Логистические операции и логистические функции

 

         7,5                     3,3

 

 

 

Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
1650	2810	2340	1430	1860	1630	1120	2050	3110

 

Потребность в мелкопартийных поставках  продукции потребителям с баз  и складов систематически возрастает. Поэтому организация маршрутов  на отгрузку потребителям мелких партий груза имеет большое значение.

Введём обозначения:

Х_i – пункт потребления (i = 1, 2… n);

Х_о – начальный пункт (склад);

q – потребность пунктов потребления в единицах объёма груза;

Q_d – грузоподъёмность транспортных средств;

d – количество транспортных средств;

С_ij – стоимость перевозки (расстояние);

j – поставщики (j – 1, 2…М).

Имеются пункты потребления Х_i (i = 1, 2…n). Груз необходимо развести из начального пункта Х_о (склад) во все остальные (потребители). Потребность пунктов потребления в единицах объёма груза составляет: q₁, q₂, q₃…q_n.

В начальном пункте имеются транспортные средства грузоподъёмностью Q₁, Q₂… Q_d.  

                                                                n

При этом d > n, в пункте Х_о количество груза Х_о ³ å Х_i , каждый пункт

    i=1

потребления снабжается одним типом подвижного состава.

Для каждой пары пунктов (Х_i, Х_j) определяют стоимость перевозки (расстояние) С_ij> 0, причём матрица стоимостей в общем случае может быть асимметричная, т.е. С_ij ¹ C_ji.

Требуется найти m замкнутых путей L₁, L₂… L_m из единственной общей точки Х_о, так чтобы выполнялось условие:

                   m

å L_k ® min

      k=1

 

 Методика составления рациональных маршрутов при расчётах         вручную. Схема размещения пунктов и расстояния между ними:

 

 

Потребители продукции	Б	В	Г	Д	Е	Ж	З	И	К
Объём продукции, кг.	1650	2810	2340	1430	1860	1630	1120	2050	3110

 

Груз находится в пункте А  – 4000 кг. Используется автомобиль грузоподъёмность 2,5 т.; груз – II  класса (g = 0,8). Необходимо организовать перевозку между пунктами с минимальным пробегом подвижного состава.

Решение состоит из нескольких этапов:

Этап 1. Строим кратчайшую сеть, связывающую все пункты без замкнутых контуров.

Кратчайшая связывающая сеть («минимальное дерево»):

 

 

 

 

Затем по каждой ветви сети, начиная  с пункта, наиболее удалённого от начального А (считается по кратчайшей связывающей  сети), группируем пункты на маршрут  с учётом количества ввозимого груза  и грузоподъёмности единицы подвижного состава. Причём ближайшие с другой ветви пункты группируем вместе с  пунктами данной ветви.

Исходя из заданной грузоподъёмности подвижного состава  Q = 2,5, g = 0,8 все пункты можно сгруппировать так:

 

Маршрут 1		Маршрут 2
пункт	объём завоза, кг.	Пункт	объём завоза, кг.
Г	2340	Д	1430
Ж	1630	К	3110
З	1120	Б	1650
И	2050	В	2810
Е	1860
Итого:	9000	Итого:	9000

Сгруппировав пункты по маршрутам, переходим ко второму этапу расчётов.

Этап 2. Определяем рациональный порядок объезда пунктов каждого маршрута. Для этого строим таблицу-матрицу, в которой по диагонали размещаем пункты, включаемые в маршрут, и начальный пункт А, а в соответствующих клетках – кратчайшие расстояния между ними. Для примера матрица является симметричной С_ij = C_ji, хотя приведённый ниже способ применим для размещения несимметричных матриц.

 

 

А	8,6	9,3	18,3	19,8	16,2
8,6	Г	7,3	16,3	17,8	14,2
9,3	7,3	Ж	9,2	10,5	6,9
18,3	16,3	9,2	З	7,5	8,1
19,8	17,8	10,5	7,5	И	3,3
16,2	14,2	6,9	8,1	3,3	Е
å 72,2	64,2	43,2	59,4	58,9	48,7

 

Начальный маршрут строим для трёх пунктов матрицы АГЗА, имеющих  наибольшее значение величины, показанных в строке (72,2; 64,2; 59,4), т.е. А; Г; З.

Для включения последующих пунктов выбираем из оставшихся пункт, имеющий наибольшую сумму, в нашем случае И (сумма 58,9), и решаем, между какими пунктами его следует включать, т.е. между А и Г, или Г и З, или З и А.

Поэтому для каждой пары пунктов необходимо найти величину приращения маршрута по формуле:

k_p = C_ki + C_ip – C_kp,

где С – расстояние, км.; i – индекс включаемого пункта; k – индекс первого пункта из пары; p – индекс второго пункта из пары.

При включении пункта И между первой парой пунктов А и Г, определяем размер приращения DАГ при условии, что i = И, k = A, p = Г.  Тогда

DАГ = С_АИ + С_ГИ - С_АГ.

Подставляя  значения из таблицы-матрицы , получаем, что                                  

DАГ = 19,8 + 17,8 – 8,6 = 29.

Таким же образом определяем размер приращения DГЗ, если И включим между пунктами Г и З:

DГЗ = С_ГИ + С_ЗИ - С ГЗ = 17,8 + 7,5 – 16,3 = 9 км.           

 и DЗА, если И включить между пунктами З и А:

DЗА = С_ЗИ + С_АИ – С_АЗ = 7,5 +19,8 – 18,3 = 9 км.

Из полученных значений выбираем минимальные, т.е. DЗА = 9,0. Тогда из А-Г-З-А®А-Г-З-И-А. Используя этот метод и формулу приращения, определяем, между какими пунктами расположить пункты Ж и Е.

Начнём с Е, т.к. размер суммы (см. табл.) этого пункта больше (48,7 > 43,2):

DАГ = С_АЕ + С_ГЕ – С_АГ = 16,2 + 14,2 - 8,6 = 21,8,

DГЗ = С_ГЕ + С_ЗЕ – С_ГЗ= 14,2 + 8,1 – 16,3 = 6,0,

DЗИ = С_ЗЕ + С_ИЕ – С_ЗИ = 8,1 + 3,3 – 7,5 = 3,9,

DИА = С_ИЕ + С_АЕ – С_ИА= 3,3 + 16,2 – 19,8 = 0.

В случае, когда D = 0, для симметричной матрицы расчёты можно не продолжать, т.к. меньше значение, чем 0, получено быть не может. Поэтому пункт Е должен быть между пунктами И и А. Тогда маршрут получит вид:     А-Г-З-И-Е-А.

В результате проведённого расчёта  включаем пункт Ж между пунктами Е и А, т.к. для этих пунктов  мы получим минимальное приращение 0:

 

DАГ = С_АЖ + С_ГЖ – С_АГ = 9,3 + 7,3 – 8,6 = 8;

DГЗ = С_ГЖ + С_ЗЖ – С_ГЗ = 7,3 + 9,2 – 16,3 = 0,2;

DЗИ = С_ЗЖ + С_ИЖ – С_ЗИ = 9,2 + 10,5 – 7,5 = 12,2;

DИЕ = С_ИЖ + С_ЕЖ – С_ИЕ  = 10,5 + 6,9 – 3,3 = 14,1;

DЕА = С_ЕЖ  + С_АЖ – С_ЕА = 6,9 + 9,3 – 16,2 = 0.

 

Таким образом, окончательный порядок  движения по маршруту 1 будет А-Г-З-И-Е-Ж-А.

Таким же методом определим кратчайший путь объезда пунктов по маршруту 2. В результате расчётов получим маршрут А-К-Д-Б-В-А . Порядок движения по маршрутам 1 и 2 приведён ниже:

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №2 Расчет рациональных маршрутов

Исходные  данные для решения задачи (вариант  №5)

      АБ₁ = 4 км.     V = 20 км/ч

      АБ₂ = 3,5 км.   T_n-p = 35 мин.

      АГ = 5 км.   q = 8 т.

      Б₁Г = 2 км.   m Б₁ = 32 т.

      Б₂Г = 2,5 км.   m Б₂ = 24 т.

На конкретных примерах рассмотрим разработку маятниковых                         и кольцевых развозочных маршрутов со снабженческо-сбытовых баз и складов потребителям.

        Б₂ 2 ездки

                      

а)            

         Г (Автохозяйство)

     lАБ_i = lАБ₂ =3,5, км     

5,0 км                         

 

 Склад    А Б1 2 ездки

                                           lАБ_j = lАБ₁ = 4 км                 

 

 

 

б)                 Б₁       2 км                 Г                                 L об = 33 км

                       

                               4 км                                                    L пор = 18 км

             8 км

    3,5 км     L гр = 15 км

                                             

                        Б_{2 b = 0,45}

 

 

_{Г                                                    L об = 34 км}

в)                Б₁

2,5 км                         L пор = 19 км

4 км           5 км

3,5 км          L гр = 15 км

            Б_{2                 b = 0,44}

 

 

Г –  автохозяйство, А – база или склад, Б₁, Б₂ – потребители продукции

Маятниковые маршруты с обратным холостым пробегом. При выполнении маятниковых маршрутов с обратным пробегом без груза возникает несколько вариантов движения автомобилей с разным по величине порожним пробегом. Необходимо разработать такой маршрут, при котором порожний пробег был бы минимальным.

На рисунке приведены условия  перевозочной задачи, на примере решения  которой составим маршрут движения автомобиля с минимальным порожним пробегом.

Из пункта А (база) необходимо доставить груз в пункты Б₁ и Б₂. Объёмы перевозок (в ездках) и расстояния указаны на рисунке.

За время в наряде автомобиль может выполнить на маршруте АБ₁ и АБ₂ по две ездки с грузом.

Необходимо составить маршруты движения автомобилей, дающие минимум  порожних пробегов.

Количество ездок определяется по формуле:

        Q

n_e = --------

     q х g ^,

где Q – объём поставок продукции за рассматриваемый период, т.; q – грузоподъёмность автомобиля, т.; g - коэффициент использования грузоподъёмности в зависимости от класса груза.

При решении этой задачи могут возникнуть два варианта маршрутов:

1. Продукция поставляется в Б₂, а потом в Б₁, из Б₁ – возвращение автомобиля в автохозяйство.
2. Продукция поставляется в Б₁, а потом в Б₂, из Б₂ – возвращение автомобиля в автохозяйство.

Как видим из рисунка, наиболее эффективен первый вариант, поскольку коэффициент  использования b во втором случае выше, чем в вовтором.

Однако на практике при разработке маршрутов, руководствуясь правилом, чтобы уменьшить нулевой пробег, необходимо разрабатывать такую систему маршрутов, при которой первый пункт погрузки и последний пункт разгрузки находился вблизи от автохозяйства, мы склонны принять второй вариант.

Чтобы проверить правильность выбора, решим задачу математическим методом.

Задача составления рациональных маршрутов, обеспечивающих минимальный  порожний пробег транспортных средств, сводится к следующей задаче линейного  программирования:

Минимизируем линейную форму

              n

L =å (lo^Бj - l_АБj) х Х_j

   j=1

                                                 n

при условиях 0 £ Х_j £ Q_j  и å £ Х_j ;

        j=1  

пункты назначения пронумерованы  в порядке возрастания разностей

 (lo^Бj - l_АБj), т.е.

lo^Б1 – l_АБ1 £ lo^Б2 - l_АБ2 £ lo^Б3 - l_АБ3 £ … £ lo^Бn - l_АБn .

 

Тогда оптимальное решение таково:

 

Х₁ = min (Q₁, N);

Х₂ = min (Q₂, N – Х₁);