Использование средств информационных технологий при оценке использования иностранных инвестиций

 

    Как видно из этой таблицы, инвестиционные вложения выполняются по кварталам, при этом первый проект длится всего 4 квартала, второй - 5 кварталов, а остальные - 6 кварталов. Пока мы не будем рассматривать возможность инвестирования в 5- и 6-м кварталах за счет прибыли от первого и второго проектов. Такую возможность рассмотрим ниже в подразделе «Компания "Энивеа" решила занять денег».

    Сейчас  запишем модель для данной задачи.

    Вводим  переменные х₁, х₂, х₃, х₄, х₅, которые определяют степень участия компании в инвестиционных проектах П₁, П₂, П₃, П₄, П₅ соответственно — эти переменные могут изменяться от 0 (неучастие в проекте) до 1 (полное участие в проекте). Таким образом, мы пока не разделяем переменные на переменные первого или второго типов, как эти типы определены в предыдущем разделе — это разделение мы сделаем на уровне табличных моделей.

    Предполагая, что суммарный доход рассчитывается после окончания всех проектов, записываем целевую функцию, которую следует максимизировать.

z = 234х₁ + 407х₂ + 475х₃ + 256х₄ + 578х₅.

    Далее записываем ограничения на инвестиционные ресурсы для каждого квартала. 

    

    Здесь для единообразия в ограничения  для пятого и шестого кварталов добавлены слагаемые 0х₁ и 0х₂, которые показывают, что инвестировать в проекты П1 и П2 в эти кварталы не надо.

    Кроме этих ограничений, также необходимы ограничения для отдельных переменных: условия двоичности для переменных первого типа и условия неотрицательности и ограничения х₁ ≤ 1, х₂ ≤ 1, х₃ ≤ 1, х₄ ≤ 1, х₅ ≤ 1 для переменных второго типа.

    Исходя  из этой математической модели, создаем  на рабочем листе Ехсеl ее табличное подобие. То, что получилось у меня, показано на рис. 1. Как видите, я пошел по пути наименьшего сопротивления и создал табличную модель на основе приведенной выше таблицы с данными для нашей задачи. Эта таблица обусловила вертикальное расположение диапазона со значениями переменных J5:J9. Такое расположение переменных облегчило создание формулы для вычисления целевой функции (показана на рис. 1 в строке формул) и аналогичных формул, вычисляющих левые части ограничений. Например, в ячейке В14 записана формула =СУММПРОИЗВ(В5:В9;$J5:$J$9), которая затем скопирована в диапазон С14:G14.

    На  рис. 1 видно, что если выбрать все инвестиционные проекты, то выделенных ресурсов для них не хватит. Поэтому будем отбирать только наиболее выгодные проекты. Сначала рассмотрим вариант выбора, когда компания может или отклонить проект или участвовать в нем полностью. В этом случае переменные решения будут двоичными, т.е. смогут принимать только два значения: значение 1, если соответствующий проект принимается, и значение 0, если этот проект отклоняется.

    Находим решение задачи с двоичными переменными. Запускаем средство Поиск решения и в одноименном диалоговом окне делаем установки, показанные на рис. 2. Обращаем внимание на ограничение J5:J9 = двоичное, которое и делает переменные двоичными. В диалоговом окне Параметры поиска решения надо установить флажки Линейная модель и Автоматическое масштабирование, флажок Неотрицательные значения устанавливать не надо. 

Рис. 1. Табличная модель для задачи выбора инвестиционных проектов

Рис. 2. Диалоговое окно Поиск решения для задачи с двоичными переменными 

    Найденное решение показано на рис. 3. Как видите, это решение не предполагает инвестирование четвертого проекта (переменная х₄ равна 0). Вместе с тем отметим, что выделенные на инвестирование средства использованы не более чем на три четверти. Тут есть над чем задуматься: надо или искать другие инвестиционные проекты или перераспределить квартальные суммы инвестирования (если это возможно). Но пусть об этом болит голова у лиц, принимающих решения. 

Рис. 3. Решение задачи с двоичными переменными

    Мы  сейчас посмотрим  решение без условия  двоичности, т.е. в  ситуации, когда инвестор может частично участвовать в проектах. Табличная модель остается без изменений. В диалоговом окне Поиск решения удаляется ограничение двоичности, вместо которого вводится ограничение J5:J9 <= 1. Теперь это диалоговое окно должно выглядеть так, как показано на рис. 4. Кроме того, в диалоговом окне Параметры поиска решения надо установить флажок Неотрицательные значения. В диалоговом окне Поиск решения щелкаем на кнопке Выполнить и получаем решение, показанное на рис. 5. 

Рис. 4 Диалоговое окно Поиск решения для задачи с непрерывными переменными 

Рис. 5. Решение задачи с непрерывными переменными

    В соответствии с новым решением во втором, третьем и пятом проектах надо участвовать полностью, в первом проекте — на уровне 93%, а в четвертом — на уровне 70%. При этом запланированные инвестиционные ресурсы будут истрачены почти полностью, доход по сравнению с предыдущим решением увеличится на 1857,65 - 1694,00 = - 163,65 тыс. руб. 
 

Инвестирование  за счет прибыли

    Рассмотрим  ту же задачу выбора проектов при условии, что имеется возможность инвестирования в 5- и 6-м кварталах за счет прибыли от первого и второго проектов, если, конечно, эти проекты реализованы. Обозначим «через у₁ и у₂ доли доходов от первого и второго проектов, инвестируемых в пятом и шестом кварталах. Это непрерывные переменные, которые могут принимать значения из интервала от 0 до 1. Если в пятом квартале инвестировано у₁ от доходов первого проектов, то в шестом квартале можно инвестировать (1 - у₁) долю от этих же доходов. Реально в пятом квартале дополнительно инвестируемая сумма равна 234х₁у_] тыс. руб., а в шестом квартале - 234 х₁(1 - у₁) + 407х₂у₂ тыс. руб.

    В ранее созданную математическую модель надо внести некоторые изменения. Во-первых, вводятся две новые переменные у₁ и у₂ так, как они определены выше, при этом целевая функция остается неизменной. Во-вторых, не затрагивая ограничения для 1-4 кварталов, надо внести изменения в ограничения для 5 и 6 кварталов. В пятом квартале сумма возможных инвестиций увеличивается на величину 234х₁у₁. Поэтому теперь ограничение для пятого квартала запишется так:

 

или, если оставить в правой части неравенства только число, в таком виде:

 

    Аналогично  в шестом квартале сумма возможных  инвестиций увеличивается на значение 234х₁(1 - у₁) + 407х₂у₂. Поэтому имеем следующее ограничение для этого квартала 

или

 

    Это все изменения, которые необходимо внести в математическую модель. Обращаем внимание на то, что теперь математическая модель стала нелинейной, поскольку в ограничениях появились произведения переменных х₁у₁ и х₂у₂.

    Табличная модель для новой задачи показана на рис. 6. Здесь в ячейках L5:L6 содержатся значения новых переменных у₁ и у₂ В ячейке F14, где вычисляется левая часть неравенства для пятого квартала, теперь записана формула

=СУММПРОИЗВ(F5:F9;$J$5:$J$9)-Н5*J5*L5. 

    Формула, по которой в ячейке G14 вычисляется левая часть неравенства для шестого квартала, показана на рис. 6 в строке формул.

    Решим сначала новую задачу при условии  двоичности переменных х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ . Диалоговое окно Поиск решения для данного случая показано на рис. 7. Как видите, в поле Изменяя ячейки добавлен диапазон ячеек L5:L6, в список ограничений добавлены ограничения L5:L6<=1 и L5:L6>=0. (Второе ограничение добавлено потому, что в диалоговом окне Параметры поиска решения для задачи с двоичными переменными у нас не был установлен флажок Неотрицательные значения.) Удалив в диалоговом окне Параметры поиска решения флажок Линейная модель, запускаем в работу средство Поиск решения и получаем решение, показанное на рис. 6, которое полностью совпадает с ранним решением (см. рис. 3). Таким образом, инвестирование за счет прибыли от первого и второго проектов в данном случае не эффективно, поскольку не увеличивает суммарную прибыль. Что ж, отрицательный результат — это тоже результат. 

Рис. 6. Табличная модель для новой задачи 

    Отметим, что если выполнить поиск решения  при единичных начальных значениях переменных у₁ и у ₂, то получим то же решение (по переменным х_i.) при сохранении единичных значений переменных у₁ и у₂. Другими словами, имеем ситуацию множественных решений, но только по переменным у₁ и у₂. Сейчас такая ситуация для нас интереса не представляет, поскольку во всех альтернативных решениях «главные» переменные x_i своих значений не изменяют.

     Теперь посмотрим, повлияет ли на выбор  проектов инвестирование за счет прибыли при возможности частичного инвестирования проектов. Если внимательно присмотреться к решению на рис. 5, то нетрудно заметить, что ограничения для инвестиционных ресурсов для пятого и шестого кварталов не являются лимитирующими. Поэтому дополнительное увеличение этих ресурсов решения не изменит. Однако убедимся в этом воочию. Для решения этой задачи используем предыдущую табличную модель (см. рис. 6), диалоговое окно Поиск решения должно выглядеть так, как показано на рис. 8. По сравнению с тем же окном, показанным на рис. 4, сейчас в поле Изменяя ячейки добавлен диапазон ячеек L5:L6 в список ограничений добавлено ограничение L5:L6<=1. Ограничение L5:L6>=0 не задается, поскольку в диалоговом окне Параметры поиска решения установлен флажок Неотрицательные значения, относящийся ко всем переменным. Удалив в диалоговом окне Параметры поиска решения флажок Линейная модель, запускаем в работу средство Поиск решения и получаем решение, показанное на рис. 9, которое полностью совпадает с решением на рис. 5. Что и требовалось доказать. 

Рис. 7. Диалоговое окно Поиск решения для новой задачи с двоичными переменными 

Рис. 8. Диалоговое окно Поиск решения для новой задачи с непрерывными переменными 

Рис. 9. Решение новой задачи с непрерывными переменными

Компания  «Энивеа» решила занять денег

    Поскольку полученные выше решения не приносят желаемого дохода, компания рассматривает возможность получения банковских кредитов для реализации всех предложенных ей инвестиционных проектов. Для таких целей банк согласен предоставить необходимые кредиты под 24% годовых. Компании необходимо определить, выгодно ли ей брать кредиты под такой процент.

    В соответствии с математической моделью, построенной в разделе «Инвестиционные проекты с внешним заимствованием», определяем величину р — процентную ставку за период инвестирования. Поскольку в данном случае период равен кварталу, то р = 24%/4 - 6% = 0,06. Самый долгий проект длится шесть кварталов, поэтому вводим шесть новых переменных у₁, у₂, у₃, у₄, у₅ и у₆ равных суммам кредитов, которые берутся в банке на начало соответствующих кварталов. Таким образом, к пяти ранее определенным переменным х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ добавились еще шесть переменных у₁, у₂, у₃, у₄, у₅ и у₆