Лекция по мат. анализу

27 Вторая теорема Больцано Коши

Пусть функция  f(х) непрерывна на сегменте [a,b], причем f(a)=А, f(b) = В. Пусть далее С - любое число, заключенное между А и В. Тогда на сегменте [а,Ь] найдется точка Xo такая, что f(Xo)=C

Док-во, Пусть для определенности А<В и А<С<В. (Очевидно, что в доказательстве не нуждается случай А = В. В противном случае C-А=В и можно связать хo=a. Рассмотрим функцию фи(х) = f{x) - С. Эта функция непрерывна на |a_5b] как разность непрерывных функций и принимает на концах сегмента значения разных знаков:

фи(a) = f(a)-C = A-C<O и фи(b) = f(b)-C = B-C>0. Тогда по первой теореме Больцано - Коши существует точка Xo e (а, b) такая, что фи(х₀) = f(xo)-С=0. Следовательно, f (х₀)=С. 

28 Первая теорема Вейерштрасса

(теорема  об ограниченности  непрерывной на  сегменте функции). Если функция f(x) определена и непрерывна на сегменте [a,b] то она ограничена на этом сегменте.

док-во.

Доказательство  проведем методом от противного. Пусть  f(x) не ограничена на [а,b]. Разделим сегмент [а,б] пополам, тогда по крайней мере на одном из полученных сегментов функция не ограничена. Обозначим этот сегмент |a1,b1. Продолжим процесс деления неограниченно получим последовательность

[а_эЬ]з[а1,b1]з [a2,b2]..[an,bn]...Это последовательность вложенных отрезков, на каждом из [an,bn] f(х) ^не ограничена (по

предположению). По построению Ь_п-а_п=(b-а)/2^п-> 0 при п-> оо, Тогда по теореме о вложенных отрезках существует единственная точка с принадлежащая всем этим отрезкам. Функция f(х) определена и непрерывна на [а,б]. Следовательно, она непрерывна в точке с, но тогда по лемме существует окрестность точки с в которой f(х) ограничена. При достаточно большом n в эту окрестность попадает сегмент [an,bn] на котором функция также ограничена. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

Замечание,

Теорема неверна  если сегмент [an,bn] заменить па интервал (a,b). 

29 Вторая теорема  Вейерштрасса

(теорема  о достижении непрерывной на отрезке функции своих точных граней). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [a,b], то она достигает на этом сегменте своих точных граней, т.е. существуют точки х_1, х₂ е [a,b]

такие, что  f(x1) = М = sup f(x), f(х2)=т = inf f(x).

Док-во.

Так как f(x) непрерывна на [а,b], то по первой теореме Вейершт-расса она ограничена на этом отрезке. Следовательно, существует точная верхняя М и точная йижняя m грани функции f{x) на отрезке [a,6J. Покажем, что функция достигает М , т.е. существует такая точка X1 e[a,b], что f(x1) = M. Предположим противное. Пусть f(x) не принимает в одной точке [а,b] Значения равного М .Тогда для всех х е [a,b] выполняется,неравенство f(х)< M. Построим

вспомогательную   функцию   F(x) 1/ (М-f(x)) > О V х е [а, Ь].

Функция F(x) непрерывна как частное двух непрерывных функций. Но тогда по первой теореме Вейерштрасса F(x) огра.-на т.е. найдется число u>0 такое, что

V хе[а,b]  1\M-f(x)<u или f(x)=<M-1\u.  Таким образом

число М-1\uявляется верхней гранью f(x) на отрезке [a,b]. Но это

противоречит  тому, что    М является точной верхней гранью, (т.е. наименьшей верхней гранью) f{x) на отрезке [а,b]. Это противоречие   доказывает,   что   существует   точка   Х1 е [а,b]   в   которой f(x1) = М. Аналогично доказывается, что функция f(х) достигает на [а, b] своей точной нижней грани.

После доказательства того, что непрерывная на сегменте [a,b] функция достигает на этом сегменте своей точной верхней и нижней граней можно точную верхнюю грань назвать максимальным значением, а точную нижнюю грань минимальным значением функции на сегменте [a,b] И теорема может быть .сформулирована в следующем виде: Непрерывная на сегменте функция принимает на этом сегменте свое минимальное и максимальное значение. 

30 Теорема о непрер-и  сложной функц-и

Теорема Пусть функция z = фи(х) непрерывна в точке Xо, а функция у = f(z) непрерывна в точке z₀ = фи{xо). Тогда сложная функция у=f(фи(x)) непрерывна в точке х₀. Док-во, Возьмем из X любую последовательность точек x1,x2,x3... сходящуюся к точке Xo. Тогда в силу непрерывности функции z = фи(х) в точке х₀ имеем lim zn =limфи(x_n)=фи(х)=z₀, то

есть соответствующая  последовательность точек Z1,z2,z3... сходится к точке z₀.

В    силу   непрерывности   функции    f(z)    в   точке    z₀    имеем lim f(z_n) = f(z₀), т.е.   lim f[фи(хn)] = f[фи(х₀)]. Получаем, что предел функции f(фи{x)) в точке х₀ равен значению функции в точке Xо Следовательно, функция непрерывна. Теорема доказана.

9

Покажем непрерывность  функции у = sin х   в точке х = 0. Функц z = хв2   непрерывна в точке х = 0, а функция у = sin z непрерывна в точке z = 0, поэтому по теореме и функция y = sinxв2 непрерывна в точке х = 0.

Функция у=cos(sinxв2 ) непрерывна на всей числовой прямой, так как функция z = sinxв2 непрерывна на всей числовой прямой (пример 1) и функция y = cosz непрерывна на всей числовой прямой.

Определение. Функция f{x) называется неубывающей (невоз-растающей) на множестве X, если для любых x1 х₂ ^е X таких, что X1<х₂ справедливо неравенство f(x1) < f(x₂ ) (f{x1) > f(x2)).

Определение. Функция f(x) называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если для любых X1 x₂ e X таких, что X1<x2 справедливо неравенство f(x1)< f(x₂) (f(x1)> f(x₂)). Неубывающие и не возрастающие функции называются монотонными.Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными 

31 Теорема о непрерывности обратной функции

Теорема Пусть функция у = f(x) определена, строго мо-нотонна и непрерывна на некотором промежутке X и пусть Y- множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функции х = фи(у) однозначна, строго монотонна и непрерывна.

Рассмотрим функцию  у = sin х при . х е [- п\2; п\2], D(y) = [- п 12; п12], E(у)=[- l;l] • Она однозначна, монотонна, непрерывна. Обратная функция у=arcsinx D(y)=[-l;l], Е{у) == [- л/2;n/2], также однозначна, монотонна, непрерывна. 
 
 

32 Производная

Определение, Приращением функции у = f (x) в точке Xo , от-вечающим приращению аргумента Дx, будем называть число Дy=f(x_o+Дx)-f(x_o),. Считая, что Дх=\ О рассмотрим в данной фиксированной точке X0 отношение Дy\Дx=f(x_o+Ax)-f(x_o)\Дx

Определение. Производной функции у = f (х) в данной точке Xo называется предел при Дх->0 разностного отношения (1) (при условии, что этот предел существует).Производную функции у = f(x) в данной фиксированной точке X0 будем обозначать символом f'(х0) или У'(х₀). Итак, по определению f'(x_o)=lim(^{f(x0+Дx)-f(x0))\Дx=}limДy\Дx       (2)

Замечание: Если функция имеет производную для  всех точек промежутка X, то эта производная будет представлять собой некоторую функцию аргумента х, определенную на промежутке X. 
 
 
 
 
 
 

33 Геом-й смысл произв

 Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a,b) и пусть точка А на графике функции соответствует значению аргумента Xo, а точка В значению (Xo+Дx). Проведем через А и В прямую и назовем ее секущей, Обозначим через фи(Дх) угол между секущей и осью ОХ, его зависимость от Дх очевидна.

 
 

Если существует   lim фи(Дх)=фио, то прямую с угловым коэффициентом к=tgфи₀, проходящую через точку А(х_о,f(Xо)) ^называют предельным положением секущей АВ при Дх—> 0 (или при В->А).

Определение. Касательной S к графику функции у=f(х) в точке А будем называть предельное положение секущей АВ при Дх-> 0 (или при В->А). 

34 Понятие диффер-и  функции

Определение. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке XO, если ее приращение Ду в этой точке можно представить в виде

Ду = А*Дх + а(Дх)Дх (6) где А - некоторое число, не зависящее от Дх, а а(Дх)~ функция аргумента Дх, являющаяся бесконечно малой при Дх -> 0, т.е. Дx->0 lim а(Дх) = 0. .,. Связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в той же точке установим в следующей теореме. 

Теорема Для того, чтобы функция у=f(х) была дифференцируема в точке Xo_? необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Док-во.

Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке Xo, т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (6): Ду = А•Дх + а( Дх) Дх. Поделим это равенство на Дх (Дх=\0)   ,

получим  Ду\Дх=А+а(Дх).Переходя к пределу при Дx-> 0, име-

ем: Дx->0limДу\Дx=lim(A+ а(Дх)) = А. Следовательно, производ-

ная в точке  X0 существует и равна, т.е. f '(Xo)= A.

Достаточность. Пусть существует    конечная производная f'(х₀), 

т.е.     lim Ду\Дx =f'(х₀).   Обозначим   f'(X())=A,   тогда   функция

а(Дх) =Дy\Дx-А является бесконечно малой при Ах -> 0. 

Из    последнего    равенства    имеем     Ду=А•Дх+а(Дx), где lim а(Дх)=0. Получено представление (6). Следовательно, функ-

ция у=f (х) дифференцируема в точке X0 . Теорема доказана.

Таким образом, для функции одной перемещюй  дифференци-руемость и существование  производной:.- понятия, равносильные. 

35 Непр-ь и дифф-ь  функций. 

Теорема Если функция у=f(x) дифференцируема в дан-ной точке X0 , то она и непрерывна в этой точке.

Док-во.

Так как функция  у=f(х) дифференцируема в точке Xo, то ее приращение в этой точке можно представить в виде Ду = А*Дх + а(Дх)Дх , Тогда, переходя к пределу при Дх-> 0 получаем

Дx->0 lim Дy=AlimДx+lima(Дx)-limДх=0, что означает непрерывность функции у=f(х) в точке Xo согласно определению непрерывности функции в точке. Теорема доказана Обратное утверждение   неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь производной в этой точке. 

36 Понятие дифференциала.  Геом-й смысл.

Определение. Дифференциалом функции у=f(х) в точке х₀ называется главная, линейная относительно Дх, часть приращения функции в этой точке. Для обозначения дифференциала функции используют символ dy.    dy=A*Дx (7)Заметим, если А= 0, то АДх.не является главной частью приращения Ду. Однако и в этом случае по определению полагаем диф ференциал функции в точке X0 равным А Дх, т.е. dy = 0.Используя теорему 6.1. формулу (7) можно записать в видеdy=f'(Xo)Дx (8)

Дифференциалом  независимой переменной X назовем при ращение этой переменной dx = Дх. Соотношение (8) примет вид dy=f’(X0)dx (9) используя 9 можно вычислить f’(Xo)=dy\dx

Геомутрический  смысл: Пусть точка А на графике функции y=f(x) соотв знач арг-а Xo а точка В знач-ю аргумента Xo+Дx . Проведем касательную AS к графику функции у = f(x) в точке A(X0,f(X())). Обозначим через а угол, образованный касательной AS с осью ОХ. Пусть АС//ОХ, BC//OY и Q -точка пере  сечения касательной AS с ВС. 

Тогда приращение функции у равно величине отрезка  ВС. Из прямоугольного треугольника ACQ имеем:

CQ = Дх* tga=f '(x₀)Дx=dy

Следовательно, дифференциал функции dy равен величине от-резка CQ. Видно, что СВ и CQ различны таким образом,, дифференциал dy функции f(x) в точке X0 равен приращению ординаты касательной AS к графику функции у = f(x) в точке A{Xo,f (х₀)). 

37 Правила дифф-и. 

Теорема 6.3. если функция u=U(х), v=V(x) дифференцируемы в точке X; то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что V(x) =\0) также дифференцируемы в этой точке и имеют место следующие формулы: