Лекция по мат. анализу

откуда получаем

sinx<x<tgx           (0<х<п/2)                            (4)

Разделим эти  неравенства на sin х > 0, получим

1 x\sinx <1\cosx (0<x<п\2)                                        5)

Для обратных величин  справедливы обратные неравенства

cosx< sinx\x<1   (0<х<п:/2)                                       (6)

х

Заметим,    что    из    того,    что    неравенства    (6)    справедливы приО<х<п/2, вытекает_} что эти неравенства справедливы и при- п/ 2 < х < 0, так как при замене х на - х все три функции cos х, (sin x) I х и 1 не меняют своих значений. Таким образом, неравенства (6) справедливы для всех значений хе(-п12,п!2), за исключением точки x=O.

Так как, кроме  того обе функции f(x) = cos х и h(x) = 1 имеют в точке х = 0 предел равный 1, то в силу теоремы 4.3. функция

g(x) = sinx\x также имеет в точке х = 0 предел равный 1. 

18 Второй зам-й предел

Теорема: предел функции f(x)=(1+1\x)вx при x->00 сущ-т и равен числу е, те lim(1+1\x)вx=е

Док-во: Пусть  х > 1. Положим п =[х], тогда х = п + а, где n -натуральное число, а а удовлетворяет условию 0 =< а < 1. Так         как        п=<х<п + 1,         1\{n + l)<1\ х=<1\п         _и

1 + 1 /(п + 1) < 1 +1 / х =< 1+1/ п, то из свойства возрастания показа-, тельной функции с. основанием, большим единицы, вытекает  что  (1+1\n+1)в n<(1+1\x)в x<(1+1/n)в n+1 при x->+00(n->00) lim(1+1\n)в n+1=lim(1+1\n)в n*lim(1+1\n)=e*1=e и lim(1+1\n+1)в n=[lim(1+1\n+1)в n+1]/[lim(1+1\n+1]=e =>> lim(1+1\x) в x=e. пУсть теперь ч<-1 положим x=-yТогда lim(1+1\x) в x=lim(1-1\y) в –y=lim(1+1\y-1) в y=lim(1+1\y-1) в y-1*lim(1+1\y-1)=e*1=e обьединяя оба случая имеем lim(1+1\x) в x=e 

19 Бескончно малые.Действия  над ними. 

Определение* Функция называется бесконечно малой в точке х = а ( или при х → а), если предел этой функции в точке а равен нулю. 

Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой в точке х = а ( или при х→а) если для любого положительного числа ε> 0 существует δ > 0 такое, что для всех х € X, удовлетворяющих   условию    0<|х-а|<δ,   выполняется   неравенство |а(х)|<e.

(Ve> 0X38 = 8(6) >0)(Vx€X,0<|x-a|<S):|a(x)|<6. 

Определение. Функция а(х) называется бесконечно малой в точке х = а ( или при х →а), если для любой сходящейся к а последовательности {х_п} значений аргумента X, отличных от а, соответствующая последовательность значений функции   {a(x_n)} является бесконечно малой. (V{x →а_? х   =£ а): {а(х )} → 0). 

Теорема Для выполнения равенства lim f (х) = b необ-

димо и достаточно, чтобы функция α(х) = f (х) - b была беско-нечно малой при х→а. 

Док-во

Необходимость.   Пусть     limf(x)=b.    Рассмотрим    разность

f(x)-b=a(x) и покажем, что а(х)~ бесконечно малая функция

при    '' х → а.     Действительно,      lim а(х) =" lim (f (х) - Ь) = ...-,.                 ч      х-»а              х-»а

limf(x)-limb=b-b=O.         _;

Достаточность. Пусть f(x)-b = a(x) где a(х)-бесконечно малая функция при х→а. Покажем, что   lim f(х)= Ь. Так как f(x)=b+a(x) то

lim f (х) = lim (а(х) + b) =^: lim b + lim а(х)= b+0=b

x→a         x→a                       

Теорема 4,7. Алгебраическая сумма и произведение конечного чисяа бесконечно малых функций при х --> а  а-также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при X → а.,     _:

Эта теорема  вытекает непосредственно из определения  предела функции по Гейне и свойств бесконечно малых последовательно- 

Замечание. Частное двух бесконечно малых функций не всегда является функцией бесконечно малой, но может быть и беско. 

Определение, Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х = а ( или при X →а), если для любого положительного числа → > О существует положительное число δ = δ(ε) такое, что для всех х €X, удовлетворяющих условию 0 < |х-а| < δ, выпол-1 няется неравенство |А(х)| >ε                                 ■

(Ve > 0)(38 - δ(ε) > 0)(Vx € X, 0 < |х - а| < S) :|А(х)| >δ

Для бесконечно больших в точке а функций используется!

следующая символика  lim А(х) = ∞, и говорят, что функция стре-

х→а

мится к бесконечности при X→а, или что она имеет бесконечный цредел в точке х= а. Если же выполняется неравенство А(х) > e -■ или А('х) < -e то пишут lim А(х) = +∞ или lim А(х) = -∞.

х→а                             х→а 

Определение. Функция А(х) называется бесконечно большой в точке х= а ( или при х -> а), если для любой сходящейся к а последовательности {х_п} значений аргумента X, соответствующая

последовательность  значений функции {А(х_п)}    является бесконечно большой последовательностью 

20 –\\- 

21Сравнение б-и.Б-б 

Пусть а(х) и B(х) две функции, заданные для одних и тех же значений аргумента, и обе являются бесконечно малыми в точке х = а, 1   Говорят, что a(х) является в точке а бесконечно малой более высокого порядка, чем B(х), если limA(x)\B(x)=0     :

               х→аB(х)

2. Говорят, что  а(х)и.B(х) является в точке а бесконечно малыми одного порядка, если

_lima(x)\B(x) = А

где А- конечное число отличное от нуля.

3. Говорят, что  а(х)и B(х) является в точке а эквивалентными бесконечно малыми, если              •

lima(x)\B(x)=1 В этом случае записывают а(х) ~ B(x).

Для обозначения  того, что а(х) является вточке а бесконечно малой более высокого порядка, чем  B(х), используют следующую запись : а = о(B) (читается: " а равно о малому от (бэта).

Аналогично сравниваются две бесконечно большие в данной точке функции. 

22 Опр-е функции  непрерывной в  точке и на отрезке. 
 

Определение Функция у = f(х) называется непрерывной в точке х₀, если  limf(x) = f(x₀) x->Xo                                       (1)

Замечание. Так как  lim х = Xo, то соотношение (1) можно за-

писать в виде:lim f(х)=f( lim x), т.е. для непрерывной функции можно пере-

ставить знак функции  и знак предела.  

Определение 2, Функция f(x) называется непрерывной в точке(Xo), если для любой последовательности значений аргумента х: ^Х1,Х2,Х3..Xn.. сходящиеся к Xo соответствующая последовательность значений функции: f(X1),f(x2)..f(Xn).. сходятся к ^ЧИСЛУ f(хо),т._е: (У{хn}->х_0,хn еХ): {f(хn)}->f(хn). 

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке X₀ если для любогоε > 0 найдется отвечающее ему положительное число   δ   такое   что   для   всех   х,   удовлетворяющих: условию |x-Xo| < δ выполняется неравенство |f (х) - f(x_o)| < ε. ^{(Ve >} 0)(3delta = delta(е) > 0) (Vx € X: |х - х_о| < delta) :|f(x) - f (x_o)| < e. 

Если      lim f(х) = f(х₀), ( lim f(х) = f(х₀)) x→0⁺   то   функция

f(x) называют непрерывной в точке Xo справа (слева). Если функция f (х) непрерывна в точке Xo и слева и справа, то она непрерывна в этой точке. 

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной в точке Хо , если ее приращение в этой точке является бесконечно мАл функцией при Δх→0 т.е. lim Δу = О. Δx→0 

23 Теоремы о сумме  произв и частном  непр функц

Теорема Пусть функции f(х) и g(x) непрерывны в точке

х₀. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)*g(x) и f{x)\g{x) также непрерывны в этой точке (частное при g(xo) =\О).

Док-во.

Так    как    функция     f(x)     непрерывна    в    точке     Xo,    to lim f(x) = f(х₀), аналогично для непрерывной функции g(x):

lim g(x) = g(xo).   Тогда   по   теореме   4.2   пределы   функций f(x)+-g(x),  f (х) • g(x) и f (x) / g(x) существуют и соответственно равны f(Xo)+-g(Xo), f(Xo)*g(Xo), f(Xo)\g(Xo) (g(Xo)=\0) Но ети величины равны соответствующим значениям функций в точке Xo

Следовательно, согласно определению 1 функции f(x) ± g{x\ f(x)*g(^x) ^и f(^х)\g(^х) непрерывны в точке х₀. 

24 точки разрыва 

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной  НаЗЫВаЮТСЯ ТОЧКаМи разрыва функции: 

1. Устранимый  разрыв

 

Точка Xo называется точкой устранимого разрыва функции У = f(x) ^{если п}Р^еД^ел функции /(х) в точке Xq существует, но в точке х₀ функвдя f(х) либо неопределена, либо имеет частное значение f(xo), отличное от предела f(х) в этой точке.

Например, функция

F(x)={sinx\x при x=0 и 0.5 при x=0

имеет    в    точке     х = 0     устранимый    разрыв.    Действительно,

lim(sinх / х) = 1. Частное значение в точке х= 0   0.5 =\ 1.   х»о 

Если функция  имеет в точке Xo устранимый разрыв, то этот разрыв можно устранить, не изменяя при этом значений функции в точках, отличных от Xo . Для этого достаточно положить значение функции в точке х₀ равным ее предельному значению. В примере достаточно

положить f(0) = 1 и тогда функция /(х) станет непрерывной в точке х-0. 

Разрыв 1 рода 

Точка Xo называется точкой разрыва 1 рода функции f(x) _э если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы    x→0⁺ limf(x)=x→0^- limf(x)П ример: для функции у = Sin х   ,-1 при x<0,1 при x>0,0 при х = О точка х = 0 –точка  разрыва 1 рода.  x→0^- lim sin x = -1, x→0⁺lim sin x == 1. 

3. Разрыв 2рода 

Точка Xo называется точкой разрыва 2 рода функции f(х) если в этой точке функция f(x) не имеет по крайне мере один из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Например, функция  у=1\х имеет в точке х = 0 разрыв 2 рода.

х->0- lim(1\x) = -оо lim1\x=+oo        

25 Теорема   об устойчивости  знака непрерывной функции. 

Пусть функция  f{x) задана на множестве X, непрерывна в точке

ХoEX и f(Xo)=\0. Тогда существует положительное число δ тя-кое, что для всех X е (xo-δ, Xo+δ)∩X функция имеет тот же знак, что и f(х₀). 

Док-во.

Пусть   f(Xo)>0.   Тогда   в   силу   непрерывности   функции   для

(Ve > 0) (35 > 0) такое что для (Vx е X: |Xo-X| < delta выполняется

неравенство |f(x) - f (x_o)| <e.

Запишем последнее  неравенство в виде f (xo) - e< f (x) < f (Xo) + e,

оно      выполняется      для      всех       X e (Xo-delta, Xo + delta) .Возьмем

e = f (Xo) > 0, тогда получим, что для всех    х е (xo-delta, Xo + delta)

f (х) > 0. Что и требовалось доказать.

Если f(xo) < 0, то рассмотрим функцию - f (х). Тогда - f(xo) > 0

и по только что  доказанному существует delta -окрестность точки Xo , в

которой —  f(x) > 0. Следовательно f{x) < 0. Теорема доказана. 

26 Первая теорема  Больцано Коши

 (теорема о прохождении функции через нулевое значение при смене знаков)»Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте[a,b] и на концах сегмента имеет значения разных знаков (faя) * f{b) < 0). Тогда существует точка с е (а,b) в которой f(с) = 0.

Док-во.

Пусть для определенности f{a) < О и f(b) > 0. Разделим сегмент [а,Ь] пополам. Если значение функции в середине сегмента [a,b] равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из двух полученных сегментов на концах которого функция имеет значения разных знаков. Обозначим его через [a1,b1. Повторим деление. Если продолжать этот процесс неограниченно, то либо на к-ом шаге значение функции в середине сегмента [ak,bk] окажется равным нулю и теорема Доказана. Либо получим последовательность [a,b]принадл[a1,b1]прин[a2,b2]... [aп,bп]   вложенных   сегментов, причем Ь_п-а_п =[Ь-а]\2^п -» 0 при п —> oo и на концах каждого сегмента [an,bn] функция имеет значения разных знаков. По теореме о вложенных отрезках существует точка с принадлежащая всем сегментам. Докажем, что f(с) = 0. Предположим противное. Пусть f(c) > 0, тогда по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки с, в которой f(с) > 0. В эту окрестность при достаточно большом ппопадает сегмент [a_л,b_л]. Следовательно, на [а_п,Ь_п] будет выполнятся неравенство f(х) > 0, а это противоречит тому, что на концах [an,bn] Функция имеет значения разных знаков. Мы пришли к противоречию. Аналогично, показывается, что f(с) не может иметь отрицательное значение. Следовательно f(с) = 0.