Практическое использование ППС в процессе обучения математики

Шаг 1.  Приведем систему к одному уравнению. Пара (x, y) является решением системы тогда и только тогда, когда она является решением следующего уравнения с двумя неизвестными:

(x² + y² – 3)² + (2x + 3y – 1)² = 0

Шаг 2. Для решения последнего уравнения необходимо найти начальные приближения, для этого табулируя выражение, стоящее в левой части как функцию по двум переменным x и y найдем начальные приближения.

Поскольку табулируемая функция задает поверхность, то начальные  приближения следует искать во впадинах, т.е. в точках, где функция принимает  наименьшие значения. Начальными приближениями являются пары (-1;1) и (1,5; -0,5).

Введите значения найденных приближений в смежные  ячейки рабочего листа ( см. рис.). Над столбцами сделайте надписи XX и YY, которые будут выполнять в формулах роль меток. Обратите внимание, что мы уже использовали имена Х и Y, поэтому имена новых меток должны отличаться.

Шаг 4. В ячейку строки, в которой записана первая пара Х и У нужно ввести формулу, вычисляющую значение функции:

=(XX^2+YY^2-3)^2+(2*XX+3*YY-1)^2

Шаг 4. Установив курсор на ячейке, в которой записана формула, выполнитеь команду меню Сервис/Поиск решения. Предельное число итераций – 1000, относительная погрешность 0,000001.

В окне Поиск  решения в качестве целевой ячейки нужно установить адрес ячейки, содержащей формулу, взведя переключатель Минимальному значению, в поле Изменяя ячейки указать адрес диапазона, содержащего начальные приближения. В ячейках, где хранились начальные приближения будет получена первая пара корней.

Повторив такие же операции для второй пары приближений.

Решением системы являются пары (-1,269; 1,1791) и (1,5764; -0,718). 
 

4.3 Использование системы MathCAD на уроках математики

   Решение систем линейных и  нелинейных уравнений  и неравенств.

   Системы линейных и нелинейных уравнений  и неравенств позволяет решать на MathCAD блок given в сочетании с функцией Find.

Замечание: в блоке given записывается система уравнений и/или неравенств, подлежащих решению.

1. Система уравнений и/или неравенств должна быть записана после или правее слова given.
2. При записи уравнений вместо знака = следует набирать Ctrl+=
3. Перед словом given необходимо указывать начальные приближения для всех переменных.

   Блок  given не пригоден для поиска индексированных переменных. Если необходимо найти комплексный корень, следует задавать комплексное начальное приближение.

4. Признаком окончания системы служит функция Find, если необходимо найти точное решение системы, либо функция Minerr, если система не может быть решена точно, и требуется найти наилучшее приближение, обеспечивающее минимальную погрешность.

   Функции Minerr и Find должны иметь столько же или меньше аргументов, сколько уравнений и неравенств содержит блок given. Если окажется, что блок содержит слишком мало уравнений или неравенств, то его можно дополнить тождествами или повторяющимися выражениями.

   В том  случае, если решение не может быть найдено при заданном выборе начального приближения, появится сообщение в  красной рамке Did not find solution – решение не найдено.

   Пример: зададим начальные приближения и решим систему нелинейных уравнений.

        

           

   Если  необходимо найти решение при  различных начальных приближениях, имеет смысл определить новую  функцию 

       

Замечание: в этом случае не нужно задавать начальные приближения перед началом блока given – Find. Начальные приближения задаются в качестве аргументов функции f(x,y)

    

    

Подобным же образом можно решать системы, зависящие  от параметра.

        

    

  

    Правило решения систем линейных уравнений и неравенств.

   Совершенно  аналогично решаются системы линейных уравнений.

Однако в том  случае, когда система линейных уравнений  невырождена, то есть её определитель отличен от нуля, более изящным (хотя и не самым эффективным с точки зрения вычислительной математики) является матричный способ решения.

Пример: Решим линейную систему одним и другим методом.

    

      

Решим ту же самую  систему матричным методом.

Запишем матрицу  системы и вектор свободных членов.

  

Решим систему, умножая слева столбец свободных  членов b на матрицу, обратную матрице a.

  

В Mathcad для этих же целей можно воспользоваться встроенной функцией lsolve

    Правило символического решения  систем уравнений.

    Во многих случаях решение системы уравнений  может быть найдено не только численно, но и аналитически. Для этого так  же используется блок given и функция Find, но вместо знака равенства после функции следует поставить знак символического преобразования → (Ctrl+.).

      Решение записано в виде матрицы. Каждый столбец соответствует

                     паре (x,y), то есть найдены решения (3,1) и (1,3). 

 

   _{Заключение}

   Использование новых информационных технологий позволяет заменить многие традиционные средства обучения. Во многих случаях такая замена оказывается эффективной, так как позволяет поддерживать у учащихся интерес к изучаемому предмету, позволяет создать информационную обстановку, стимулирующею интерес и пытливость ребенка. В школе компьютер дает возможность учителю оперативно сочетать разнообразные средства, способствующие более глубокому и осознанному усвоению изучаемого материала, экономит время урока, позволяет организовать процесс обучения по индивидуальным программам.

   Для наиболее качественного и эффективного использования ППС на уроках, учителю  целесообразно применять компьютер  в следующих случаях:

• Диагностическое тестирование качества усвоения материала;
• В тренировочном режиме для отработки элементарных умений и навыков;
• В обучающем режиме;
• При работе с отстающими учениками;
• В режиме самообучения;
• В режиме графической иллюстрацией и изучаемого материала;

   На данный момент существует большое количество программного обеспечения, которое может достаточно эффективно применяться учителем в процессе обучения, в частности на уроках математики. Однако, во многих школах, имеющих прекрасные компьютерные классы, ППС на уроках математики используется не так уж часто. Одной из причин того, что учителя не используют компьютер на уроках математики, является недостаток программно-методических комплексов ППС, включающих в себя саму компьютерную программу, пособие для учителя и поурочные разработки темы.

   В данной работе рассмотрены наиболее распространенные ППС. Именно эти программные средства доведены до весьма высокого уровня. В них решена одна из важнейших проблем, достигнуто сочетание высоких математических возможностей программ с естественным и удобным пользовательским интерфейсом, который доступен для различных возрастных групп учащихся. 
 
 
 

_{Список  литературы}

1. Азевич А. И. Несколько компьютерных программ. // Математика в школе, 2002, № 10.
2. Б. Я. Советов. Информационные технологии в образование и общество XXI века. // Информатика и информационные технологии в образовании, 2004, № 5.
3. Д. А Гурской. Вычисления в MathCAD / Д. А. Гурской. – Мн. Новое знание, 2003. – 814 с.
4. Лещинер В., Матвейкина Н., "Использование интегрированных пакетов". ИНФО, 1992, № 6.
5. Лобанова О. В. Система Drive на уроках математики. // Математика в школе, 2001, № 6.
6. М. И. Желдаков Внедрения информационных технологий в учебный процесс.  – Мн. Новое знание, 2003. -  152 с.
7. Моисеев В.Б. Организация ученого процесса при использовании дистанционного обучения. // Информатика и образование, 2002, № 12.
8. Н. В. Агапова - Перспективы развития новых технологий обучения. – М.: ТК Велби, 2005 – 247 с.
9. Никифорова М. А. Преподавание математики и новые информационные технологии. // Математика в школе, 2005, № 6.
10. Никифорова М. А. Преподавание математики и новые информационные технологии. // Математика в школе, 2005, № 7.
11. Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. -  М: Омега-Л, 2004. - 215 с. 
12. Роберт И.В. О понятийном аппарате информатизации образования. // Информатика и образование, 2002, № 12.
13. Самарский А.А. Содержание курса «математика и информатика». // Информатика и информационные технологии в образовании, 2005, № 8.
14. Старовикова И.В. Компьютеризация школы и математическое образование. - М.: Изд-во "Прометей" МПГУ, 1996. 276 с.