие изменения базируются на принципе финансовой эквивалентности обязательств. Эквивалентными считаются такие обязательства, которые, будучи «приведенными» к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования суммы платежа (перенос к более ранней дате) или наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему).

   Для краткосрочных операций дисконтирование  и наращение проводятся по формуле  простых процентов. Если приведение осуществляется путем дисконтирования  сумм платежей к началу момента времени, то оно реализуется по формуле

                                      ( 2.1 )