Проблема обучения математике в профильном классе на примере темы "Логарифмические уравнения"

    Таким образом, предлагается модель ЕГЭ – профильный ориентированный на проверку достижений тех целей, которые поставлены при обучении математике в профильных классах.   [7] 
 
 
 

 Глава 2. Изучение темы «Логарифмические уравнения» в классах  разного профиля 

 § 1. Сравнительный  анализ стандартов среднего (полного) общего образования  по математике базового и профильного  уровней

       Сравнивая стандарты базового и профильного  уровней, следует отметить, что различия содержания, обязательного минимума основных образовательных программ, обязательных умений учащихся обусловлены различием целей базового и профильного уровня обучения математике.

       Цели  изучения математики на базовом уровне предполагают формирование представлений о математике как универсальном языке науки и лишь об общих идеях и методах математики; развитие логического мышления и пространственного воображения лишь на уровне необходимом для будущей профессиональной деятельности и дальнейшего обучения, не ставится цель развития математического мышления, творческих способностей и самостоятельной деятельности в области математики; овладение математическими знаниями, не требующее углубленной математической подготовки; понимание математики, как части общечеловеческой культуры.

       Изучение  математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

1. Формирование представлений об идеях и методиках математики, о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;
2. Овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;
3. Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности;
4. Воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

       Обязательный  минимум содержания основных образовательных  программ профессионального уровня при изучении логарифмических уравнений:

    - Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

    - Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

    - Решение логарифмических уравнений и неравенств.   [15], [19] 

       В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен уметь:

    • решать рациональные, показательные  и логарифмические уравнения  и неравенства, иррациональные и  тригонометрические уравнения, их системы;

    • доказывать несложные неравенства;

    • решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

    • изображать на координатной плоскости  множества решений уравнений  и неравенств с двумя переменными и их систем;

    • находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

    • решать уравнения, неравенства и  системы с применением графических  представлений, свойств функций, производной.

    Использовать  приобретенные знания и умения в  практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

       Требования  к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.

       В целом, содержание материала темы «Логарифмические уравнения» на базовом и профильном уровнях остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.  

 § 2.  Примерное распределение  времени на изучение темы «Логарифмические уравнения»

       В данном параграфе приведены примеры  распределения времени на изучение логарифмических уравнений для профилей, в которых математика не является профилирующим предметом (варианты I и II), и для профилей, в которых математика является профилирующим предметом (варианты III и IV). В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов учитель вносит коррективы в учебное планирование. 

       С. М. Никольский (10 класс)

 I - 2,5 часа в неделю, всего 85 часов.

 II - 3 часа в неделю, всего 102 часов.

 III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

 

 А. Н. Колмогоров (11 класс)

 I – 2 часа в неделю в первом полугодии, всего 86 часов,

      3 часа в неделю во втором  полугодии.

 II - 3 часа в неделю, всего 102 часа.

 III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

 

 А. Г. Мордкович (11 класс)

 3 часа в неделю, всего 102 часа.

 
 

 Н. Я. Виленкин (11 класс)

 5 часов в неделю, всего 170 часов.

 

    [10], [17], [20] 

    § 3. Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме

    Логико-дидактический  анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

    Логический  анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение «ядерного» материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

    Проведём  логико-математический анализ темы «Логарифмические уравнения» в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

• какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;
• какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;
• какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;
• какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

    В рассматриваемых учебниках исследуемой  теме отводится разное место. Так, в учебнике А. Н. Колмогорова [5] тема «Логарифмические уравнения» изучается в десятом параграфе пункт 39 главы «Показательная и логарифмическая функции». В учебнике С. М. Никольского [4] она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы «Корни, степени, логарифмы». В учебнике Н. Я. Виленкина [1] во втором параграфе пункты 3-4 главы «Показательная, логарифмическая и степенная функции». А в учебнике А. Г. Мордковича [2] данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы «Показательная и логарифмическая функции».

      Проанализируем пункты этих учебников  в отдельности.

    В учебнике А. Н. Колмогорова тема «Логарифмические уравнения» объединена с логарифмическими неравенствами в пункте «Решение логарифмических уравнений и  неравенств». Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств. 

    В учебнике С. М. Никольского тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

    «Пусть  a – данное положительное, не равное 1 число, b – данное действительное число. Тогда уравнение

    

    называют  простейшим логарифмическим уравнением ».

      далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений. 

    В учебнике Н. Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

1. «Простейшие логарифмические уравнения и неравенства», где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

    «Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:

    Если , то корень уравнения равен ».

2. «Решение логарифмических уравнений и неравенств», где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

  состоящей из уравнения и  двух неравенств.

  Даётся  краткий алгоритм для решения  логарифмических уравнений:

  Для решения уравнения  при , нужно:

1) решить уравнение  f(x)=g(x);