Факторіальні кільця та їх застосування

Задачі

№1

Довести, що (-8+3 )M (1+2 ) в кільці z [ ].

Доведення.

Поділимо  ці гаусові числа, домноживши чисельник  і знаменник частки на число спряжене із знаменником

.

Так як 2– ÎZ[ ], то (-8+3 )M (1+2 ).

Доведено.

 

№2

Довести, що в області цілісності К елементи 25–17 і 7- асоційовані, якщо К=z[ ].

Доведення.

Асоційованість  доводиться тим, що одне число ділиться на друге і навпаки.

 Оскільки 3–2 Î Z[ ], то (25–17 )M(7- ).

Бачимо, що і (7- )M(25–17 ).

Отже, дані елементи асоційовані.

Доведено.

 

№3

Довести, що характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведення.

Нехай K – область цілісності, а е  – одиниця кільця К. Якщо me≠0 для жодного натурального числа m₁, то характеристика кільця K дорівнює нулю.

Нехай тепер me=0 і m найменше натуральне число, що має цю властивість, тобто m –  характеристика кільця K. Тоді m≠1, оскільки е≠0. Якщо m просте число, то твердження задачі доведено.

Нехай m складене число. Тоді існують натуральні числа s і t такі, що 1<s, t<m і m=st. Внаслідок  комутативності кільця K маємо

0=me=(st) e=(se) (te).

Крім  того, оскільки m – характеристика кільця K і s<m, t<m, то se≠0, te≠0 і тому (se) (te)=me≠0, бо K, як область цілісності, є кільцем  без дільників нуля. Отже, ми прийшли  до суперечності.

Тому  характеристикою області цілісності є або нуль, або просте число.

Доведено.

 

3.1.2 Кільце головних ідеалів

Перейдемо тепер  до вивчення кілець головних ідеалів.

Означення. Кільцем головних ідеалів називається область цілісності з одиницею, в якій кожен ідеал є головний.

Найпростішим  прикладом кілець головних ідеалів  є кільце цілих чисел Z: кільце Z, як відомо, є область цілісності з 1 і, за теоремою, кожен його ідеал головний.

Кожне поле Р є кільце головних ідеалів. Справді, поле Р є областю цілісності з  одиницею; якщо U є ненульовий ідеал  поля Р, то разом з будь-яким своїм  елементом а ≠ 0 він містить  і елемент аa^-1 = 1 і, отже, U = (1). Кільцем головних ідеалів є також кільце многочленів від змінної х з коефіцієнтами з поля Р.

Звичайно, не кожна область цілісності з одиницею є кільцем головних ідеалів. Нижче  ми наведемо приклади таких областей цілісності. А тепер займемося  вивченням властивостей кілець головних ідеалів. Всюди далі вважатимемо, що R – кільце головних ідеалів.

Теорема 1. Будь-які два елементи а і b кільця головних ідеалів R мають найбільший спільний дільник d, причому d= rа + sb, де r і s – деякі елементи кільця R.

Доведення.

Якщо один з елементів а і b дорівнює нулю, то справедливість теореми очевидна. Нехай а і b – будь-які відмінні від нуля елементи кільця R. Вони породжують ідеал (а, b), який складається з усіх елементів вигляду ха + уb, де х і у – будь-які елементи кільця R. Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал (а, b) є головний, тобто породжується деяким елементом dÎR: (а, b) = (d).

Тому

d = rа + sb (r, sÎR), (2)

а = gd, b = hd (g, hÎR). (3)

З рівностей (3) випливає, що d є спільний дільник  елементів а і b;

з рівності ж (2) випливає, що d ділиться на будь-який спільний дільник елементів а  і b. Отже, а = (а, b).

Доведено.

Спираючись  на теорему 1, доведемо твердження, яке  є критерієм взаємної простоти двох елементів кільця головних ідеалів.

Теорема 2. Елементи а і b кільця головних ідеалів R взаємно прості тоді і тільки тоді, коли в кільці R є такі елементи r і s, що rа +sb = 1.

Доведення.

Необхідність  умови очевидна: якщо а і b – взаємно  прості, тобто (а, b) = 1, то, за теоремою 1, в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1. Доведемо достатність умови. Припустимо, що в кільці R існують такі елементи r і s, що rа + sb = 1.

З цієї рівності випливає, що спільними дільниками елементів а і b можуть бути лише дільники одиниці і, отже, елементи а і b взаємно прості.

Доведено.

Теорема 3. Якщо елемент аÎR взаємно простий з кожним із елементів bÎR і сÎК, то він взаємно простий і з добутком цих елементів.

Доведення.

Оскільки  а і b – взаємно прості, то, за теоремою 2, існують такі r, sÎR, що

rа + sb = 1.

Помноживши  цю рівність на с, дістаємо: а (rc) + (bс) s = с. З цієї рівності випливає, що кожен  спільний дільник елементів а  і bс буде дільником і елемента с. Але за умовою теореми спільними  дільниками елементів а і с  є лише дільники одиниці, тому і спільними  дільниками a і bс будуть лише дільники одиниці й, отже, а і bс взаємно  прості.

 

Теорема 4. Якщо добуток елементів aÎR і bÎR ділиться на елемент с ÎR, але а і с взаємно прості, то b ділиться на с.

Доведення.

Оскільки  а і с – взаємно прості, то в кільці R існують такі r і s, що

rа + sc = 1.

Помноживши  цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки  лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а ÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR, які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аMbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент  = 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів = a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння • = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠ , то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb º b (тоd p),

і, отже, • = . Таким чином, = є розв'язком рівняння = .

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рÎR, то принаймні один із співмножників ділиться на р.