Использование приема конструирования для развития творческих способностей младших школьников в процессе изучения элементов геометрии

Получение новых геометрических утверждений при помощи рассуждений относится к VI в. до н.э. и связано с именем древнегреческого математика Фалеса. Считают, что им доказаны свойства равнобедренного треугольника, равенство вертикальных углов и ряд других фактов.

К III в. до н.э. геометрия  становится дедуктивной наукой, одновременно решая многие практические задачи: дает точно обоснованные правила для построения фигур с заданными свойствами, позволяет различными способами сравнивать фигуры, по одним свойствам фигуры делать выводы о других ее свойствах и т.д. [51]

Основные достижения в области математики были систематизированы  около 300 лет до н.э. греческим ученым Евклидом.

 После III в. до н.э. геометрия  развивалась медленно - требовались  новые идеи и методы, необходимо  было развитие понятия числа и алгебры. Первые шаги в этом направлении были сделаны в Греции (работы Диофанта, III в.), а затем в Индии, где были открыты десятичная система счисления, отрицательные и иррациональные числа.

В IX в. благодаря работам Мухаммеда  аль-Хорезми дальнейшее развитие получила алгебра. Позже таджикский поэт и ученый Омар Хайям (конец XI - начало XII в.) дал определение числа как отношения любых величин. Через 600 лет это же определение было дано Ньютоном во «Всеобщей арифметике». В геометрии новые идеи и методы появились в XVII в. Они были обусловлены развитием алгебры и созданием математического анализа. Принадлежали эти идеи французскому философу и математику Рене Декарту. В своем сочинении «Геометрия» он впервые представил метод координат на плоскости, установив тем самым взаимосвязь геометрии с алгеброй.

Важным направлением в развитии геометрии был поиск логически  безупречного построения геометрии. Дело в том, что аксиоматически построенная  теория должна удовлетворять определенным требованиям математической строгости. Они не абсолютны и в разные периоды истории были различными. Эти требования заставили обратить особое внимание на пятый постулат геометрии Евклида - его трудно было принять очевидным, как остальные аксиомы и постулаты. Поэтому возникло стремление вывести его из остальных постулатов аксиом. Однако попытки, которые длились более двух тысяч лет, были безуспешными, хотя и сыграли положительную роль в развитии геометрии, так как были сформулированы и доказаны теоремы, раскрывающие новые свойства геометрических фигур.[16]

Переворот в  геометрии произошел в начале XIX в., когда несколько ученых пришли к мысли о существовании геометрии, отличной от евклидовой. Первым, кто построил эту геометрию, был Н.И.Лобачевский, профессор Казанского университета. [29]

Таким образом, в развитии геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый период зарождения геометрии как математической науки протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае - зависимостей между геометрическими величинами. Этот момент не может быть датирован. Самое раннее сочинение, содержащее зачатки геометрии, дошло до нас из Древнего Египта и относится примерно к 17 в. до н. э., но и оно, несомненно, не первое.

Геометрия, по свидетельству  греческих историков, была перенесена в Грецию из Египта в 7 в. до н. э. Здесь на протяжении нескольких поколений она складывалась в стройную систему. Процесс этот происходил путём накопления новых геометрических знаний, выяснения связей между разными геометрическими фактами, выработки приёмов доказательств и, наконец, формирования понятий о фигуре, о геометрическом предложении и о доказательстве. Этот процесс привёл, наконец, к качественному скачку. Геометрия превратилась в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. С этого времени начинается второй период развития геометрии. Известны упоминания систематические изложения геометрии, среди которых данное в 5 в. до н. э. Гиппократом Хиосским. Сохранились же и сыграли в дальнейшем решающую роль появившиеся около 300 до н. э. "Начала" Евклида. Ещё в Греции к ней добавляются новые результаты, возникают новые методы определения площадей и объёмов (Архимед, 3 в. до н. э.), учение о конических сечениях (Аполлоний Пергский, 3 в. до н. э.), присоединяются начатки тригонометрии (Гиппарх, 2 в. до н. э.) и геометрия на сфере (Менелай, 1 в. н. э.). Упадок античного общества привёл к сравнительному застою в развитии геометрии, однако она продолжала развиваться в Индии, в Средней Азии, в странах арабского Востока.

Возрождение наук и искусств в Европе повлекло дальнейший расцвет геометрии. Принципиально  новый шаг был сделан в 1-й половине 17 в. Р. Декартом, который ввёл в геометрию  метод координат. Метод координат  позволил связать геометрия с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрию породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную. геометрия перешла на качественно новую ступень по сравнению с геометрией древних: в ней рассматриваются уже гораздо более общие фигуры и используются существенно новые методы.

С этого времени  начинается третий период развития геометрии. Аналитическая геометрия изучает фигуры и преобразования, задаваемые алгебраическими уравнениями в прямоугольных координатах, используя при этом методы алгебры. Дифференциальная геометрия, возникшая в 18 в. в результате работ Л. Эйлера, геометрия Монжа и др., исследует уже любые достаточно гладкие кривые линии и поверхности, их семейства (т. е. их непрерывные совокупности) и преобразования. Её название связано в основном с её методом, исходящим из дифференциального исчисления. К 1-й половине 17 в. относится зарождение проективной геометрии в работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля. Она возникла из задач изображения тел на плоскости; её первый предмет составляют те свойства плоских фигур, которые сохраняются при проектировании с одной плоскости на другую из любой точки. Окончательное оформление и систематическое изложение этих новых направлений геометрии были даны в 18 - начале 19 вв. Эйлером для аналитической геометрии (1748). Монжем - для дифференциальной геометрии (1795), Ж. Понселе для проективной геометрии (1822), причём само учение о геометрическом изображении (в прямой связи с задачами черчения) было ещё раньше (1799) развито и приведено в систему Монжем в виде начертательной геометрии. Во всех этих новых дисциплинах основы (аксиомы, исходные понятия) геометрии оставались неизменными, круг же изучаемых фигур и их свойств, а также применяемых методов расширялся.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь Лобачевского геометрией. Независимо от Лобачевского в 1832 ту же геометрию построил Я. Больяй (те же идеи развивал К. Гаусс, но он не опубликовал их). Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений; однако она оставалась гипотетической, пока не был выяснен (в 1868) её реальный смысл и тем самым было дано её полное обоснование. Переворот в геометрии, произведённый Лобачевским, по своему значению не уступает ни одному из переворотов в естествознании, и недаром Лобачевский был назван "Коперником геометрии". В его идеях были намечены три принципа, определившие новое развитие геометрии. Первый принцип заключается в том, что логически мыслима не одна евклидова геометрия , но и другие «геометрии». Второй принцип - это принцип самого построения новых геометрических теорий путём видоизменения и обобщения основных положений евклидовой геометрии. Третий принцип состоит в том, что истинность геометрической теории, в смысле соответствия реальным свойствам пространства, может быть проверена лишь физическим исследованием и не исключено, что такие исследования установят, в этом смысле, неточность евклидовой геометрии. Современная физика подтвердила это. Однако от этого не теряется математическая точность евклидовой геометрии, т.к. она определяется логической состоятельностью (непротиворечивостью) этой геометрии. Точно так же в отношении любой геометрической теории нужно различать их физическую и математическую истинность; первая состоит в проверяемом опытом соответствии действительности, вторая - в логической непротиворечивости. Лобачевский дал, т. о., материалистическую установку философии математики.

Таким образом, геометрия  сложилась как наука о пространственных формах и отношениях, рассматриваемых отвлеченно от их математического содержания. В Древней Греции она сформировалась в абстрактную логическую систему, в основе которой лежат первоначальные понятия и аксиомы, новые факты формулируются в виде теорем и выводятся дедуктивным способом, а каждое новое понятие вводится с помощью определения на основе ранее введенных понятий.

 

 

1.2. Аксиоматическое построение геометрии.

Сформулированные Д. Гильбертом аксиомы относятся к точкам, прямым, плоскостям и отношениям между ними, которые выражаются словами «принадлежит», «лежать между», «конгруэнтен». Что такое точка, прямая и плоскость и каков конкретный смысл указанных отношений, Гильберт не уточняет. Все, что предполагается известным о них, выражено в аксиомах. Они разбиты на пять групп [51].

Первая группа - аксиомы принадлежности. В них устанавливаются отношения между точками, прямыми и плоскостями.

1. Через две точки  проходит одна и только одна  прямая.

2. На каждой прямой  лежат по меньшей мере две  точки.

3. Существуют три точки,  не лежащие на одной прямой.

В связи с данными  тремя аксиомами сделаем одно замечание. Известно, что на прямой бесконечное множество точек, но в аксиоме 2 отмечается, что их по меньшей мере две. Поэтому бесконечность множества точек на прямой надо будет доказывать, исходя из аксиом первой и последующих групп.

Для построения планиметрии  ограничиваются указанными аксиомами принадлежности. Для построения стереометрии к ним присоединяются следующие.

4. Через каждые три  точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость.

5. Если две точки  прямой принадлежат некоторой  плоскости, то и все точки  этой прямой принадлежат указанной  плоскости.

6. Если две плоскости  имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.

7. Существует по крайней  мере 4 точки, не лежащие в одной плоскости.

Вторая группа - аксиомы порядка. Они определяют понятие «лежать между» и выражают свойства взаимного расположения точек на прямой и плоскости.

1. Если точка В лежит между точками А и С, то она лежит между точками С и А.

2. Для любых двух точек прямой А и В существует на этой прямой такая точка С, что точка В лежит между точками А и С.

3. Из трех точек на прямой  не более чем одна лежит между двумя другими.

4. Пусть точки А, В и С не лежат на одной прямой, и прямая не проходит ни через одну из этих точек. Если при этом прямая а пересекает отрезок АВ (то есть проходит через точку, лежащую между - точками А и В), то она пересекает один из отрезков ВС или АС.

Аксиомы первых двух групп позволяют  определить понятие отрезка, луча, угла.

Отрезок - это система двух точек А и В, принадлежащих прямой а. Точки, расположенные между А и В, называются точками,  лежащими внутри отрезка АВ, точки А и В называются концами от резка А В. Луч с началом О - это совокупность всех точек прямой, лежащих с одной стороны от О. Угол - это совокупность двух лучей с общим началом, лежащих на разных прямых.  

Третья группа - аксиомы равенства (конгруэнтности). Они определяют равенство отрезков и углов.

1. На данной прямой по данную  сторону от данной на ней  точки можно отложить отрезок,  равный данному, и притом единственным  образом.

2. Два отрезка, порознь равные  третьему, равны между собой.

3. Пусть на некоторой прямой точка В лежит между точками А и С и на некоторой другой или той же прямой точка В лежит между двумя точками А и С . Если при этом отрезок АВ равен отрезку А В и отрезок ВС равен В С , то А С = А   С .

4. По данную сторону от данного  луча можно отложить данный  угол и притом единственным  образом.

5. Два угла, порознь равные третьему, равны между собой.

6. Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, А , В , С - тоже три точки, не лежащие на одной прямой. Если при этом АВ = А В , ∟ВАС = ∟В А С , то ∟АВС = ∟А В С .

Четвертая группа состоит из аксиомы непрерывности.

1. Если все точки прямой произвольным образом разбить на два класса так, что каждая точка первого класса лежит левее каждой точки второго класса, тогда непременно либо в первом классе есть самая правая точка (и во втором нет самой левой), либо во втором классе есть самая левая точка (и в первом нет самой правой).

Образно говоря, в этой аксиоме  утверждается, что прямая не имеет  проколов, что она непрерывна. Действительно, если на числовой прямой выколоть только одну точку - нуль, то числа, соответствующие оставшимся точкам, разделятся на два класса: отрицательные и положительные. И в первом классе (среди отрицательных чисел) нет самого правого (самого большого), а во втором - самого левого.

Пятая группа состоит из единственной аксиомы - аксиомы параллельности.

1. В плоскости через точку  вне данной прямой нельзя провести  более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Совокупность всех теорем, выводимых  из пяти групп аксиом, составляет евклидову  геометрию.

Вообще в основу этой геометрии могут быть положены разные аксиоматики (система основных понятий и аксиом), но, несмотря на их различия, в геометрии изучают одни и те же фигуры и получают одни и те же их свойства. Аксиоматическое построение геометрии осуществляется по одним и тем же правилам [25]: