Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Ноября 2011 в 20:54, лекция
Напомним определения, данные нами фьючерсам и опционам в предыдущих лекциях.
Фьючерс - это не товар, не ценная бумага, а зарегистрированная маклером электронная запись о принятых участником торгов «обязательствах» по поставке или принятию базисного актива в будущем.
Оглавление 2
Принятые обозначения: 2
Еще раз про фьючерсы и опционы 2
Основной принцип арбитража и стоимость денег 3
Сделка «коробка» ("Box Trade") и паритет опционов 4
Паритет Call-Put опционов с учетом времени 5
Примеры простого распределения будущих цен при вычислении европейского
опциона Call 6
Общий пример оценки опциона Call 7
Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна 8
Модель Блэка-Шоулза (Black-Scholes) 11
Модель Блэка 12
Модель Паскаля оценки ближних опционов 13
Сравнение моделей 15
Влияние фрактальности рынка на оценку опционов 15
|
|
|
|
|
|
|
|
Для простоты будем считать, что R=10%, T = 1 год, а текущая стоимость акции составляет 100$. Таким образом, будущее среднее значение цены составляет 105$, а среднеквадратичное отклонение цены от среднего о = 9.52%.
Нам предлагают купить европейский опцион колл на эту акцию со страйком 104$. По какой цене это имеет смысл? Какова стоимость опциона?
Ответ на этот вопрос дает будущая стоимость денежных потоков, порождаемая таким опционом. А она такова: при цене акции 95$ опцион вне денег и стоит 0. При цене акции 105 опцион стоит 1$=105$ - 104$. Наконец, при цене акции 115$ опцион будет стоить 11$=115$ - 104$.
Таким образом, будущие ожидаемые выплаты по опциону составят:
FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50% + (115$ - 104$)*25% = 3.25 $;
Цена
Вероятность
Однако это только будущие, ожидаемые доходы. Сегодня эти доходы, как мы знаем, стоят дешевле. Для того чтобы найти текущую стоимость этих будущих доходов их
необходимо дисконтировать по ставке R на величину e — e =0 .9048 • В результате получим:
PV — FV-e RT — 2 .94 5
Это и есть текущее значение стоимости опциона колл в рассматриваемом случае.
Трактовать эту величину нужно следующим образом. Если инвестор очень много раз будет покупать предлагаемый опцион по цене 2.94$, то в результате он заработает прибыль, не превосходящую той, которую он получил бы вкладывая деньги в казначейские обязательства под фиксированный процент R.
Как видим, рассчитать текущую стоимость опциона достаточно просто. Для этого нужно лишь знать будущее распределение цен базисного актива.
Рассмотрим
еще один пример, а ту же самую
акцию. Все условия прежние: R=10%,
T = 1 год, текущая цена акции S= 100$, страйк
Х= 104$. Однако распределение цен через
год будем предполагать другим, а именно:
|
|
|
|
|
|
Видно,
что будущая средняя (ожидаемая)
цена при этом не изменилась и осталась
прежней - 105$, а дисперсия и
Какова
теперь будет стоимость опциона?
Ответ находится также легко.
Сначала находим ожидаемые
FV= 0$*25%+(105$ - 104$)*50%+ (125$ - 104$)*25% = 5.75 $;
Затем дисконтируем найденную величину для определения текущей стоимости:
PV — FV-e—RT—5 .205
Это и
есть теоретическая стоимость
Общий пример оценки опциона Call
Рассмотрим
общий пример. Пусть нам нужно
оценить стоимость опциона
По горизонтальной оси отложены будущие возможные цены (курс) базисного инструмента S(T), а по вертикальной оси - вероятности их реализации. Кроме того, мы знаем, что опцион при исполнении дает прибыль равную его внутренней стоимости, как это показано на верхнем рисунке справа. Таким образом, нужно перемножить прибыли, показанные на рисунке справа на соответствующие вероятности левого рисунка. Результат этого перемножения представлен на рисунке ниже. Видно, какой вклад в будущую стоимость дает каждое возможное значение цены. Хотя более высокие будущие цены дают большую стоимость опциона колл, но вероятность их
появления
ниже, поэтому столбцы на результирующей
гистограмме сначала
Теперь
для получения премии опциона
в рассматриваемой модели достаточно
просуммировать результаты, показанные
на последнем рисунке и
Биномиальная модель Кокса-Росса-Рубинштейна
Способ оценки опциона колл, рассмотренный выше, включает в себя все, что нужно для расчета. При этом молчаливо подразумевается, что вид будущего распределения цен нам хорошо известен. Очевидно что это не так. В поисках наиболее адекватного вида распределения и состоит большая часть работы опционных исследователей.
Простейший
вид этого распределения
Суть такого моделирования состоит в разбиении времени, оставшегося до экспирации на N шагов и предположении, что цена базисного актива на каждом шаге может либо двинуться вверх на определенную величину Pт = P0eN с вероятностью р, либо вниз, тоже на некоторую определенную величину с вероятностью q=\ -р, как показано на
рисунке.
Будем считать, что доходность на каждом шаге определяется параметром N, так что цена на каждом следующем шаге может либо вырасти в е5 раз, либо уменьшиться в это же число раз. Таким образом, мы имеем в модели три параметра: N - число шагов, которое мы задаем исходя из собственных представлений о нужной нам точности, а также N - относительное изменение цены на каждом шаге и вероятность повышения цены р. Последние два параметра должны быть найдены исходя из времени, оставшегося до срока Т, процентной ставки R и волатильности базисного актива о.
Для того, чтобы найти эти выражения заметим, что окончательные, на шаге N цены могут принимать только следующие значения Pn г = P0е12г-N, г е [0, N] с вероятностями, определяемыми биномиальным распределением:
z-^i i N—i
WN, i -CnP 0
Легко вычислить получаемую при каждой цене доходность:
N, i
Rt (N )- In
P
0
-(2i — N)N ,i = 0,l ■■■, N,
а также найти среднюю или ожидаемую доходность:
п
R=Z wn,,R (N )=N (р— q)N — RT, T-
252
Из этого уравнения мы получаем первую связь между неизвестными пока р и N с одной стороны и известными N, T и R. Вторая связь находится из анализа дисперсии доходностей:
D\Rt (?)-тт2, от-oD VОу ^2Е2-ty JT
Считая,
что годовая ожидаемая
D\R, (п)| = D{(2i — N) NJ = 451 Npq-o 2 T
Разрешая эти уравнения относительно неизвестных величин р и N , окончательно будем иметь:
Это все параметры, которые используются в биномиальной модели.
Теперь посчитаем будущие выплаты или прибыль по опциону при исполнении в рассмотренной модели. Вспомним, что это просто взвешенная по вероятности сумма внутренних стоимостей опциона:
FV- I (Pn, j — X)
PNJ> X
Последнее, что осталось сделать - это привести будущую стоимость к текущим значениям, что и дает справедливую стоимость европейского опциона колл для биномиальной модели:
—RT
Pc - FV-е
ITinvest
lnvestriiEn[ company |
Последние
две формулы легко
Ниже приведено типичное распределение доходностей, полученное с помощью 10- тишагового биномиального распределения.
Практика
показывает, что для получения
надежной и достаточно точной оценки
стоимости ближних опционов достаточно
выбрать число шагов от 10 до 30.
Для дальних опционов, для больших
значений безрисковой ставки, а также
для акций с большой
Чем большее количество шагов N выбрать для биномиальной модели, тем больше результаты будут похожи на те, что получаются с помощью нормального Гауссова распределения доходностей. Ничего странного в этом нет, поскольку нормальное распределение - это предельный случай при N биномиального распределения.
Ниже
на рисунке представлены два нормальных
(Гауссовых) распределения доходности
с различными значениями волатильности
(среднеквадратичного
Именно
такая форма распределения
Модель Блэка-Шоулза (Biack-Schoies)
На предыдущем рисунке было показано распределение доходностей, подчиняющихся нормальному или Гауссовому распределению N(x):
1
x ~2
р(x ) =
exp
N(x)=j (у )dy
это распределение симметрично относительно центра, допускает положительные и отрицательные значения. Если, исходя из этого распределения доходностей, вычислить распределение цен, то окажется, что оно будет уже так называемым логарифмическим нормальным распределением. Соответствующие графики приведены на рисунке ниже:
Используя это распределение цен, Фишер Блэк и Майрон Шоулз нашли следующую формулу для вычисления теоретической стоимости опциона колл: