Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Февраля 2012 в 17:09, курсовая работа
Завдання алгебри є вивчення алгебраїчних структур. Безперечно, алгебра вивчає далеко не всі алгебраїчні структури. Можна побудувати чимало прикладів алгебраїчних структур, але в переважній більшості вони не матимуть ніяких застосувань ні в теорії, ні в практиці, а «теорія» таких структур складатиметься з означень і тривіальних наслідків з них. Такі структури, очевидно, не можуть бути об'єктом вивчення.
члени , , тощо вважаємо однаковими, рівними між собою. Відповідно до цього, R[х2, х1,…, xn], R[х3, х2,…, x1], R[х1, х2,…, xn] і т. п. є різними формами запису того самого кільця многочленів від змінних х1, х2,…, xn над областю цілісності R.
Задачі
№1
Виразити через σі такий многочлен
f (x, y)=x3y+y3x+2x2+2y2.
Розв’язання.
Основні симетричні многочлени σ1, σ2 мають вигляд:
σ1=x+y,
σ2=xy.
Виразимо даний многочлен через σ1, σ2
f (x, y)=xy(x2+y2)+2 (x2+y2)=(x2+y2) (xy+2)=
=((x+y)2–2xy) (xy+2)=(σ1–2σ2) (σ2+2)=
=σ12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.
Відповідь: f (x, y)=σ12σ2+2σ12–2σ22–4σ2.
№2
Довести, що для Sn=xn+yn, nÎN, при n>2 виконується рекурентне співвідношення
Sk=σ1Sk–1–σ2Sk–2.
Доведення.
Доведемо методом математичної індукції.
Перевіримо базу індукції при n=3
S3=σ1S2–σ2S1=(x+y) (x2+y2) – xy (x+y)=x3+y3.
Припустимо, що твердження вірне для n=k.
Доведемо, що дане твердження справджується і при n=k+1
Sk+1=σ1Sk–σ2Sk–1=(x+y) (xk+yk) – xy(xk–1+yk–1)=
=xk+1+xyk+xky+yk+1–xky–xyk=xk+
Отже, виходячи з математичної індукції твердження доведено.
Доведено.
3.3.2 Факторіальність кільця поліномів від n змінних
Теорема. Нехай К – факторіальне кільце. Тоді кільце поліномів К[х1,….хn] від х1,…., хn над К також являється факторіальним.
Доведення.
Теорема доводиться індукцією по n. Для n=1 твердження правильне. Припустимо, що кільце поліномів К[х1,….хn–1] від х1,….хn–1, над К факторіальне. Доведемо, що факторіальним тоді буде і кільце К[х1,…, хn].
К[х1,…, хn]=К[х1]… [.хn]=(К[х1,….хn–1]) [xn].
За індуктивним припущенням, кільце К[х1,…, хn–1] факторіальне. Тоді факторіальним є також його розширення (К[х1,….хn–1]) [xn] за допомогою елемента xn, трансцендентного над кільцем К[х1,….хn–1]. Таким чином, кільце поліномів К[х1,….хn] факторіальне для довільного натурального n.
Доведено.
Наслідок Кільце поліномів F[х1,….хn] над полем F факторіальне.
Задачі
№1
Розкласти на множники найменшого степеня з дійсними коефіцієнтами такий многочлен
f (x,
y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+
Розв’язання.
f (x,
y)=10x4–27x3y-110x2y2–27xy3+
=10
[(σ12–2σ2)2–2σ22]–27σ2(σ12–2σ2
Розкладемо цей вираз на множники. Для цього знайдемо його корені.
σ2′=–2σ12,
σ2′′= σ12.
Тоді наш многочлен
f=–36 (σ2– σ12) (σ2+2σ12)=(–36σ2+5σ12) (σ2+2σ12).
f (x, y)=(–36xy+5 (x+y)2) (xy+2 (x+y)2=
=(–36xy+5x2+10xy+5y2) (2x2+3xy+2y2)=
=(5x2–26xy+5y2) (2x2+3xy+2y2).
Розглянемо кожний з цих множників, як квадратний тричлен відносно x
5x2–26xy+5y2 x′=5y, x′′= .
2x2+3xy+2y2 x′= y, x′′=–2y.
Тоді маємо
f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).
Відповідь: f (x, y)=(x+2y) (2x+y) (x-5y) (5x–y).
Використана література