Методы финансовой математики и их применение в экономическом анализа

   Здесь P_j, T_j – параметры исходных платежей, P_i, T_i – параметры заменяющих платежей.

   Для долгосрочных операций дисконтирование  и наращение проводятся по формуле сложных процентов. Если приведение осуществляется путем дисконтирования сумм платежей к начальному моменту времени, то оно реализуется по формуле

                                                       ( 2.2 )

   Пример 4.

   Платежи в 2 и 4 млн. руб. со сроками уплаты соответственно 4 месяца и 8 месяцев объединяются в один со сроком 6 месяцев. Стороны договорились при расчетах использовать простые проценты по ставке 15% годовых. Найти сумму консолидированного платежа.

   Условие финансовой эквивалентности, составленное на начальную дату, имеет вид:

   2000000(1+(4/12)*0,15)^-1+4000000(1+(8/12)*0,15)^-1 = Р^!(1+(6/12)*0,15)^-1.

   Отсюда  находим Р^!=5956700 руб.

   Рассмотрим  другой вариант решения примера, составив условие эквивалентности  для момента времени первого платежа (T₁=4 мес.):

   2000000+4000000(1+(4/12)*0,15)^-1  =  Р^!(1+(2/12)*0,15)^-1.

   Находим Р^!=5954760 руб. Эта сумма несколько отличается от предыдущей, причем отличие обусловлено не погрешностью вычислений, а особенностью схемы простых процентов при изменении момента времени, относительно которого записывается условие эквивалентности. Если условие эквивалентности записать для момента времени Т₂=8 мес., то оно уже использует элементы наращения:

   2000000(1+(4/12)*0,15)+4000000= Р^!(1+(2/12)*0,15)

   Р^!=5951210 руб.

   Наконец для момента времени T^’=6 мес. условие эквивалентности будет содержать как элементы наращения, так и дисконтирования:

   2000000(1+(2/12)*0,15)^-1+4000000(1+(2/12)*0,15)^-1=Р’

   Р’=5952430 руб.

   В принципе условие эквивалентности  может быть по соглашению сторон записано для любого момента времени, не обязательно связанного с каким-либо платежом. В итоге будет получена оригинальная сумма Р’, несколько отличная от других вариантов. 
 
 
 
 

§ 4. Учет инфляции при  наращении и дисконтировании.

   В современных условиях инфляция играет заметную роль в денежных отношениях. Она приводит к снижению реальной покупательской способности денег, которые участвуют в финансовых операциях. Без учета инфляции финансовые расчеты носят условный характер.

   Инфляция  характеризуется темпом роста инфляции h, который обязательно связан с конкретным периодом времени: темп инфляции за месяц, квартал, год и т. д. Темп роста инфляции находится на основании общего индекса цен I_p, который показывает изменение цен за отчетный период в среднем по всей совокупности товаров и услуг. Общий индекс цен – это прерогатива статистики и как отрасли знаний, и как области практической деятельности. Органы статистики ежемесячно отслеживают изменения общего индекса цен и формируют на его основе темп инфляции (обычно он изменяется в процентах): h=100(I_p-1). В свою очередь, I_p=1+h/100. Например, если темп инфляции за месяц составил 2%, то это означает, что цены выросли в среднем за месяц в 1,02 раза. Инфляция является цепным процессом. Поэтому для нахождения темпа инфляции за несколько периодов нужно перемножить индексы цен отдельных периодов, а затем найти итоговый темп инфляции. Грубейшей ошибкой, которая встречается в повседневной практике, является суммирование темпов инфляции отдельных периодов, что приводит к занижению реального показателя.

   Влияние инфляции на конечные результаты финансовой операции нужно определить по следующей  схеме: темпы инфляции отдельных  периодов пересчитываются в общие  индексы цен, которые перемножаются  и образуют общий индекс цен за период финансовой операции. Наращенная сумма с учетом ее инфляционного обесценивания находиться по формуле:

   P_T=P_T/I_p.                                                                                                       ( 3.1 )

   Пусть, например, сегодня получено по вкладу двухлетней давности 200 тыс. руб. Известно, что инфляция за два предыдущих года составила 12% в год. Общий индекс цен за два года равен 1,12²=1,2544. Следовательно, реальная покупательная способность 200 тыс. руб. сегодня составляет 200/1,2544 = 159,44 тыс. руб. в деньгах с покупательной способностью двухлетней давности.

   Предположим, что финансовая операция захватывает  n периодов начисления, в каждом из которых имеет место постоянный темп роста инфляции h. Если наращение производится по простой ставке, то наращенная сумма с учетом инфляционного обесценения равна

                                                                         ( 3.2 )

   Реальный  рост денег происходит в условиях, если в этой формуле множитель  наращения больше 1.

   Пример 5.

   На  сумму 150 тыс. руб. в течении трех месяцев начисляются простые  проценты по ставке 12% годовых. Ежемесячная  инфляция характеризуется темпами 1,3%; 1,2%; 1,1%. Найти наращенную сумму, общий  индекс цен за три месяца и наращенную сумму с учетом инфляционного обесценивания.

1. Наращенная сумма P_T =150000(1+(3/12)*0,12)=154500 руб.
2. Общий индеек цен за три месяца I_p=1,013*1,012*1,011=1,03643.
3. Наращенная сумма с учетом инфляции P_T=P_T/I_p = 149069 руб.

   Таким образом, покупательная способность  наращенной суммы окажется меньше покупательной способности первоначальной суммы трехмесячной давности.

   При наращении по сложным процентам  наращенная сумма с учетом покупательной  способности находится как 

                                                                ( 3.3)

   Если  сложная ставка, выраженная в процентах, и темп инфляции совпадают, то реального роста денег не происходит: Р_Т =Р₀; если i<h, то наблюдается «эрозия» капитала: Р_Т <Р₀. Только в ситуации i>h происходит реальное накопление денег.

   Пример 6.

   На  сумму 250 тыс. руб. в течении трех лет начислялись сложные проценты по ставке 11% годовых. Годовая инфляция в этом периоде характеризовалась  темпами 12%, 11%, 10%. Найти наращенную сумму, общий индекс цен за три года и  наращенную сумму с учетом инфляции.

1. Наращенная сумма P_T=250000(1+0,11)³=341907 руб.
2. Общий индекс цен за три года I_p=1,12*1,11*1,1=1,36752.
3. Наращенная сумма с учетом инфляции Р_Т=Р_Т/I_p = 250020 руб.

   Таким образом, наращенная сумма в номинальном исчислении существенно выросла по сравнению с первоначальной суммой, однако темп инфляции за три года составил 36,75%, и реального накопления денег не произошло. Покупательская способность наращенной суммы едва превышает первоначальный уровень в 250 тыс. руб. Реальный рост денег в этом примере начинается при условии (1+i)³/I_p > 1 или i > -1= 0,11 (11%). Заданная процентная ставка как раз соответствует пороговому значению. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   § 5. Аннуитеты.

   Серия равномерных платеже с равными  интервалами между последовательными платежами в течении определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

   Примером  аннуитета могут быть регулярные взносы в пенсионный фонд, погашение  долгосрочного кредита, выплата  процентов по ценным бумагам и  т.д.

   Аннуитеты различаются следующими основными характеристиками:

• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом между каждым отдельным платежом;
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и не ограниченные по времени – вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении платежей.

   Введем  следующие обозначения:

   R – величина каждого отдельного платежа;

   i_c – процентная ставка, по которой начисляются проценты;

   S_k – наращенная сумма для k-го платежа;

   S – наращенная (будущая) сумма всего аннуитета (т. е. сумма всех платежей с процентами);

   A_k – современная величина k-го платежа;

   A – современная величина всего аннуитета (т. е. сумма современных величин всех платежей);

   n – число платежей.

   Величины  A и S являются основными объектами аннуитетных вычислений.

   Рассмотрим  аннуитет с ежегодными платежами, на которые начисляются проценты в  конце каждого года по сложной  процентной ставке i_c.

   Сумма S₁ первого платежа с наращенными на него за весь срок процентами составит

   S₁=R(1+i_c)^n-1.                                                                                                  ( 4.1 )

   Для второго платежа (проценты на него будут  начисляться на один год меньше) имеем:

   S₂=R(1+i_c)^n-2.                                                                                                 ( 4.2 )

   и так далее.

   На  последний платеж, произведенный  в конце n-го года, проценты уже не начисляются, т.е.

   S_n=R.                                                                                                               ( 4.3 )

   Тогда для общей наращенной суммы имеем:

                                                                             ( 4.4 )

   Коэффициент наращения, как можно заметить, представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, для которой первый член q₁ равен 1, а знаменатель q – (1+i_c).  Используя формулу геометрической прогрессии, запишем выражение (4.4) в более удобном для вычисления виде:

                                                                                                          ( 4.5 )

   где второй сомножитель представляет собой  коэффициент наращения:

                                                                                                 ( 4.6 )

   Определим теперь современное значение А финансовой ренты.

   Для каждого платежа его современное  значение A_t будет определяться по формуле:

                                                                                                    ( 4.7 )

   Современная величина всей ренты, следовательно, составит

                                                                               ( 4.8 )

   где a (коэффициент приведения ренты) опять является суммой геометрической прогрессии теперь уже с параметрами q₁=q=1/(1+i_c).

   Тогда для a получаем выражение

                                                                                                 ( 4.9 )

   а для современной величины А соответственно:

                                                                                         ( 4.10 )