Проблема обучения математике в профильном классе на примере темы "Логарифмические уравнения"

align="justify">    Тогда

    

    

    Ответ: .

    3)

.

    Решение:

    По  определению логарифма

    

    

    

    Отсюда

                      

    Ответ:

    4)

.

    Решение:

    Отметим, что  . (1)

    Упрощаем  выражение: тогда с учётом (1) имеем Обозначим . Тогда . Отсюда , , . Получаем

    

    

 и 

    Ответ: , 

    5)

.

    Решение:

     . Проведём некоторые упрощения:

    

    

    Поэтому уравнение имеет вид:

    

    Прологарифмируем  обе части уравнения по основанию  x:

    

    

    

    Обозначим . Тогда

                                  

    Следовательно:    или 

                                   и     

    Ответ: , .

    6)

.

    Решение:

    ОДЗ:

    В одной и той же системе координат  строим графики функций и  
 

    

    Абсциссы точек пересечения графиков функций и равны примерно 1 и 2. Нетрудно проверить, что это корни данного уравнения.

    Проверка:     - верное равенство,

                    - верное равенство.

    Ответ: , . 

    Задание 5: Тестовое задание:

         1) а;

         2) в;

         3) г;

         4) а. 

    Решение тестового задания:

          Решите уравнение:

    1)

.

    Решение:

    Данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство . Мы получили квадратное уравнение , корни которого равны и . Следовательно, числа и - решения данного уравнения.

    Ответ: , .

    2)

.

    Решение:

    Это уравнение определено для тех  значений x, при которых выполнены неравенства и . Для этих x данное уравнение равносильно уравнению , из которого находим . Число не удовлетворяет, однако, неравенству . Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

    Ответ: корней нет. 

    3) .    (1)

    Решение:

    Учитывая, что  , преобразуем данное уравнение к виду

          (2)

    Это уравнение, как легко установить, имеет решения  , .

    Обратим внимание на то, что в уравнении (2), выражение определено для всех , в то время как в исходном уравнении (1) соответствующее выражение определено лишь при . Проверка показывает, что из двух решений уравнения (2) лишь является решением уравнения (1).

    Ответ: . 

    4)

.

    Решение:

    Обозначим: , получаем уравнение

    

    

    Ответ:  

    Задание 7: Решите уравнения:

    

.

    Решение:

    Потенцируя  по основанию 2, получаем 

    Подставляя  эти решения в уравнение, убеждаемся в том, что они являются решениями  и этого уравнения.

    Ответ:

    

.

    Решение:

    Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: .

    Это уравнение имеет решения (смотри предыдущий пример) Подставляя в исходное уравнение, получаем верное равенство , значит - решение исходного уравнения. При подстановке уже в первом слагаемом левой части получаем выражение: , которое не определено. Значит, не является решением исходного уравнения.

    Ответ: .

    

.

    Решение:

    Преобразуем данное уравнение:

    

    

    Отсюда  ,  . Для все выражения, стоящие под знаком логарифмов в исходном уравнении, положительны, значит - решение этого уравнения. Для не определён уже , поэтому не является решением исходного уравнения.

    Ответ: .

    

.

    Решение:

    Пусть , тогда и, значит,

    

    Это число не удовлетворяет неравенству: , поэтому не является решением исходного уравнения.

    Пусть , тогда и исходное уравнение сводится к уравнению . Его решением является . Это же значение x является и решением исходного уравнения.

    Ответ: .

    

.

    Решение:

    Обозначим , перейдём к основанию 2 и воспользуемся формулой для логарифма произведения. Будем иметь

          

          

    В результате исходное уравнение запишется  в виде

    

    Решив это уравнение, найдём, что  . Следовательно, получаем 

                

    Ответ:  

     .        (1)

    Решение:

  (1) запишется в виде

 

 

, то есть  .

 Решаем  это уравнение методом введения новой переменной. Положим  , получим: , корни которого ,   .

 Теперь  задача свелась к решению совокупности двух уравнений:

;   .

 Из  первого уравнения получаем , откуда .

 Из  первого уравнения получаем , откуда .

    Проверка  показывает, что оба найденных  значения и являются корнями уравнения (1).

    Ответ: ,

    

.

    Решение:

    Так как   то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

    

.

    Введём  новую переменную, положив  . Получим:

    

    

    

 

    

.

    Но 

    Ответ:  
 

    Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.

    25–29 баллов – оценка «5»,

    20–25 баллов – оценка «4»,

    13–19 баллов – оценка «3».

    Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на «3», «4», «5»). 

       (5),     (1)

    Решение:

  (1) запишется в виде

 

 

, то есть .

 Решаем  это уравнение методом введения новой переменной. Положим , получим: , корни которого ,   .

 Теперь  задача свелась к решению совокупности двух уравнений:

;   .

 Из  первого уравнения получаем , откуда .

 Из  первого уравнения получаем , откуда .

 Проверка  показывает, что оба найденных  значения и являются корнями уравнения (1). 
 

 Приложение 2

 Решение задания из ЕГЭ и «нестандартного  уравнения»

    Пример: Найдём все значения , при которых уравнение

     .                                                (1)

      имеет единственный корень.

    Решение:

    Преобразуем уравнение к виду .

    Далее получаем , откуда

     .                                              (2)

    Уравнение (1) имеет единственный корень в следующих  случаях:

1. уравнение (2) имеет единственный корень и этот корень удовлетворяет уравнению (1);
2. уравнение (2) имеет два корня, но из этих корней один является посторонним для уравнения (1).