Модель межкультурных взаимодействий

2. Пусть одна из сторон сверхтолерантна, а другая толерантна сверхтолерантна. Разберем случай n, m>-1. В данном случае прямые (рис.3), (рис.4) пересекаются в области сверхтолерантности первого квадранта, причем их, точка пересечения (рис.6), так же как и в случае обоюдной толерантности, является устойчивым узлом, а точки (N=N*, М=0), (N=0, М=М*) являются седлами.

Рис.5 Обе стороны сверхтолерантны

На  рис.5 показана обоюдная сверхтолерантность. На первый взгляд, ситуация в данном случае мало чем отличается от рассмотренной ранее обоюдной толерантности. Однако на самом деле эти ситуации различаются принципиально, а именно, как следует из формул (рис.6),— если обе стороны сверхтолерантны, то дальнейшее уменьшение коэффициента нетерпимости (увеличение толерантности) любой из сторон становится полезным (в смысле увеличения предельной численности) не только партнеру-сопернику этой стороны, как это было в случае простой обоюдной  толерантности, но и ей самой. При этом предельная численность сверхтолерантной популяции становится больше емкости среды для нее, а при n,m < 0, nm  ≥ 1 прямые (рис.3), (рис.4) перестают пересекаться в первом квадранте, что в содержательной области модели означает неограниченный рост обеих популяций за бесконечное время. Если же сверхтолерантна лишь одна из сторон, а другая просто толерантна, просто толерантной стороне выгодно увеличивать свою толерантность, сверхтолерантной же невыгодно, до тех пор пока ее партнер также не станет сверхтолерантным. 

3. Пусть обе  стороны нетерпимы друг к другу. Тогда стационарная точка (рис.6) лежит в области нетерпимости и является седлом, а стационарные точки

           (N = N*,M = 0), (N = 0,M = M*)

являются  устойчивыми узлами системы. В этом случае система с течением времени, в зависимости от начальных условий, приходит либо в один, либо в другой устойчивый узел, т. е. одна из популяций  полностью исчезает. Остается та, к  узлу которой на фазовой диаграмме  тяготеет точка начальных численностей популяций (N₀, M₀). Интересен вопрос, как распределены в фазовой плоскости точки начальных численностей, тяготеющие к одному и другому устойчивому узлу. Здесь приведем основные результаты этого исследования. В упрощенном случае, когда равны коэффициенты прироста популяций, ɣ = α= β, прямая

Рис.7

разделяет области тяготения. Если точка начальных  численностей лежит ниже прямой (рис.7), то траектория придет на бесконечности в точку (0,М*), если выше прямой (рис.7) — то в точку (N*,0), если же на самой этой прямой, то траектория придет в седловую точку (рис.6).

   В общем случае, α ≠ β, области тяготения начальных значений разделяет более сложная кривая, однако общая закономерность, которой подчиняется соотношение областей тяготения начальных значений, остается той же: при заданной нетерпимости одной из сторон, например при m- const, для любого ε >0 можно выбрать столь большое значение коэффициента нетерпимости n другой стороны, что отношение площади точек начальных значений, тяготеющих к узлу (0,М*), внутри произвольного квадрата с вершиной в начале координат и сторонами, направленными по осям, к площади всего этого квадрата будет меньше ε. Соответственно, отношение площади точек начальных значений, тяготеющих к узлу (N*,0), более нетерпимой стороны, к площади всего квадрата будет отличаться от единицы меньше, чем на ε. Сказанное выше можно трактовать как то, что при фиксированной нетерпимости одной из сторон и бесконечно возрастающей нетерпимости другой вероятность попадания при случайном броске точки начальных численностей в первый квадрант фазовой плоскости в область, тяготеющую к узлу менее нетерпимой популяции, стремится к нулю, а в область, тяготеющую к узлу более нетерпимой популяции, — к единице.

Рис.6 Обе стороны нетерпимы

   Рисунок 6 иллюстрирует сказанное. На нем проведена прямая (рис.7), которая разделяет области тяготения точек фазовой плоскости к устойчивым узлам в случае α = β. Стрелками показаны направления изменений численностей популяций.

    Следует также заметить, что при увеличении обоюдной нетерпимости большинство точек первого квадранта оказывается в области (площадь невошедших в область (рис.8) точек первого квадранта стремится к 0 при стремлении к бесконечности n и m).

Рис.8

   В области (рис.8) производные уравнений (рис.2) отрицательные, следовательно, в этой области большой коэффициент прироста становится не преимуществом, а недостатком, ведущим к более быстрому уменьшению численности более плодовитой популяции. Например, пусть точка (N₀ , М₀) начальных численностей лежит в области

Рис.9

(также  достаточно представительная область  первого квадранта, не включающая  в себя лишь его часть, меньшую  по площади, чем  ) и при заданных значениях  α, β > 0 тяготеет, например, к узлу (N*,0). Тогда, уменьшая должным образом коэффициент прироста β популяции М при сохранении остальных параметров системы (рис.2) неизменными, можно привести траекторию на бесконечности к узлу (0, М ). Отметим, что этот вывод достаточно сильно противоречит расхожей «базарной» точке зрения на изучаемый вопрос, процитированной в начале очерка и утверждающей важность в условиях взаимной нетерпимости «размножения в десять раз быстрее».

   Продолжая рассматривать ситуацию обоюдной нетерпимости, предположим теперь, что имеется некая «третья сила», которая включается тогда, когда траектория системы попадает в «опасную зону» фазовой плоскости Ω, чреватую необратимым скатыванием к одному из двух устойчивых узлов:

Рис.10

   Эта сила призвана «помочь» стороне, чья производная отрицательна, и «помешать» стороне, чья производная положительна в области Ω фазовой плоскости системы. Так как правые части системы (рис.2) мультипликативны, можно предложить единообразный для обеих сторон и поэтому вполне «политкорректный» механизм такого действия: при наличии в системе хотя бы одной нетерпимой популяции наказывать за заход траектории системы (рис.2) в область Ω фазовой плоскости изменением знака коэффициентов прироста обеих популяций на отрицательный. Функционирование «третьей силы», управляющей коэффициентами прироста сторон по формулам

Рис.11

превращает  точку (рис.6) из седла в устойчивый узел, а точки (N*,0) и (0, М*), наоборот, из устойчивых узлов в седла. Следует также отметить следующее важное свойство узла (рис.6), в условиях обоюдной нетерпимости и присутствия «третьей силы» существенно отличающее его от узла, задаваемого теми же формулами в случае обоюдной толерантности. При фиксированной нетерпимости одной из сторон, например при m = const, уменьшение нетерпимости n другой стороны, приводит к увеличению предельной численности последней и уменьшению предельной численности первой .

   Таким образом, наличие описанной выше «третьей силы» должно со временем «вытолкнуть» обе популяции из области нетерпимости, так как настаивание на имеющей место собственной нетерпимости в условиях уменьшения соперником своей в данной ситуации чревато полным исчезновением упорной в нетерпимости стороны.

4. Пусть сторона М нетерпима к N (1<m<∞) коэффициент нетерпимости стороны N изменяется в пределах -∞<n≤ 1, т. е. либо N относится к М без предубеждения, либо толерантна, либо сверхтолерантна; или же пусть 1<m<∞ и -∞ <n<1. Тогда либо система (рис.3)-(рис.4) не имеет решения, либо ее решение (рис.6) лежит вне внутренности первого квадранта системы координат. Точка (N = N*, М = 0) является седлом, а точка (N = 0, М = М*) — устойчивым узлом системы.

Рис.7 Сторона N толерантна, сторона М нетерпима

   Следовательно, в данном случае с течением времени, вне зависимости от начальных условий и значений коэффициентов прироста, полностью исчезает толерантная сторона N и остается нетерпимая М. Отметим, что данный результат кардинально противоречит процитированному в начале очерка расхожему «ученому» мнению о толерантности как панацее от всех бед в области межкультурных взаимоотношений. К сожалению, толерантность полностью погибает при столкновении с нетерпимостью, вне зависимости от начальных численностей и скоростей прироста. В данном случае, так же как и в случае обоюдной нетерпимости, можно предложить воздействие «третьей силы», функционирующей по правилам (рис.11). К сожалению, никакая «третья сила» не способна в этом случае сохранить обе популяции. «Третья сила» превращает седло толерантной стороны в устойчивый узел, а устойчивый узел нетерпимой стороны, наоборот, в седло. При наличии подобной силы нетерпимой стороне не остается ничего, кроме перехода к толерантности, под угрозой полного исчезновения. На рис.7 иллюстрируется столкновение толерантности и нетерпимости. Стрелками показаны направления изменений численностеи популяций (без учета «третьей силы»).

5. Пусть теперь сторона N нетерпима к М(1<n<∞), а М сверхтолерантна, или толерантна, или относится без предубеждений к стороне N (-∞ < m ≤ 1); или же пусть 1≤n<∞ и -∞ < m < 1. Тогда точка (N = 0, М = М*) будет седлом, а

(N = N*, М = 0) — устойчивым узлом системы.  Окончательный вывод тот же, что и в предыдущем пункте, — вне зависимости от начальных условий и значений коэффициентов прироста полностью исчезает толерантная сторона остается нетерпимая. Рисунок 8 иллюстрирует сказанное.

Рис.8 Сторона М толерантна, сторона N нетерпима

6. Для полноты картины следует также рассмотреть случай n = m = 1, т. е. когда стороны относятся друг к другу без предубеждений. Следует заметать, что, хотя обычно ограничения типа равенства не слишком устойчивы, в данной модели может существовать механизм поддержания такого равенства n=m=1 , особенно в случае функционирования в области нетерпимости описанной выше «третьей силы». Эта «третья сила»  выталкивала бы стороны из области нетерпимости, а из области толерантности их должен выталкивать факт выгодности уменьшения толерантности любой из сторон при фиксированной толерантности соперника.

   Данный случай также достаточно интересен и заслуживает исследования. Здесь весь отрезок прямой (рис.5) между точками (N = N*,M = 0) и (N = 0, М = М*) является областью притяжения траекторий.

    Графически направления изменения численностей популяций представлены на рис.9.

  Чтобы понять, к какой из точек прямой (рис.5) придет система, разделим первое из уравнений (рис.2) на второе (помня, что n= m= 1), получаем:

  откуда  заключаем:

Рис.12

Искомая точка является решением системы  уравнений  (рис.5), (рис.12). В данном случае с течением времени система стремится к равновесному состоянию, в котором представлены обе популяции, причем их равновесные численности зависят от начальных численностей и коэффициентов рождаемости. С точки зрения нашей модели, данный случай есть случай полной культурной ассимиляции (так как культурная идентичность в нашей простейшей модели исчерпывается разницей между внутривидовой и межвидовой конкуренцией), остаются лишь биологические различия популяций — начальные численности и коэффициенты прироста.

Рис.9 Обоюдное отношение без предубеждений

Такие прогнозы развития нашей  двухкомпонентной системы  дает системная динамика. Посмотрим теперь, какие управленческие решения может  нам подсказать теория исследования операций.

Теоретико-игровой  анализ модели.

До сих  пор мы выясняли, как зависят предельные численности популяций от различных  классов значений внешних переменных модели, в первую очередь — от коэффициентов нетерпимости. Интересен  вопрос, каковы тенденции изменения  предельных численностей при возможности  целенаправленного управления сторонами  своими коэффициентами нетерпимости, а также, в некоторых случаях, и другими внешними переменными  модели. Будем трактовать коэффициенты нетерпимости в (рис.2) как управления сторон, т. е. сторона N управляет коэффициентом  n, а сторона М— коэффициентом т. Можно считать, что стороны играют в игру, где стратегиями являются задания сверхтолерантных, толерантных, без предубеждений или нетерпимых управлений n и m, а выигрышем — предельное значение популяции при таких управлениях. Получаем биматричную игру с непротивоположными интересами. Выпишем матрицы выигрышей сторон (табл.1,2). В скобках приводится сравнение получаемого выигрыша с емкостью среды для соответствующей популяции. Здесь есть точка (рис.6)— решение системы (рис.3)-(рис.4).