Модели ценообразования опционов

Call=S-N (d _т)-X-e~^RT-N (d ₂)

_ln(S/X) + (R + 0 .5 -о¹)T

где функция  N(x) определена выше, а ее аргументы суть

_ln(S/X) + (R-0 .5 -т²)T

о V т ^{и d 2} т VT

-rT

Для оценки опциона пут используем формулу  паритета, что немедленно дает:

d _т =

Put = Call - S + X •e

Преимущество  этих формул и модели Блэка-Шоулза перед  биномиальной моделью состоит в  том, что цену опциона можно «увидеть», пощупать руками, а также получить

 

 

все необходимые  «греки» в аналитическом виде. В частности, дельты опционов колл и  пут ассоциируются с функцией нормального распределения:

A_c - N (d _т) A_P-—N (—d_T)

А гамма, или изгиб профиля цены, совпадает  для опционов пут и колл и дается плотностью функции распределения:

9^(d 1)

Г -

XT VT

Приведем , наконец, в модели Блэка-Шоулза значения показателей тэты , веги и ро:

S09 (d,) _RT S09 (d,) _RT

- ₊R.x-e-^RTN (d ₂) 0_P- —K-X-e-^RTN (—d₂)

2 V T

Vega-S VT 9 (d _T) Pc-T-X •e-^RTN (d ₂)

2 V T

p_P- — T-X-e ^RTN(—d₂)

Модель  Блэка

Модель  Блэка-Шоулза применяется для оценки европейских опционов подлежащим активом  которых являются акции. Аналогичная  модель, но применимая для опционов на фьючерсы зовется моделью Блэка.

Для того чтобы установить связь между  двумя моделями достаточно в модели Блэка- Шоулза заменить цену спот S на фьючерсную цену F и учесть, что фьючерсная цена и цена спот связаны между собой формулой форвардной цены:

F-S-e^RT или S-F-e~^RT

В результате получим:

Call-e ^RT\F-N(d_x) — X-N (d₂)) Put-Call—e-^RT-(F — X)

где

 

In (F/ X) + 0 .5 -a² T ,  In (FIX) —0 .5 •т² T

           ^{и d}2^-"

тVT ² тVT

d _T -

Приведем также  для справки формулы «греков» в модели Блэка:

A_c - e~^RT N (d _т)

Г-e'

FT VT

-R-call

-rt 9^(d 1:

A_P-—e~^RTN (—d _T)

_{0 -—e}—RT^{FT9 (d} T

2 VT

           F T9 (d,) 0_P-—e^—RT — R-Put

           2 VT

 

ITinvesV

Investment eompaiiyi

Vega—e  ^RT F VT р (d _T)

p_C—-T-Call _и p_p — -T-Put

Модель  Паскаля оценки ближних  опционов

Все предыдущие формулы получены в предположении, что доходность подлежащих активов  определяется функцией нормального  распределения. Это верно для  больших сроков до истечения. Для  малых сроков начинают играть роль другие эффекты. Самым значимым из них  является эффект памяти рынка. Ниже на рисунке показано распределение  однодневных доходностей по индексу  РТС, рассчитанное с 1 сентября 1995 года по 20 сентября 2006 года.

 

Для сравнения  на рисунке показано гауссово распределение  с тем же средним значением  и той же дисперсией (зеленая линия).

Видно, что в районе средней доходности реальная и гауссова кривые значительно  расходятся. Вероятность того, что  рынок останется завтра на тех  же уровнях что и сегодня, гораздо  ВЫШЕ той, что предсказывает Гаусс. Далее, видно, что реальная вероятность  для рынка за день измениться на величину сопоставимую со среднеквадратичным дневным отклонением МЕНЬШЕ, чем  это следует из гипотезы нормально  распределения. Эти две функции  также различаются на «хвостах». Реальная функция распределения  доходностей (красная кривая) имеет  т.н. «толстые хвосты», в отличие  от Гаусса, который на расстояниях  более 3-х сигма от центра практически  равен нулю. Однако для нас последнее  обстоятельство менее важно, чем  предыдущие два. На них и сосредоточимся до момента рассмотрения влияния  фрактальности рынка на оценку опционов.

Как показывает практика, подобного сорта распределениями  с высокими пиками и толстыми хвостами обладают практически все финансовые активы. Это заставляет попытаться смоделировать такие распределения  иными функциями, нежели Гаусс. Наиболее подходящими функциями для аппроксимации  реальных однодневных распределений  являются так называемые распределения  Парето. Это достаточно сложные функции, потому оставим их анализ теоретикам, а сами рассмотрим наиболее

 

общеупотребительный способ моделирования реальной ситуации с помощью распределения Лапласа-Паскаля.

р

Плотность функции распределения ф и  интегральная функция распределения  Лапласа- Паскаля даются следующими выражениями:

х—  х

9 (х.х, т)-—--e ' 2Р

 

\х—х\

Т e —. 2

\х—х\

1 -I e" ~

если  х> х

P (х)- J 9 (х)dx-

если  х<х

2

 

В отличие  от плотности функции нормального  распределения, рассмотренного в моделях  выше, плотность распределения Лапласа  имеет заостренный пик вблизи среднего значения и более медленно убывает по мере удаления от центра распределения. Это хорошо согласуется  с практикой.

Ниже  на рисунке приведена картинка реальной аппроксимации распределения однодневных  доходностей индекса РТС распределением Лапласа-Паскаля (синяя кривая).

 

Обратите  внимание , как точно описывает  модель (синяя кривая) реальную ситуацию по сравнению с Гауссом (зеленая  кривая).

Знание  функции распределения позволяет  легко вычислить цены опционов колл и пут. Этот способ оценки опциона  зовется моделью Паскаля. Ниже приведены  формулы как для опционов на фьючерсы, так и на акции.

 

s — s

"'sr¹

1

e

2P s

Call—e  ^RT J( ^ — X) _ (^) ds, _ (s ) =

x

для опционов на фьючерсы:

RT

F x

Call—e

S—Xe

(F — X) +

[F — X для опционов на акции:

-RT

Call = ( S — e^¹ X

(S — e-^RTX) +

Put — Call—S + Xe

„—^ 4f

 

Сравнение моделей

Модель  Паскаля хорошо работает для ближних  опционов со сроками истечения не более 3 торговых дней. Для таких  опционов по сравнению с моделью  Блэка или Блэка- Шоулза она дает более адекватные результаты. Поскольку  в модели заложено, что цены с  большей вероятностью останутся  на месте, нежели сдвинутся, то очевидно, такая модель должна давать более  низкие значения цен, чем другие модели.

Можно сказать и по другому. Все модели кроме Паскаля переоценивают  опционы с коротким сроком погашения.

На этом рисунке приведены три кривые - стоимости опциона колл при разных ценах базисного актива, рассчитанные по трем рассмотренным выше моделям. Видно, что все три модели для  опционов в деньгах и вне денег  дают близкие результаты. Различия возникают лишь для ничейных опционов. При этом различия тем более драматичны, чем ближе срок до погашения.

Итак, мы научились более точно, чем модель Блэка или Блэка- Шоулза оценивать  краткосрочные опционы. А как  быть с другой крайностью - с опционами  чей срок составляет более полугода и которые поэтому могут считаться  долгосрочными? Ответ на этот вопрос дает учет фрактальности рынка. Рассмотрим, как влияет фрактальность рынка  на опционные премии.

Влияние фрактальности рынка  на оценку опционов

В качестве единственного показателя фрактальности  будем использовать показатель Хёрста Н. Напомним, что распределение доходностей  на основе Гаусса, приводит к следующей  связи между дневной и годовой  волатильностью базисного актива:

o_Y—o_D V 250

 

Где 250 - число торговых дней в году. Более  общая формула, связывающая волатильность  масштаба т с волатильностью масштаба T для нормального распределения может быть записана так:

т_т - т_а V T / а

Если  взять за основу фрактальность рынка  с показателем Хёрста Н, то последнюю  формулу следует переписать так:

т_т - т_г (TI а )^Н, Н > 0.5

Для финансовых рынков показатели Хёрста больше или  равны У. Ниже на рисунке приведены  кривые относительных волатильностей для различных сроков до истечения  при трех показателях Н, включая  гауссов случай.

Трактовать  эти кривые нужно так: Если нам  известно годовое значение волатильности, то реальная (фрактальная)

волатильность при сроках до истечения меньше года будет выше той, что даёт нормальное распределение. А реальная волатильность  при сроках больше года - наоборот, будет  выше чем получаемое значение из нормального  распределения.

Однако  нам известно, что обычно годовая волатильность

рассчитывается  на основе дневной волатильности, а  не наоборот. Поэтому в анализе  и расчетах мы должны опираться на дневную, а не годовую волатильность.

Итак, каким  образом учет фрактальности рынка  на цену опционов произвести наиболее правильным образом? Для ответ на этот вопрос вновь рассмотрим вышеприведенный  график, но теперь будем сравнивать между собой волатильности относительно дневной волатильности. Вновь считаем, что дневная волатильность акции  нам известна и на ее основе получаем три кривые для различных показателей  Хёрста.