Контрольная работа по "Системному анализу"

К = 2, 3, 4, 5, 6

[а ²₃– а²₅] = 4 [а ⁵₃– а⁵₅] = 3

[а ³₃– а³₅] = 1 [а ⁶₃– а⁶₅] = 1

[а ⁴₃– а⁴₅] = 1

Упорядочиваются в порядке невозрастания: [4, 3, 1, 1, 1]

d ₅₃(1) = 0,4      s = 2 d ₅₃(2) = 0,3

24. Для гипотезы e₅ предпочтительнее,  чем e₄

К = 2

[а ²₄– а²₅] = 1  

d ₅₄(1) = 0,1    s = 2 d ₅₄(2) = 0,1

25. Для гипотезы e₅ предпочтительнее,  чем e₆

К =  3, 5, 7

[а ³₆– а³₅] =4 [а ⁷₆– а⁷₅] =5

[а ⁵₆– а⁵₅] =3

Упорядочиваются в порядке невозрастания: [5, 4, 3]

d ₅₆(1) = 0,5    s = 2 d ₅₆(2) = 0,4

26. Для гипотезы e₆  предпочтительнее,  чем e₁

К =2, 5, 6, 9

[а²₁– а²₆] = 8  [а ⁵₁– а⁵₆] = 1

[а⁶₁– а⁶₆] = 5  [а⁹₁– а⁹₆] = 2

Упорядочиваются в порядке невозрастания: [8, 5, 2, 1 ]

d ₆₁(1) = 0,8  s = 2 d ₆₁(2) = 0,5

27. Для гипотезы e₆  предпочтительнее,  чем e₂

К = 2, 3, 5

[а ²₂– а²₆] = 6

[а ³₂– а³₆] = 1  [а⁵₂– а⁵₆] = 4

Упорядочиваются в порядке невозрастания: [6, 4, 1]

d ₆₂(1) = 0,6  s = 2 d ₆₂(2) = 0,4

 

28. Для гипотезы e₆  предпочтительнее,  чем e₃

К = 2, 4, 6

[а ²₃– а²₆] = 5 [а ⁶₃– а⁶₆] = 2

[а ⁴₃– а⁴₆] = 2

Упорядочиваются в порядке невозрастания: [5, 2, 2]

d ₆₃(1) = 0,5   s = 2 d ₆₃(2) = 0,2

29. Для гипотезы e₆  предпочтительнее,  чем e₄

К =2

[а ²₄– а²₆] =2   

d ₆₄(1) = 0,2    s = 2 d ₆₄(2) = 0,2 

30. Для гипотезы e₆  предпочтительнее,  чем e₅

К = 1, 2, 4, 6, 8, 10

[а ¹₅– а¹₆] = 1  [а ⁴₅– а⁴₆] = 1

[а ²₅– а²₆] = 1  [а ⁸₅– а⁸₆] = 3

[а ⁶₅– а⁶₆] = 1  [а ¹⁰₅– а¹⁰₆] =1

Упорядочиваются в порядке убывания: [3, 2, 1, 1, 1, 1]

d ₆₅(1) = 0,3   s = 2 d ₆₅(2) = 0,2

Данные матриц С и Д (s) позволяют построить графы сравнения объектов при различных требованиях к порогам соответствия и несоответствия и выделить ядро соответствующего графа.

Рассмотрим, как изменяются графы в зависимости от значения параметров

(с, d , s). Ядро графа включает 5 элементов        e_1, e₂  e_4.e₅ e₆

1. Пусть  S= 1, С = 0,6, d = 0,4. При таких порогах соответствия и несоответствия граф содержит единственный элемент превосходящий все остальные e_2,   Соответственно, для  данного предложения элемент e₂  является основным при решении данной проблемы с указанной степенью риска.

2. Пусть S =2, С = 0,8, d = 0,3

При таких порогах  соответствия и несоответствия граф содержит единственный элемент превосходящий  все остальные e_3,  

 

3. Пусть  S= 3, С = 0,6, d = 0,4

e₂    является превосходящим все остальные, т.к только ближе всех подходит под данные условия. С = 0,5 , d = 0,5

4. Пусть S =4, С = 0,8, d = 0,3

Можно сравнить объекты e_3, и e_2. Другие объекты при указанных требованиях к совпадению мнений экспертов не сравнимы между собой.

 

При снижении порога С  до С = 0,7 и d= 0,2 сравним объекты e_{2 ,} e₃ , e_5.

При этом объекты e₂ признается более значимым, т.к. его значения более близкие к заданным критериям.

5. Пусть S =5, С = 0, 8, d = 0,2

Другие объекты при  указанных требованиях к совпадению мнений экспертов не сравнимы между собой. При этом объекты e₆ признается более значимым,

6. Пусть S =6, С = 0,6, d = 0,4

При данных условиях возможно сравнение объектов e₂ и e₅

e₂    является превосходящим e₅, т.к только он более подходит под данные условия.

Проведя данное исследование, мы установили, что при каждом критерии один из объектов является наиболее значимым. Теперь мы постараемся выявить из небольшого числа объектов самый хороший. Для этого рассмотрим объекты, которые являлись доминирующими в каждом из предположений - наиболее хороший объект e_2.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 5. Оценка сложных систем в условиях риска  и неопределенности.

В ресторане решено делать бизнес-ланч. Процесс производства позволяет изготавливать 70, 120, или 150 бизнес-ланчей. Число посетителей колеблется от 60-160. Необходимо определить число изготавливаемых бизнес -ланчей а _{i ,} если число посетителей К j .

Матрица эффективности имеет вид (тыс. руб.):

а/к	К1 = 60	К2= 95	К3= 125	К4= 160
а1= 70	-1600	2300	2300	2300
а2= 120	-4000	5300	7800	7800
а3= 150	-6200	-1750	10000	9500

 

Наиболее часто в  неопределенной ситуации используются критерии:

1. Среднего выигрыша.

2. Достаточного основания  (критерий Лапласа).

3. Осторожного наблюдателя  (критерий Вальда).

4. Пессимизма-оптимизма  (критерий Гурвица).

5. Минимального риска  (критерий Севиджа).

В данном случае мы оценим ситуацию для организации сервисного центра по всем пяти критериям, а также  в каждом случае попытаемся определить необходимое число рабочих мест, для данного, пока также неопределенного, числа клиентов.

1. Критерий  среднего выигрыша.

Предполагает задание  вероятностей состояния обстановки Рi. Эффективность систем оценивается как среднее ожидание (мат. ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки. Оптимальной системе будет соответствовать максимальная оценка.

К = ∑ Рi Кi j

 

Для этого предположим, что вероятность численности туристов за сезон будет представлена: Р1 = 0,4; Р2=0,1; Р3=0,1; Р4=0,3.

К(а₁)=-1600*0,4 +2300*0,1+2300*0,1 +2300 *0,3=510

К(а₂)= -4000*0,4+5300*0,1+7800*0,1+7800*0,3=2050

К(а_з)  =-6200*0,4- 1750*0,1+10000*0,1+9500*0,3=1195

Оптимальное решение  по критерию среднего выигрыша – число а₂  равное 120 бизнес-ланчей. Причем эффективнее всего данное число будет при количестве посетителей 160.

2. Критерий  Лапласа  (достаточного основания)

Предполагается, что состояние  обстановки равновероятно, так как  нет достаточных оснований предполагать иное.

Рассчитывать будем  по формуле:

К=1/к∑ Рi Кi j ,  для каждого i, а оптимальное значение указывает максимальную сумму К.

Р1=0,25; Р2=0,25; Р3=0,25; Р4=0,25

К(а₁)=0,25*(-1600+2300+2300 +2300)=1325

К(а₂)= 0,25*(-4000+5300+7800+7800)=4225

К(a₃)= 0,25 *(-6200 - 1750+10000+9500)=11550

Из расчетов мы видим, что оптимальное решение по критерию Лапласа – число бизнес-ланчей а₃, равное 150. Причем эффективнее всего данное число будет при количестве 125 посетителей.

Критерий Лапласа - это  частный случай критерия среднего выигрыша.

3. Критерий  осторожного наблюдателя (критерий  Вальда).

Это максимальный критерий (максимальные доходы, минимальные потери). Он гарантирует определенный выигрыш при худших условиях. Критерий использует то, что при неизвестной обстановке нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффекта каждой системы.

 

Для этого в каждой строке матрицы находится минимальная  из оценок систем:

К(а_i) min Кi j

           j

Оптимальной считается  система из строки с максимальным значением эффективности:

Копт=mах (min Кi j ) для всех i j

             i           j

К(а₁)= min (-1600; 2300; 2300; 2300)=-1600

К(а₂)= min (-4000; 5300; 7800; 7800)=-4000

К(а₃)= min (-6200 ; -1750; 10000; 9500)= - 6200

Оптимальное решение – числа бизнес-ланчей а_{1 ,} , равное 70.

В любом состоянии  обстановки выбранная система покажет  результат не хуже найденного максимина. Однако такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия.

4. Критерий  пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица).

Критерий обобщенного  максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем не разумно  проявлять как осторожность, так  и азарт. Следует принимать во внимание самое высокое и самое  низкое значение эффективности и  занимать промежуточную позицию.

Эффективность находится  как взвешенная с помощью коэффициента, а сумма максимальных и минимальных оценок.

К(а i ) = а mах  Кi j +(1-а)* min Кi j

                   j                            j

0≤а≤1

Копт = mах  {а mах  Кi j +(1+ а)* min Кi j}

               i          j                            j

d = 0,4

К(а₁)= 0,4*2300+(1-0,4)*(-1600)=40

К(а₂)= 0,4*7800+( 1 -0,4)*(-4000)=720

К(а₃)=0,4*10000+(1-0,4)*(-6200)=280

Оптимальное решение  при данном критерии является a₂, равное 120 бизнес-ланчей.

При а = О критерий Гурвица  сводится к критерию максимина.

На практике используются значения а из интервала (0,3 до 0,7).

5. Критерий  минимального риска (критерий  Севиджа).

Минимизирует потери эффективности при наихудших  условиях. В этом случае матрица  эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь. Каждый элемент определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце.

Рассчитываем по формуле:

∆ К_{i j}  = mах  К_{i j} - К_{i j}

После преобразования матрицы используется критерий минимакса, т.е. оптимального решения критерия.

К(а_i )= mах  ∆ К_{i j} 

               j

 Копт = min (mах  ∆ К_{i j} )

               i         j                 

 

Матрица потерь

а\к	К1	К2	К3	К4	К(а i )
а1	0	3000	7700	7200	7700
а2	2400	0	2200	1700	2400
а3	4600	7050	0	0	7050

 

Оптимальным решением является а₂, равное 120 бизнес-ланчей.

 

 

 

Таким образом, эффективность  систем в неопределенных операциях может оцениваться по ряду критериев. На выбор каждого из них может влиять ряд факторов;

а) природа конкретных операций и ее цель:

- в одном случае  допустим риск;

- в другом - гарантированный  результат;

б) причина неопределенности:

- закон природы;

- разумные действия  противника;

в) характер лица, принимающего решение:

- склонность добиться  большего, идя на риск;

- всегда осторожные  действия.

Результаты всех расчётов записываем в таблицу.

Таблица

а\к	К1	К2	К3	К4	Ср. выигр.	Лапласа	Вальда	Гурвица	Севиджа
а1	-1600	2300	2300	2300	510	1325	-1600	40	7700
а2	-4000	5300	7800	7800	2050	4225	-4000	720	2400
а3	-6200	-1750	10000	9500	1195	11550	-6200	280	7050

 

Жирным шрифтом выделяем оптимальные решения для каждого  критерия. Но тип критерия для выбора рационального вариант выбирается на аналитической стадии рассмотрения сложных систем.

 В нашем варианте совпали 3 из 5.

Можно изготавливать 120  бизнес-ланчей при 160 посетителях

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 6. Постановка задачи математического программирования.

В процессе принятия решений  часто необходимо вербальное описание проблемы преобразовать в формальное описание задачи и затем использовать известный метод её решения.

Для того, чтобы возникла задача, необходимо определить допустимую область решений, определить факторы, влияющие на это решение. Для формализации задачи нужно определить количественные зависимости между факторами и результатами; в совокупности они образуют ограничения на деятельность системы. При постановке экстремальной задачи, среди ограничений выделяют одно или несколько и используют их в качестве критерия (простого или сложного, сконструированного из нескольких).