Модели ценообразования опционов

ITinvesV

Investment с 0 hi p а п у |

ЗАО «Инвестиционная  компания «Ай Ти Инвест»

Цикл  лекций «Торговля  на срочном рынке»

Лекция  № 7 В.В. Твардовский

Модели  ценообразования  опционов

Москва 2007

©Твардовский В.В., ITinvest, 2006-2007

Оглавление

Оглавление 2

Принятые  обозначения: 2

Еще раз про фьючерсы и опционы 2

Основной  принцип арбитража и стоимость  денег 3

Сделка  «коробка» ("Box Trade") и паритет опционов 4

Паритет Call-Put опционов с учетом времени 5

Примеры простого распределения будущих цен при  вычислении европейского

опциона Call 6

Общий пример оценки опциона Call 7

Биномиальная  модель Кокса-Росса-Рубинштейна 8

Модель  Блэка-Шоулза (Black-Scholes) 11

Модель  Блэка 12

Модель  Паскаля оценки ближних опционов 13

Сравнение моделей 15

Влияние фрактальности рынка на оценку опционов 15

Принятые  обозначения:

S - текущая рыночная цена базисного актива (Spot) F - текущая рыночная цена фьючерса на актив Х- цена страйк R - безрисковая ставка

Т - срок до экспирации в годах (отношение числа рабочих дней до экспирации к 250 (или 252) - числу рабочих дней в году)

N(d) - интегральная функция нормального распределения

о, o_Y - сигма, волатильность (годовая),

Od - дневная волатильность

Call, Рс - теоретическая стоимость опциона CALL в той или иной модели. Put, Рр - теоретическая стоимость опциона PUT в той или иной модели.

Д _Р - дельта опциона PUT (первая производная цены опциона по цене базисного актива - F или S)

Д_с - дельта опциона CALL

Г - гамма опциона (вторая производная цены опциона  по цене актива - F или S) 0 - тэта, производная цены опциона по времени р - ро, производная цены опциона по процентной ставке Vega - вега, производная цены по волатильности.

Еще раз про фьючерсы и опционы

Напомним  определения, данные нами фьючерсам  и опционам в предыдущих лекциях.

Фьючерс - это не товар, не ценная бумага, а  зарегистрированная маклером электронная  запись о принятых участником торгов «обязательствах» по поставке или принятию базисного актива в будущем.

 

Опцион - это право купить или продать по определенной цене подлежащий актив в или  до определенного  времени в будущем. В качестве подлежащего  актива могут использоваться фьючерсы, акции, товары, валюты.

Американский  стиль опционов позволяет держателю (покупателю) опциона реализовать  свое право в любой день до даты экспирации. Европейский стиль опционов позволяет держателям опционов реализовать  свое право лишь в единственный день - день истечения опциона или в  день экспирации.

Основной  принцип арбитража  и стоимость денег

Для того чтобы  вывести формулу цены любого опциона  нам достаточно будет двух понятий: стоимости денег и принципа арбитража. Поэтому сейчас самое время вспомнить  о том, что это за такие понятия.

Основной  принцип арбитража  гласит: «Не должно быть бесплатных обедов». Иными словами: экономический эффект (илирасходы) от двух разных действий, приводящих к одинаковому конечному состоянию, должны быть одинаковы.

Например, инвестор, желающий владеть акцией через срок Т, может это сделать  двумя способами: либо сейчас по цене Spot, либо в будущем по текущей форвардной цене F, заключив контракт сейчас же.

В последнем  случае инвестор может положить деньги в банк под процент R и заработать за срок Т дополнительный доход:

Spot\ e^RT — 1 )

Этот доход - «бесплатный обед», - должен быть «нивелирован»  текущей форвардной ценой поставки F. Цена F должна быть подобрана так, чтобы инвестору не было никакой разницы по какому из двух путей приобретать акцию, а это будет возможно только в том случае, если цена F будет равна:

F — Spot-e^RT

В формуле  форвардной цены фигурирует процентная ставка R. Обычно это так называемая безрисковая ставка. Эта же величина вместе с формулой определяет стоимость денег и отражает тот простой факт, что деньги, полученные сегодня, стоят дороже тех денег, что будут получены завтра:

FV—PV-e^RT - PV •( 1+R )^Т—PV-(l + R)?'²⁵⁰

Здесь FV - future value (будущая стоимость инвестиций), а PV -present value (текущая стоимость инвестиций) заменяют понятия форвардной F и текущей цены S.

Сколько должны «стоить» сегодня будущие  доходы? Ответ дает «внутренняя стоимость»:

PV — FV-e~ ^RT

Вышеприведенных формул достаточно, чтобы вывести  теоретическую цену опциона для  любой модели. Однако начнем мы с  так называемой сделки «коробка», которая  поможет нам понять вывести формулу  паритета опционов пут и колл.

 

 

Сделка  «коробка» ("Box Trade") и паритет опционов

Рассмотрим  трейдера, купившего опцион колл и  одновременно продавшего опцион пут  с тем же самым страйком X. Такой  портфель обладает графиком прибылей-убытков  при исполнении точно таким же, как и простая длинная позиция, купленная по цене X. Поэтому такая позиция называется синтетический Лонг:

Long Call в Short Put = Synthetic Long:

Если  к этой позиции добавить проданный  базисный актив, т.е. шорт, то график прибылей и убытков не будет зависеть от цены базисного актива. Такая комбинация зовется бокс-трейд или сделка коробка. Название возникло из того факта, что трейдер открывший позицию  по длинному опциону колл, короткому  опциону колл и короткой позиции  по базисному активу этим как бы запирает «прибыль» и делает ее независимой  от изменения будущих цен базисного  актива:

Box Trade = Long Call в Short Put в Short = Synthetic Long в Short

Проверим  это утверждение. Пусть S - спот,Х-страйк, Pc - цена CALL, Pp - цена PUT,

S(T) - цена актива в момент (T) экспирации. Считаем P&L сделки в момент экспирации

еслиS (T )> X еслиS (T )< X

 
 

еслиS (T )> X еслиS (T )< X

P Л L (Short)—S — S (T)

 

Складывая правые и левые части этих равенств, получим выражение для P&L сделки «коробка» в момент экспирации:

P Л L (Box) — S — X + Pp — Pc

Видим, что прибыль по сделке «коробка»  не зависит от будущей цены базисного  актива S(T), а зависит лишь от тех условий, на которых были совершены три сделки, образовавшие «коробку», а именно, цен опционов Pc и Pp, а также уровня рынка S и цены страйк X.

Если  эта прибыль положительна, то имеет  смысл продать опцион пут, на вырученные деньги купить опцион колл и захеджировать  полученный синтетический лонг шортом. Это типичный арбитраж, приводящий к гарантированной прибыли, т.е. к  «бесплатным обедам». Массовые действия арбитражеров при положительном  значении P&L приведут к тому, что цены на опционы пут и колл станут такими, чтоб не было возможным получить гарантированную прибыль, т.е. цены изменятся так, что P&L окажется равным нулю.

Наоборот, если P&L отрицательно, то арбитражеры будут совершать обратные операции: продавать опционы колл, покупать путы (что в совокупности дает синтетический шорт) и хеджировать этот синтетический шорт реальным лонгом. В результате таких действий вновь цены изменятся так, что P&L окажется равным нулю.

SmartTrade

 

При этом из условия P&L = 0, приравнивая левую часть предыдущего уравнения нулю, получим

Pc — Pp=S — X

Это условие, связывающее цены опционов колл и  пут со страйком и с текущей  ценой базисного актива.

Паритет Caii-Put опционов с учетом времени

Формула, выведенная выше и показывающая связь  между опционами колл и пут  с одним страйком, к сожалению, является приближенной. Тем не менее, ее простота позволяет ее использовать для ближних опционов T < 1-3 месяца и для малых ставок R < 5-7%.

Точная  формула, связывающая цены опционов колл и пут может быть выведена с учетом времени, оставшегося до погашения Tи стоимости денег R.

Вновь обратимся к сделке «коробка»  и отделим в формулах прибылей и убытков по каждой ее части (колл, пут и шорт) те деньги, которые  будут получены при исполнении от тех, что получаются или выплачиваются  сегодня. Будущие денежные потоки необходимо дисконтировать на ставку exp(RT). Тогда выражения для P&L примут следующий вид:

P Л L (Cell+)=[<^S <^{T)— X )}'^{e—RT— Pc есл}"1 <^T )> ^X

— Pc еслиЬ ( T )<X

_P A_L (_Put ) ⁼ | ^PP ^есmS(T)>^X

Pp + (S (T) — X)-e^—RT если S( T)< X

P Л L (Short )=S — S (T )-e~^RT

Складывая эти три равенства, получаем формулу  для определения P&L сделки «коробка»:

P ЛL (Box) = S — X-e ^—RT + Pp — Pc

Приравнивая эту величину нулю, получаем формулу  паритета опционов

Pс  — Pp=S — X -e~^RT

Это очень  важная формула. Она позволяет, используя  рыночные стоимости одного опциона, оценить стоимость опциона другого  класса.

Другое  ее применение состоит в следующем. Можно вычислить теоретическую  стоимость, скажем опциона колл, и  получить с ее помощью формулу  для определения теоретической  стоимости опциона пут.

И, наконец, важное следствие из нее состоит  в том, что премии ничейных опционов колл и пут близки.

 

 

Примеры простого распределения  будущих цен при  вычислении европейского опциона Call

Формула паритета опционов колл и пут позволяет  искать лишь теоретическую стоимость  опционов колл (что гораздо легче, чем оценивать путы). Именно этим мы теперь, наконец, и займемся. Для  начала приведем два простых примера  вычисления стоимости опционов колл на акцию, цена которой через год  может принимать лишь три возможных  значения, с вероятностями, показанными  в таблице: