Проблема обучения математике в профильном классе на примере темы "Логарифмические уравнения"

    2) из найденных корней  отобрать те, которые  удовлетворяют неравенству  f(x)>0 (или, то же самое, неравенству g(x)>0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

    Далее рассматриваются примеры решения  логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

    В учебнике А. Г. Мордковича тема «Логарифмические уравнения» выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

    «Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

     ,

    где a – положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому».

      Сформулирована теорема:

    Если  и , то логарифмическое уравнение (где , ) равносильно уравнению .

    Выделяются  три основных метода решения логарифмических  уравнений:

    1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

    2) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

    3) Метод введения новой переменной.

    Все  методы решения логарифмических  уравнений рассмотрены в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах. 

    Задачный  материал включает: простейшие логарифмические  уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий. 

    Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т. е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник       Н. Я. Виленкина, для общеобразовательных классов учебники С. М. Никольского и А. Г. Мордковича, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А. Н. Колмогорова.

    Специально  разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А. Г. Мордковича и Н. Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля. 
 
 

    §4. Модульная карта  изучения темы «Логарифмические уравнения»

 
 

    §5. Методические рекомендации к изучению темы «Логарифмические уравнения»

1. Физико-математический профиль

    Цели: раскрыть понятие «логарифмическое уравнение»; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений. 

    Урок 1 «Решение логарифмических уравнений».

    Тему  лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:

    Простейшим  логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное  под знаком логарифма) является , где , .

    Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция возрастает (или убывает) на промежутке , число - любое из значений, принимаемых на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке . Отсюда следует, что для любого данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что является таким решением.

    То  есть если , , то корень уравнения равен .

    Основной способ решения логарифмических уравнений – это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.

    При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.

     Теорема: Уравнение , где , , равносильно системе:

     

     состоящей из уравнения и  двух неравенств.

     (В  этой системе можно опустить  одно из неравенств, так как  каждое из них вытекает из  уравнения и другого неравенства).

     Таким образом для решения уравнения при , нужно:

     1) решить уравнение  f(x)=g(x);

     2) из найденных корней  отобрать те, которые  удовлетворяют неравенству  f(x)>0 (или, то же самое, неравенству g(x)>0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

     Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

     Выделяют  следующие основные методы решения логарифмических уравнений:

1. На основании определения логарифма.

    Так решаются уравнения вида .

    Приведём  пример такого уравнения и решим  его.

    Пример: Решить уравнение .

    Решение:

    ОДЗ: .

    По  определению логарифма имеем: (по формуле ).

    Отсюда:

    

    Проверка: - верно.

                - верно.

    Ответ:  

    

2. Метод потенцирования.

    Суть  метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при , ) равносильно системе

    

    Пример: Решить уравнение .

    Решение:

    ОДЗ:

    Перенесём из правой части в левую: , а из левой в правую: , получим:

    

         Применим свойства логарифмов:

         

         

         

         

          ; .

    Проверка:

         1) ,    - корень.

         2) - не существует.

    Ответ: . 

          

3. Метод подстановки.

    Обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований

    Пример: Решить уравнение .

    Решение:

    ОДЗ:

    Используя формулы, запишем уравнение так:

, то есть  .

    Заменяем  . Тогда , то есть .

    Отсюда ,  .

    Поэтому и .

    Отсюда и

    Сделав  проверку можно убедиться, что оба  корня – корни данного уравнения.

    Ответ: , . 

    

4. Метод приведения к одному основанию.

    Обычно  условие примера подсказывает, к  какому основанию следует перейти. Используются формулы:

    

    

     .

    Как правило, метод приведения к одному основанию «работает» с методом подстановки.

    Пример: Решить уравнение .

    Решение:

    ОДЗ:

     , перейдём к основанию 2:

          , то есть 

          .

    Обозначим . Тогда , то есть

    

,

    

.

    Значит,     .

    Ответ: . 

    

5. Метод логарифмирования.