Покажемо, що (t+s)ÎZ[ ], (t–s)ÎZ[ ], tsÎZ[ ].

Справді, t±s=(a+b )±(c+d )=(a±c)+(b±d) ÎZ[ ], оскільки (a±с)ÎZ, (b±d)ÎZ. Аналогічно для добутку дістанемо ts=(a+b )±(c+d )=(ac+3bd)+(ad+bc) ÎZ[ ], оскільки для цілих чисел a, b, c, d, 3 маємо ac, 3bd, ad, bcÎZ.

Отже, Z[ ] – підкільце кільця дійсних чисел R, а тому Z[ ] – кільце.

Доведено.

 

 

 

2. Ідеали кільця

 

2.1 Поняття ідеалу

 

В теорії подільності цілих чисел, а також  в загальній теорії подільності  в кільцях, важливу роль відіграє теорема про можливість і однозначність  розкладу елемента (числа) в добуток  простих множників. Виявляється  в деяких кільцях розклад елемента на добуток простих множників  не однозначний.

Наприклад, 60=2·30=6·10, а 2, 6, 30, 10 – прості елементи в Z₂

Один  і той же елемент в різних кільцях  може бути простим і складеним.

Наприклад, 17 в Z[i] – складене 17=(4-i) (4+i).

Щоб з’ясувати, в яких кільцях справджується  загальна теорема про існування  і єдиність розкладу елемента в добуток  простих множників, треба узагальнити  поняття подільності елементів, що робиться за допомогою ідеалу.

Означення Непорожня множина I кільця K називається його ідеалом, якщо вона замкнена відносно віднімання і множення на довільний елемент кільця.

Переконаємося, що ідеал І замкнений відносно операції додавання. Справді із замкнутості  відносно операції віднімання випливає, що 0ÎА (а–а=0), – еÎІ і поряд з кожним bÎI I'(–b) – b=–eb. Тому з кожним елементом a–b містить a – (–b)=a+b. (a+b)ÎI.

Звідси  випливає, що ідеал І кільця К  є його підкільцем. Проте не всяке  підкільце кільця буде його ідеалом.

Розглянемо  деякі приклади:

№1 К–ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним. Позначається І_е.

№2 Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим. Позначається І₀.

І_е та І₀ – тривіальні ідеали. В розумінні відношення включення І_е – найбільший, а І₀ – найменший серед усіх ідеалів кільця.

Означення Ідеал І кільця К називається головним, якщо він складається з усіх елементів ка кільця К, аÎК, кÎК. Говорять, що він породжений елементом а. Позначають (а).

Наприклад, ідеал Z₂ кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або –2.

 

2.1 Операції над ідеалами

 

Теорема Перетин ab ідеалів a, bÎK є ідеалом кільця K.

Доведення.

З того, що a, bÎI₁ÇI₂ випливає, що abÎI₁, abÎI₂. Так як I₁ та I₂ –ідеали, то (a–b)ÎI₁, (a–b)ÎI₂ Þ (a–b)ÎI₁ÇI₂. aÎI₁ÇI₂ Þ aÎI₁, aÎI₂.

kÎK Þ kaÎI₁, kaÎI₂, kaÎI₁ÇI₂.

Отже, I₁ÇI₂ÎK.

Доведено.

Слід  зауважити, що об’єднання ідеалів не завжди буде ідеалом кільця. Ця властивість  поширюється на перетин n ідеалів.

Операції  додавання й множення підмножин  кільця можна, звичайно, застосувати  до ідеалів.

Означення Сумою ідеалів I₁, I₂ кільця K називається множина I₁+I₂, яка визначається рівністю

I₁+I₂ ={a+bï aÎI₁, bÎI₂}.

Означення Добуток ідеалів I₁I₂ кільця К теж буде ідеалом кільця К.

Нехай а і b – довільні ідеали кільця К.

Теорема 2. Сума а + b ідеалів a і b кільця К є ідеал цього кільця.

Доведення.

Справді, сума (а₁ +b₁) + (a₂+ b₂) будь-яких двох елементів a₁+b₁ і a₂+b₂ множини a+b належить до a+b, оскільки (a₁+a₂)Îa, (b₁+b₂)Î b, і елемент – (а+b) = (–а) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b)Î(a+b), також належить до a+b, бо (–a)Îa, (–b)Îb.

Отже, а + b є підгрупа адитивної групи кільця K. Крім того, для будь-яких елементів a+bÎa+b і хÎK x (a+b)=xa+xbÎa+b і (a+b) x=ax+bxÎa+b.

Цим теорему  доведено.

Теорема 3. Добуток ab ідеалів а і b кільця К. також є ідеал кільця К.

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу Îab, належить до ab. Крім того, для будь-яких

Îab і xÎK Î ab й Î ab.

Цим теорему  доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів – асоціативна і комутативна, а операція множення – асоціативна. Якщо кільце К – комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.

 

Задачі

№1

Нехай K₁ – підкільце кільця K. Довести, що K₁ÇI –ідеал кільця K₁.

Доведення.

Введемо позначення D=K₁ÇI. Покажемо спочатку, що ідеал I, як і будь–який ідеал, містить нуль–елемент кільця K. Справді, оскільки I≠Ø, то в I існує хоч один елемент а. Тоді згідно з першим пунктом означення ідеалу, елемент а–а, тобто 0, теж належить ідеалу I. Оскільки 0ÎK₁, 0ÎI, то 0ÎD і тому D≠Ø.

Якщо a, bÎD, то a, bÎK₁ і a, bÎI. Згідно з означенням ідеалу і критерієм підкільця, a±bÎI, a±bÎK₁, а тому a±bÎD.

Нехай aÎD, bÎK₁. Покажемо, що ab і ba належать D. Справді, оскільки DÍK₁, то a, bÎK₁ і за критерієм підкільця K₁ маємо, що

ab, ba ÎK₁. (1)

Оскільки DÍI, а I – ідеал кільця K, то для будь–якого елемента aÎDÍI і будь–якого елемента bÎK₁ÎK маємо, що

ab, baÎI. (2)

З включень (1) і (2) випливає, що

ab, baÎK₁ÇI=D.