Лекция по мат. анализу

1 Множ-ва. Операции  над множ-ми.

 

Множ-ва - совокупно-ь обьектов любой природы, обл-х опр-м св-вом.Обьекты-элементы. А={a,b}-множ-во сост из 2х Эл-в. если а-эл-т то зап-я: а(принадл)А.Если все Эл-ы множ-ва Х сод-я в множ-ве У т говорят что Х явл подмнож-м У ХсУ.Множ-во не сод-ее ни одного Эл-та наз-я пустым и зап-я(о перечерк).Пустое множ-во явл-я подмн-м любого множ-ва.Можно задать: а)перечисл-м его Эл-в(А={2,3,5,7}) б) описанием св-в Эл-в: пусть Х множ-во Р-опр св-во: {xeX|P(x)}. Сущ-т\найд-я:Переверн-я Е. всякий\любой-перев А

Операции: а)Пресеч-м  множ-в А и В наз-я множ С  сост-ее из Эл-в принадл-х множ-м  А и В.С=А∩В. Б) обьедин-м двух множ-в  наз-я множ-во С сост из Эл-в принадл-х  хотябы одному из А или В.С=АUВ. В)Разность-множ-во сост из Эл-в Множ-ва А не принадл-х В.С=А\В.если А подмнож-во В, то разность В\А наз-я допол-м А до В и обозн А’b. Г) Доп-м множ-ва А наз множ-во сост из Эл-в унивир-го множ-ва не принадл множ А. А’. Св-ва оп-й 1) коммутативность: АUB=BUA,A∩B=B∩A 2) ассоциативность (А∩В)∩С=А∩(В∩С) 3)дистрибутивность(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C) 4)(A\B)UB=A 5)принцип двойственности(AUB)’=A’∩B’.Сегмент:[a,b]={x|a≤x≤b} полуинтервал(a,b]= {x|a<x≤b};[a,b)= {x|a≤x<b} то же с беск-ю.Интервал(a,b)= {x|a<x<b};(a,+∞); (-∞,a);

R=(-∞,∞).все эти множ-ва наз-я промеж-ми,a,b-концами пром-в,[a,b]…конечные пром-ки, остальные беск-е. 

2 Множ-во вещ-х чисел.  Св-ва вещ-х чисел. 

3 Грани числ-х множ-в.  Св-ва точных граней.

Множество Х  ограничено свреху если сущ-т число  С такое что для любого хэХ  вып-я нер-во х<=c  . Множ-во огранич-е сверху или снизу –ограниченное. [a,b)-множ-во огр-е. (а,+∞)-огр-е снизу, (-∞,+∞)-не огр-е.Любое огр-е сверху имеет беск-е множ-во верхних граней. Наименьшая из верхних граней-точная верхняя supX. Наибольшая из нижних infx. Св-во точной верхней: Как бы ни было мало число е>0, сущ хэХ такое что х>supX-e:(Ae>0)(ExэX):x>supX-e; Нижней: (Ae>0)(ExэX):x<infx+e.

Открытые  и замк-е: Окрестностью точки аэR наз-я интервал(альфа,бэта) содерж-й эту точку. Интервал(а-дельта,а+дельта) где дельта>0,наз-я дельта окр-ю точки а. Точка аэR наз-я предельной точк множ МсR, если любая ок-ь точки а содержит точки множ М,отл от а. Точка bэМ не явл-я преде-й для М, назя изолированной. Мно-во замкнутое-если содержит все свои предельные точки. Точка х наз-я внутр-й точкой если сущ-т дельта окрест-ь этой точки также принадл-я множ-ву М. Мно-во-открытое если любая точка этого множ-ва явл внутренней точкой. Огр-е,замк-е множ-во МсR наз-я компактным. 

4 Теорема о сущ-ии  точной верхней  и точной нижней  грани.

Теорема:Любое  не пустое огр-е сверху множ-во имеет точную верх грань. Док-во: Пусть Х не пустое множ-во,огр сверху.Тогда У множ-во чисел,огр-х множ-во Х сверху,не пусто.Из опр-я верх-й грани следует что для любого хэХ и уэУ вып-я нер-во x≤y.В силу св-ва непрерывности вещ-х чисел сущ-т с, что для любых х и у вып нер-ва х≤с≤у.Из первого нер-ва следует что число с огр-т множ-во Х сверху те явл верхней гранью. Из второго след что чило с явл наим из таких чисел,те явл точной верх-й гранью.[] аналогично для нижней. 
 
 
 
 
 
 
 

5 Числовые посл-и. Действия над ними, способы задания. 

Если каждому  числу n принадл N поставлено в соответствии по определеному закону некоторое вещес-е  число Xn, то множ-во вещ-х чисел-последоват-ь.

Посл-ь считается  заданной если указан способ получ  любого ее Эл-нта.

Способы задания: а)формула общего члена-Xn=n-1\n+1^ 0,1\3,1/2,3/5,…,n-1\n+1,…б)рекуррентные соотнош-я:указывают один или неск-ко первых членов, и формулу нахожд n-го члена через предшеств-е.а1=1,то рек соотн-Аn+1=Аn+1при n≥1-задает посл-ь 1,2,3…в) алгоритмически:0,3;0,33;0,333;…;получ-я при переводе в дес-ю дро 1\3 если после зап-й ост-ь1,2,3…десят=х знаков.г)1,2,3,5,7,11… в основу форм данной посл положено св-во(число должно дел-я на 1 и на себя) к-м обл-т все эл-ты. Должен быть задан закон по к-му можно получ-ь любой Эл-т посл-и. Арифм-е операции: произв посл-и{Xn} на число :-m{Xn}={MXn}сумма\разность-{Xn}+-{Yn}={Xn+-Yn}, произв-е:{Xn}{Yn}={Xn*Yn},частным-{Xn}\{Yn}={Xn\Yn},Ynне равно 0.

 

6 Огр-е и не огр-е  посл-и

 Посл-ь назыв-я  огр-й сверху если сущ-т число М такое что любой элемент этой посл-и удовл-т нер-ву Xn<=M

Посл-ь назыв  ОГРАНИЧЕННОЙ если она огр-а и  сверху и снизу.

Не ОГР-А если для любого положит-го числа А  найдется хотябы один Эл-т посл-и Xn,удовл  нер-ву lXnl>A. Если огр-а верху то все ее Эл-ты принадл пром-ку

(-∞;М],  если  снизу то [m;∞),если и сверху и снизу [m;M]. 

7 Беск бол и Беск  мал,св-ва,связь. 

Бесконечно больша если- для любого полож-го А сущ-т  номер N такой что при всех n>N вып-я нер-во lXnl>А.Любая б-б явл-я  неогр-й. Бесконечно малая-если для любого полож-го е сущ-т номер N=N(e) такой что при всех n>N вып-я нер-во lаnl<e Теорема:Если Xn беск-о большая посл-ь и все ее члены отличны от нуля, то посл-ь 1/Xn бесконечно малая и обратно.Док-во:Пусть {х_п} - бесконечно большая последовательность. Возьмём любое е > 0 и положим А=1\ е По опр-ию бес-о большой посл-ти для А сущ номер N такой, что при всех n> N вып-тся нер-во |х_п| > А,отсюда получаем, что

|1\Xn|=1\|Xn|<1\A= е для всех n>N .

А это значит, что последовательность {1\Xn}бесконечно малая.

Теорема: сумма и разн двух б-м есть беск-малая посл.

Док-во: Пусть {альфаn}и {бэтаn}беск малые Покажем

 что посл-ть {альфаn + бэтаn} беск малая. Пусть е-прои положит число, N1-номер, начиная с кот-го вып-ся нер-во |а_п| < е\2, a N2 - номер, начиная с

кот-го выполняется неравенство |бэтаn| < е\2 . Такие номера N1 и N₂

сущт по опр  беск малой посл-ти. Возьмём N=mах{ N1,N₂}тогда при п > N будут одновременно вып оба нер-ва |а_n| < е\2 и |бэтаn| < е\2 Следовательно, при

Vn>N имеем |а_п ± B_n| <\a_n\ + \B_n\ < е\2 + е\2 = е следует, что посл-ть {a_п ±B_n} является бесконечно малой.

 Следствие. Алгеб сумма любого конечного числа беск малых посл-тей есть беск малая посл-ть.

Теорема :Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть {а_п} и {Bn} бесконечно малые последовательности. Покажем,что пос-ть {а_п *Bn} беск малая. Так как после-ть {а_п} бесконечно малая, то для \/e > 0 сущ номер N1, такой, что |a_n|<e для всех п > N1. А так как {Bn} бескмалая пос-ть, то для е=1 сущ номер N₂ такой, что |Bn|<1 при всех п> N Возьмём N = mах{N1,N₂}, тогда при всех п> N  будут  вып-ся оба  нер-ва одновременно.       Следовательно,при всех п> N |an*Bn|=|an|*|Bn|<e*1=e

Это означает, что  последовательность {а_п *Bn} является беск малой. Следствие. Произвлюбого конечного числа беск малых посл-ей есть посл-сть беск малая.  Теорема Произв ограниченной посл-ти на беск малую посл-ть есть посл-ть беск малая. Док-во: Пусть {хn}огр-я посл-ть, а {аn} - беск малая. Покажем, что посл-ть {аn* х_п} – беск малая.

Тк пос-ть {х_п} огр, то сущ число А > 0, такое, что для любого Эл-а х_п вып нер-во |хn| < А. Возьмём e>0. Так как {а_п} беск малая то для положит  числа e\Aсущт номер N , такой что |an|<е/А. Следовательно, при всех п>N имеем |Xn*An|=|Xn|*|An|<A*e\A=e.это значит что {An*Xn}явл беск малой.Следствие: произв беск малой на число есть беск малая посл. Замечание. Частное двух беск мальх может не быть беск малой и может даже не иметь смысла. 
 

8 Понятие сход-я  посл-и. Предел  посл. 

Число А назыв-я пределом посл-и {Xn} если для любого полож е сущ-т номер N=N(e) такой что при всех n>N вып-я нер-во [X-a]<e. Посл у к-й есть предел назыв-я сход-я. Не явл-я сход-я-расход-я.Замечание1: Пусть посл {Xn} имеет пределом число а, тогда {An}={Xn-a} явл беск малой посл,тк для любого e>0 сущ номер N такой что для всех n>N вып нер-во |An|=|Xn-a|<e/ след-о любой член посл имеющий пределом число а можно предст-ь в виде Xn=A+An где An-эл-т беск малой посл.Зам-е2:Нер-во |Xn-a|<e равносильно нер-вам-e<Xn-a<e или a-e<Xn<a+e в это случ Xn нах-я в e-окр-и точки а. Число А назыв-я пределом посл-и {Xn} если для любой е-окрестности точки а сущ-т номер N такой что все элементы Хn с номерами n>N наход-я в этой е-окр-и. Всякая беск млая посл явл-я сход-я и имеет предел число а=0. 

9 Основные св-ва  сход-я посл-и.

Если все элементы беск малой {An}равны одному числу с, то с=0.

Док-во: предп-м  противное, что сне равно 0.Положим  e=|c|\2.Тогда по опр-ю беск малой посл сущ-т номер N такой что при всех n>N вып нер–во |An|<e.Тк An=c, e=|c|\2,=> 1<1\2 это док-т что (с неравно 0)не может иметь места=> с=0. Теорема сход-я посл-ь имеет только один предел. Теорема Сходящаяся последовательность имеет только один предел. Док-во:Предп противное, т.е. что числа а и Ь явл пределами сход посл-ти {х_п} и а (не равн)Ь.То в силу спец-го представления Эл-в сход пос-ти в виде (Xn=a+an) получим х_п=а+а_п и х_п=b+/B_п, где а_п и Bn,-Эл-ы беск малых посл-ей {а_п} и {Bn}.Из посл двух рав-в получим an-B_n=b—a.Тк все Эл-ы беск малой посл-ти {а_п -Bn} равны одному и тому же числу b — а,то по лемме Ь—а=0,т.е.Ь = а. Теорема доказана.

Теорема. Сходящая последовательность ограниченна. Док-во Пусть {х_п} - сход посл-сть и lim х_п = а.

И—>оо

Пусть е - произв положит число и N - номер, начиная   с   которого   выполняется  неравенство   | х_п — а\ <e €.   Тогда

1         1         .

|Xn|=|(Xn-a)+a|≤|Xn-a|+|a|<|a|+e для всех n>N. Выберем A=max{|a|+e,|X1|,|X2|<…|XN|}.Очевидно |Xn|≤A для всех n,что озн-т огр-ь посл-и {Xn}

Теорема Сумма (разность) двух сход посл {х_п} и {у_п} есть сход посл, предел к-й равен сумме (разности) пределов посл-ейДок-во.Пусть а и b — пределы пос-тей {х_п} и {у_п} соответ ,х_п =а + а_п, у_п =Ь + /3„,

где    {а_п}, {b_п}-беск малые посл-ти. Следовательно,

(x_n±y_n) = (a + a_n)±(b + B_n),(x_n±y_n)-(a±b) = a_n±B_n.

Посл-ть {а_п ± B_й}-беск малая (по свойству бесконечно малых последовательностей. последовательность {(х_п ± у_п)-(а ± Ь)} также беск малая, а значит посл {(х_п +-yn)} сходится и имеет своим пределом число а ± Ь.

Теорема Произв сход пос-й  {xn } ^и (Уп} ^есть сход-я посл, предел которой равен произв пределов пос-й {х_п} и {у_п} ДОК-ВО: Пусть а и b - соответственно пределы последовательности {хn} и {_Уп}. Тогда по формуле хn=а + а_п, уn =b + Bn где {аn} и {Bn} - беск малые посл-и. Следовательно, хnуn-аb=aB_n + Bа_п + a_nB_n. Последовательность aB_n + Bа_п + a_nB_n. –беск малая. Следовательно, {х_пу_п - ab} также беск малая посл и поэтому {х_пу_п} сходится и имеет своим пределом число а *b

Теорема. Частное двух сход посл-й {х_п} и {уn} при условии, что предел {уn} отличен от нуля, определено, начиная с некоторого номера, и есть сход посл, предел к-й равен частному пределов посл-ей {хn} и {уn}.

Док-во:Пусть  а и b (b=\0) соотв пределы посл-ей {Xn} и {Yn}. Тогда по формуле хn =а + an,, у_п =b + Bn где {а_n} и {B_п} беск малые посл-ти. =>Xn\Yn-a\b=bXn-aYn\bYn=b(a+An)-a(b+Bn)\bYn=1\Yn(An-a\bBn)

посл-ь{An-a\bBn}-бесконечно малая в силу свойств беск малых посл-й. Покажем, что {1\Yn} ограниченная последовательность.Тк lim у_п=b то для e=|b|\2 найдется номер N такой, что для всех п> N вып неравенство

\y_n\ = \b-(b-y_n)\>\b\-\y_n-b\>\b\-|b|\2 =|b|\2 Tе \y_n\>|b|\2. Следовательно|1\Yn| для всех п>N. Выберем А = max {2 /b, \у1 |, \у₂|.. \yn|}. Очевидно, что .|1\Yn|≤ А для  всех n,   что озн огр-ть  посл-тиВ силу свойства: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая, получаем, что последовательность {1\Yn( а_{п a\b Bп)}} беск малая, поэтому посл-ть{Xn\Yn-a\b} также беск малая. Следовательно, последовательность {Xn\Yn}сходится и имеет предел a\b. в силу условия lim y_n =\0 эл-ы у_п, начиная с некоторого номера N, не обращают в нуль . Поэтому частное {Xn\Yn} _определено для всех n >N.