Лекция по мат. анализу

Док-во.

Докажем теорему  для случая f'(х)>=0 Пусть X1 и х₂ две произвольные точки из (а,Ь) и X1< х₂; тогда на отрезке [x1,x2] выполняются все условия теоремы Лагранжа_э и следовательно выполняется условие f(х₂)-f(x1)=f'(с)•(х₂-X1) где се(х1,х₂).

По условию, f'(c)>= 0, х₂- Х1> 0, поэтому f(х₂) -f(x1)>=0 или f(х₂)>=f(X1), т.е. функция f(х) не убывает на (а,b). Случай f'(х)=< 0 доказывается аналогично.

Аналогично можно  доказать, что если /'(х) > 0 (/'(х) < 0) на (а₃ й), то /(х) возрастает (убывает) на (а, 6). Положительность (отрицательность) производной f'(с) не является  необходимым условием  возрастания  (убывания)  функции

f(х) в точке с. В качестве примера назовем функцию f(х)=xв3, которая возрастает в точке х=0 и тем не менее имеет в этой точке производную f'(0) = 0.

 Если в  условии теоремы функция f(х) непрерывна в точке а справа, то f(x) монотонна на промежутке [а,Ь). Действительно, в этом случае можно пользоваться теоремой Лагранжа и при х1=а. 

51 Стационарная точка.1е  достатоыное условие  экстремума

Теорема, Пусть  функция f(x) дифференцируема в некоторой delta окрестности точки х₀. Тогда, если f'(x)>0  (f'(x)<0) для всех xе(х₀ - delta;x0)     и     f'(x)<0  (f'(x)>0)     для     всех х e(x0,X0 +delta) to в точке X0 функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f'(х) во всей delta-окрестности точки х₀ имеет один и тот же знак, то в точке х₀ локального экстремума нет. Другими словами, если f'{x) при переходе через точку Xo меняет знак с "+" на "-" то X0 - точка локального максимума, если f'(x) в точке х₀ меняет знак с "-" на +, то х₀ - точка локального минимума, если же f'(х) в точке х₀ знака не меняет, то в точке х₀ экстремума нет.

Док-во: Пусть  f'(x)  ^ПР^И переходе через точку х₀ меняет знак с + на "-"и

пусть хе(x0 -delta,X0). Применим формулу Лагранжа к функции f{x) на отрезке [x,X0]. Получаем

f(x)-f(x)=f'(c)(x0-x) где се(х,х₀)_:    . Так как f'(x)>0 на (х₀-delta;x0) , то f'(с)>0, и, кроме того, X0- X > 0, следовательно, f(х_о)-f(х)>О или f(х_о)>f(х).         ^;                    (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х e(x0,,x₀+delta). Применим формулу Лагранжа к функции f(x) на отрезке [xq0 x] . Получаем f{x)-f(х₀)=f'(с)(х-х₀) где се(х₀,х) Так как f'{x)<0 на (х₀, Хо + delta), то f'(c)<0, и, кроме того, X0- х< 0, следовательно,

f(x)-f(x0 )<0 или f(х₀)>f{x)                                  (2) Из неравенств (1) и (2) следует, что в рассматриваемой окрестности точки X0 выполняется неравенство f(x)<f(x0) при x=\X0,

а это означает, что в точке X0 функция f(x) имеет локальный максимум.

Аналогично рассматривается  случай перемены знака f(x) с "-" на "⁺". Осталось рассмотреть случай, когда f(x) знака не меняет. Пусть f''{x)>0 в некоторой окрестности (х₀-delta; X0+delta); тогда     по     теореме   о  монотонности   функции   функция    f(x) возраст на(х₀-delta; X0+delta) те для любых x<x0 вып нер-во f(x)>f(x0) а для любых x>x0 f(x)>f(x0). Это озн-т что точка x0 не явл точкой лок-го экстремума 

52 Второе дост-е  усл-е

Теорема. Пусть функция имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция f(х) имеет в точке с локальный максимум, если f"(c) < 0 и локальный минимум, если

f"(c)>o. Док-во: Доказательство проведем для точки максимума.

Рассмотрим функцию  f'(х). Так как с стационарная точка, то

f'(с) = 0. Так как    f"(с)< 0, т.е(f '(с)) < 0, то из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке следует, что f'(x) убывает в точке с. Тогда существует такая окрестность точки с в пределах которой f'(x)>0 слева от точки сиf'(x)<О справа от точки с. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(x) имеет в точке с локальный максимум.  

53 Формула Тэйлора.  Второе дост-е  усл-е

Формула Тэйлора: Теорема. Пусть функция f(х) имеет в точке X0 и некоторой ее окрестности производные n+1 порядка. Пусть х - любое значение аргумента из указанной окрестности, х=\X0 . Тогда между точками х₀ и х найдется точка  Ё такая, что справедлива следующая формула: ;

f(х) ₌ f(х_о)_{+f'(x0)\1!*(x-x0)+f"(x0)\2!*}(х-Х_о)²₊... fв(n)*(x0)\n!*(x-x0)вn+fв(n+1)(Ё)\(n+1)!*(x-x0)вn+1 

Теорема. Если фунщия y =f(х) имеет на интервале (а, b)

вторую производную  и f"(x)=>0    (f"(x)=<0) во всех точках (а, b), то график функции у = f(x) имеет на.(а, b) выпуклость, направленную вниз (вверх). Док-во,

Док-во проведем для случая f"{x)>0 для всех х е (а, 6). Случай f"<0 доказывается аналогично.

Пусть X0 произвольная точка из (а, b). Покажем, что график функции у = f(х) лежит не ниже касательной, проходящей через точку М(х_о,f(х_о)).

Уравнение касательной  имеет вид Y = f(х₀) + f'(xо)* (^х-^х0) где Y - текущая ордината касательной. Разложим функцию у = f(х) в ряд Тейлора для n = 1. Получим

y = f(x) = f(x_o) + f'(x0)\1!*(x-x_o) + f"(Ё)\2!*(x-x₀),Где Ёe(x_o,x). Вычитая полученные равенства, имеем y=Y=f"(Ё)\2!*(x-x0)в2 Так как f"(Ё)Ю=0 по условию теоремы, то f"(Ё)\2! • (х-х₀)² >0 для Vx е(а, b) 

Теорема. Пусть функция имеет в данной стационарной точке с конечную вторую производную. Тогда функция f(х) имеет в точке с локальный максимум, если f"(c) < 0 и локальный минимум, если

f"(c)>o. Док-во: Доказательство проведем для точки максимума.

Рассмотрим функцию f'(х). Так как с стационарная точка, то

f'(с) = 0. Так как    f"(с)< 0, т.е(f '(с)) < 0, то из достаточного условия возрастания и убывания функции в точке следует, что f'(x) убывает в точке с. Тогда существует такая окрестность точки с в пределах которой f'(x)>0 слева от точки сиf'(x)<О справа от точки с. Но тогда выполняется первое достаточное условие экстремума, и функция f(x) имеет в точке с локальный максимум 

54 Достаточное усл  экстремума фнукц  не дифф в данной  точке. 

Теорема. Пусть функция f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с за исключением, может быть, самой точки С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f'(х)>0 слева от точки с и f'(x)<0 справа от точки c, то функция f(x) имеет в точке с локальный максимум. Если f'(x)<0 слева от точки с и f'(x)>0 справа от точки с, то функция имеет в точке с локальный минимум.

Если f'(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке с нет.

Доказательство  теоремы совпадает с доказательством  первого достаточного экстремума для дифференцируемой функции. 

 
 

55 Направление выпуклости  функции

Определение, будем говорить, что график функции•,y=f(х) имеет на  (d,b)  выпуклость, направленную вниз (вверх),  если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (a,b)  

56 Точки перегиба  графика функции 

Определение. Точка М (х₀, f(x0)) называется точкой перегиба графика функции у=f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции у=f(x) слева и справа от точки X0 имеет разные направления

выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны  от этой точки график лежит под  касательной, а с другой над нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции переходит с одной стороны касательной на другую и перегибается через нее. Необходимое условие точки…

Теорема. Пусть график функции у = f(x) имеет перегиб в точке M(x0, f(x0)) и пусть функция у=f{x) имеет в точке х₀ непрерывную вторую производную. Тогда f"{x) в точке X0 обращается в нуль, т.е. /"(^хо)=\0

д ок-во. Предположим противное, т.е. допустим, что f"(^хо)=\0 - Тогда в силу непрерывности второй производной по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки X0 в которой  ^f”(xО)<0 (f"{xo)> 0)  и, значит, согласно теореме о направлении выпуклости график функпии у = f(x) имеет определенное направление выпуклой в этой окрестности  Но Это противоречит наличию перегиба в точке M(x0, f(x0)) . Полученное противоречие доказывает теорему. 

57 Достаточное условие  точки перегиба.

Теорема. Пусть функция  у=f(х) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х₀. Тогда, если в пределах указанной окрестности f"(х0) имеет разные знаки слева и справа от точки х₀, то график у=f(x) имеет перегиб в, точкее M(x0, f(х0 )). 

  Док-во :Из того, что  f"(х0 ) слева и справа от точки X0 , имеет разные знаки, на основании теоремы о направлении выпуклости заключаем, что направление выпуклости графика функции слева и справа от точки х₀ являются различными. Это и означает наличие перегиба в точке М(х_о,f(х_о)) Следует отметить что теорема остается верной если y=f(x) имеет вторую произв-ю в нек-й окр-и точки Х0 за искл самой Х0 и сущ-т касс-я к графику функции в точке М.тогда если в пределах указ-й окр-и f”(x) имеет разн-е знаки слева и справа от точки Х0, то график функции y=f(x) имеет перегиб в точке М(х_о,f(х_о)) 

58 Асимптоты графика  функции.

Определение: прямая Х0=х наз-я  вертик-й асимп-й  графика функции  y=f(x) если хотя бы одно из предельных значений x->0+ limf(x) или x->0-  lim fx) ранов +оо или –оо

Опре-е: прямая y=A наз-я гор-й асимп-й графика функц y=f(x) при x->+jj(x->-jj) если lim f(x)=A x->+oo(-oo)

Опре: прямая y=kx+b(k=\0) наз-я наклонной ассимп-й графика функц y=f(x) при x->+oo(-oo) если функц f(x) можно представить в виде f(x)=rk+b+a(x) где a(x)->0 при x->+oo(x->-oo) 

Пусть M(x,y)- точка графика функции y=f(x)  и пусть прямая у-кх+b является наклонной асимптотой графика функции при х-> +оо. Опустим перпендикуляры из точки М на ось абсцисс и на асимптоту. Пересечение первого перпендикуляра с осью ОХ назовем    точкой    N(x,y1),    а    второго -точкой  Р. Тогда |BN|=|y-y1|=|f(x)-(kx+b)|=|a(x)->0 при х->+oo d =|MP\=\MN|*cosа, где а - угол между асимптотой и осью ОХ, и, следовательно, x->+oo  limd = 0.

 

Теорема. Для того чтобы график функции у=f{x) имел при х->+oo асимптоту у=кх+b, необходимо и достаточно существование пределов: х->+оо  limf(x)\x=к и  lim(f(х)-kx)=b.

Док-во. Необходимость.   Пусть   график   функции   у= f(x)   имеет   при x->+oo асимптоту y=kx+b те для f(x) справедливо представление f(z)=kx+b+a(x) Тогда x->+oo limf(x)\x=lim(kx+b+a(x))\x=lim(k+b\x+a(x)\x)=k

lim(f(x)-kx)=lim(b+a(x))=b

Достаточность.   Пусть   существуют  пределы    Х->,+оо  limf(x)\x=k  

lim(f(х)-кх)=b. Из второго равенства следует, что разность f(x) -кх-b является бесконечно малой при х->+oо. Обозначим эту бесконечно малую через а(х), получим для f(х) представление: f(x)=kx+b+a(x).