Лекция по мат. анализу

(w±v)' = «'±v'; (u*v)' = u'v + uv';

(u\v)'=u'*v-v'*u\vв2

             Док-во.

Для вывода формул (10) воспользуемся определением производной, равенством f(x+Дх)=f(х)+Дy и теоремой о пределах суммы, разности, произведения и частного,

Дx->0   (h±v)'= lim[u(x+Дx)+-v(+Дx)]\Дx=lim[u(x+Дx)-u(x)\Дx+-v(x+Дx)-v(x)\Дx]=limu(x+Дx)\Дx+-limv(x+Дx)-v(x)\Дx=limДu\Дx+-limДv\Дx=u’+-v’

     (uv)' = lim ^u(^{x +} Дx) • ^v(^{x +} Дx)-u(x)*v(x)\ AX ₌ = _lim (u(x)+Дu)(v(x)+Дv)-(u(x)*v(x))\Дx=lim(u(x)*v(x)+Дu*v(x)+Дv*u(x)+Дu*Дv-u(x)*v(x))\Дx=v*limДu\Дx+u*limДv\Дx+limДu\Дx*limДv=u’*v+v’*u

     (u\v)’=lim[u(x)+Дu]\[v(x)+Дv]-[u(x)\v(x)]\Дx=limu(x+Дx)*v(x)-u(x)*v(x+Дx)\Дx*v(x+Дx)*v(x)=lim[u(x)+Дu]*v(x)-u(x)*[v(x)+Дy]\Дx*v(x)*[v(x)+Дv]=limuv+Дuv-uv-uДv\Дxv(c+Дv)=(v(Дu\Дx)-u(Дv\Дx))\vв2+vДv= u'*v-v'*u\vв2

                                                                       

38 Произв-я Эл-х функций 

1.   Производная   функции   f(x) = C   выражается   формулой y'=0

Док-во.

Для любых X и Дх имеем

Дf=f(х+дх)-f(х)=с-с=о.

Отсюда, Дf\Дy =0\Дx=0 при любом Дх=\0.

Следовательно, у' = limДf\Дy=О

2. Производная  степенной функции.

Производная (функции  у = xвn, где n целое положительное число, выражается формулой   .y'=n-xвn-1

Док-во.Используя формулу бинома Ньютона

(а + Ь)^п =авn +(n\1!)aвn-1*b+((n(n-1))\2!)*aвn-2*b² +...+

(n(n-1*(n-2)...(n-k+1) aвn-k*bвk+..+bвn  где n!= 1*2*3• ...n,имеем

Дy=(x+Дx)вn-xвn=(Xвn+nxвn-1Дx+(n(n-2)\2!)xвn-2(Дx)в2+..(Дx)вn)-xвn=nxвn-1*Дx+(n(n-2)\2!)xвn-2(Дx)в2+..(Дx)вn

Дy\Дx=nxвn-1+(n(n-1)\2!)xвn-2Дx+..+(Дx)вn-1 тк limДx=0,...,lim(Дx)вn-1=0 то y'=limдy\дx=nxвn-1 

3 производн тригоном-х  функц

произв-я функции  y=sinx выраж формулой y’=cosx

Док-во: имеем  Дy=sin(x+Дx)-sinx=2sin(Дx\2)cos(x+Дx\2) таким обр-м при Дx=\0 Дy\Дx=(2sin(Дx\2)cos(x+Дx\2))\дx=sin(Дx\2)\(Дx\2)*cos(x+Дx\2)  тк lim (sin(Дx\2))\(Дx\2)=1 а limcos(x+Дx\2)=cosx то y’=limДy\Дx=cosx

Произв-я y=cosx : y’=-sinx,y=tgx:y’=1’cos^2xДок-во: y’=(sinx)’cosx-sinx(cosx)’\cos^2x=cos^2x+sin^2x\cos^2x=1\cos^2x  y=LOGaX y’=(1\x)LOGaE=1\(xlna) Док-во:Дy=LOGa(x+Дx)-LOGaX=LOGa((x+Дx)\x)=LOGa(1+Дx\x) Дy\Дx=(1\Дx)LOGa(1+Дx\x)=(1\x)*(x\Дx)LOGa(1+Дx\x)=(1\x)LOGa(1+Дx\x)^x\Дx, если x\Дx=h=> lim(1+Дx\x)^x\Дx=lim(1+1\h)^h=e, тк лог-я функция яявл-я непрерывной то y’=limДy\Дx=(1\x)LOGa[lim(1+Дx\x)^x\Дx]=(1\x)LOGaE=1\(xlna)/ 
 

39 Теорема о произ-й  обратной функции 

Если функц  y=f(x) имеет в точке X0 произв-ю f’(x)=\0 то обратная функция x=фи(y) так же имеет в соотв-й точке y0=f(x0) произв-ю причем фи’(Y0)=1\f’(Xo)

Док-во: дади аргументу  у обратной функции х=фи(у) нек-е  приращение Дy=\0 Функция x=фи(y) получить нек-е приращение Дx, причем в силу возр-я обратной функции Дx=\0=>Дx\Дy=1\(Дy\Дx)Перейдем в этом рав-е к пределу при Дy->0 так как обратная функция x=фи(у)непрерывна в точке у, то Дx->0 при Дy->0. Но при Дx->0 предел правой части сущ-т и равен 1\f’(Xo) => сущ предел и левой части к-й по опр-ю равен фи’(Yo) => фи’(Yo)=1\f’(Xo) 

40 Произв-я показ-й  функции

Y=A^x Док-во: она явл-я обратной для x=LOGaY. Тк x’(y)=(1\y)LoGaE=>y’(x)=1\x’(y)=y\LOGaE=a^xLna

Y’=1\√1-x^2 Док-во:Тк функц опр-а на интервале -1<x<1 явл обратной для x=sinx опр-й на интервале –п\2<y<п\2 и для функц x=siny  то y=arcsinx дифф-а в любой точке x=siny и для ее произв-й в этой точке: y’=(arcsinx)’=1\(siny)’=1\cosy=1\√1-sin^2y, тк cos положит-н на интервале –п\2<y<п\2=> (arcsinx)’=1\√1-x^2

(Arctgx)’=1\(1+x^2) Док-во: тк эта функц опр-а н а беск-й прямой,явл обратной для x=tgy опр-й на инт-е –п\2<y<п\2 и для функц-ии x=tgy в окр-и кажд-й точке инт-а –п\2<y<п\2 (arctgx)’=1\(tgy)’=1\(1\cos^2y)=cos^2=1\(1+tg^2y)=1\(1+x^2) 

41Теорема  о произв-й сложной  функции. 

Теорема Если функция х = фи(t) имеет производную в точке t0, а функция у=fix) имеет производную в соответствующей точке X0=фи(to), то сложная функция f[фи{t)] имеет производную в точке tо и справедлива следующая формула:

y'(t_o) = f'(x_o)ab'(t_o).                                   (1)

Док-во. Так как функция у = f(х) дифференцируема в точке х₀, то приращение  этой   функции в точке х₀ может быть записано в виде

Ду = f'(x_o)Дx + a(Дx)Дx,           . .....        (12) гдеДx->0 lim a(Дx) = 0.

Поделив       равенство        (12)     на        Дt        (Дt=\0), получим

Дy\Дx=f'(Xo)Дx\Дt+a(Дx)Дx\Дt (13) Равенство    (13)  справедливо  для   любых достаточно  малых Дх. Возьмем Дх равным приращению функции х = фи(t), соответствующему приращению Дt аргумента t в точке t0 , и устремим в этом равенстве Дt к нулю. Так как по условию х =фи(t) имеет в точке t₀ производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывности функции в; точке, Дх —> 0 при Дt->0. Но тогда а(Дх)->0, т.е. имеем

lim (а(Дх)Дx\Дt) = lim а(Дх)*limДx\Дt - 0 •фи'(tо) -0      (¹⁴)  В силу соотношения (14) существует предел правой части равенства (13) при Дt-> 0 , равный f'(xо)*фи'(t0))• Значит, существует предел при Де-» 0 и левой части равенства (13), который по определению производной равен производной сложной  функции y=f[фи(t)] в точке t0

Таким образом, дифференцируемость сложной функции доказана и установлена формула (11).

Производная степенной функции  с любым вещественным показателем

Производная функция  у = х^а , где а е R  выражается формулой y'=axвa-1

Док-во. Tax как   у=х^а,  то lny=alnx. Дифференцируя обе части этого равенства  x  имеем y'\y=(alnx)'=a\xОтсюда, учитывая, что у = хв а , получаем    у'=(хва )'=axва-1 

42

43

44

45

 

 46 Понятие локального экстремума.Необх-е усл-е.

Опреде-е:Функция  f(x) имеет в точке с локальн максимум (мин) если найдет-я такая окр-ь точки с, в пределах к-й знач-е f(c) явл-я наиб-м(наим) среди всех знач-й этой функц-и.

Теорема Ферма:Пучть функц  f(x) опр-а на интервале(a,b) и в некоторой окр-и точки x0 этого интервала имеет наиб-ее или наим-ее знач-ее.Тогда если в точке Х0 сущ-т произв-я то она равна нулю те f’(X0)=0

Док-воПусть  для   определенности   функция   f(х)   в точке   X0   имеет наибольшее значение, т.е. f(х)=<f(х₀) для любого х е (а, Ь). Это значит, что   Ду = f(xо ⁺ Дч)-f(xо)=< О   Для любой точки

х₀+Дхe(а,6). Поэтому если Дх>0 (т.е. х>х₀), тоДy\Дx=<0 и,

Ахследовательно,Дx->0limДy\Дx<=0, т.е. f'(х0)=<0, если же Дх<0(т.е х<Хo),Дy\Дx>=0 и,следовательно, limДy\Дx>=0 т.е. f'(х_о)>=0 Получили, что правая производная в точке Xo неположительная, а левая - неотрицательная. По условию, f'(^хо) существует и, значит, f'(xo)=f'(xo)=f'(^хо) Это возможно только в случае, когда f'(х0)=f'(x0)=0.Но тогда f'(Хо)=0

  Локальный экстремум  функции.

Определение. Точка  х₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(х), если для всех х,из некоторой delta окрестности    точки X0 выполняется неравенство      _г

f{x)' < f(х₀ ) (f(х)>f(х₀)) при х=\х₀.

Необходимое условие локального экстремума

Теорема^ Если функция f(x) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f'(x0) =  0. Док-во.

Так как в точке  X0 функция f(х) имеет локальный экстремум, то существует такой интервал (х₀ - delta;х₀+delta), в котором значение f(x0)является наибольшим или наименьшим среди всех других значений этой функции. Тогда по теореме Ферма производная функции в точке х₀ равна нулю, т.е. f'(xо)=0.

Эта теорема имеет  следующий геометрический смысл. Если точки  Xj ,^2, точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти X касательные параллельны оси ОХ.

Точки, в которых  f^r(x) = 0 называют стационарными или точками возможного экстремума. Если точка Xq является точкой возможного экстремума, т.е. /Ч^о) = 0, то она может и не быть точкой 

47 Теорема Роля 

Теорема Пусть на [а, b] определена функция f(х), причем:

1)f(х) непрерывна на [а,b];

2)f(х) дифференцируема на (а,b);

3)f(a)=f(b)•

Тогда существует точка с е (a, b), в которой f'(с) = 0.

Док-во Так как функция f(х) непрерывна на [а,Ь], то она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m, т.е. существуют такие точки х_1эх₂ e [a,b], что f(Х1)=m,f(х₂)=М, ^ и вьшолняются неравенства m=<f(х)=<М. Возможны два случая: 1) т= М; 2) т< М. В первом случае f(х) = const=т=М. Поэтому производная f'(x) равна нулю в любой точке [a,b], и теорема доказана.

Во тором случае так как f(а) = f(b), то хотя бы одно из двух значений М и т, не принимается на концах отрезка [а,b], т.е. существует точка се(а,b), в которой функция f(х) принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале (а,b). В этом случае, так как f(x) дифференцируема в точке с, из теоремы Ферма следует, что f'(c)=0.

Теорема Ролля  имеет простое геометрическое истолкование: между двумя точками кривой, заданной уравнением у =f(x) (где функция f(x) непрерывна на отрезке [а,Ь] и дифференцируема внутри этого отрезка), с равными ординатами всегда найдется, по крайней мере, одна точка, в которой касательная к кривой параллельна оси ОХ.  .'   

48 Теорема Лагранжа

Теорема

Пусть на [а,b] определена функция f(х), причем:

1)  f(х) непрерывна на [а, b]

2) дифференцируема  на (а,b).

Тогда  существует точка  се(а,Ь)   такая,  что  справедлива

формула f(b)-f(a)\b-a=f'(c)

Док-во,

Введем в рассмотрение вспомогательную функцию на [а, b]

F(x)=f(x)-f(a)-((f(v)-f(a))\b-a)*(x-a) Функция F(x) удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля:1) F(x) непрерывна на [а,Ь] (как разность двух непрерывных

функций f(х) и линейной функции f(a) +(f(b)-f(a)\b-a)*(x-a) 2)  F{x) дифференцируема на (a,b), т.е. внутри [a,b] имеет

производную, равную F'(х)=f'(х)-(f(b)-f(a))\b-a

3) F(a)=0 и F(b)=0, т.е. F(b)=F(a). Следовательно', по теореме Ролля существует точка с e(а,b) такая, что F'(с)=0, т.е. f'(с)-(f(b)-f(a))\b-a= 0. Отсюда получаем f'(c)=(f(b)-f(a))\b-a 

49 Теорема Коши

Теорема Пусть  функции f(x) u g(x) непрерывны на [a,b] и дифф-ы на (a,b) Пусть g’(x)=\0,тогда сущ-т точка се(a,b) такая что справедлива формула (f(b)-f(a))\(g(b)-g(a))=f’(c)\g’(c)  (2)

Док-во:

Покажем сначала, что g(b) - g(a)=\О, т.е., что формула имеет смысл. Действительно, если допустить, что g(b)=g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка £ е (а, b), в которой g'(£)=0. А это противоречит условию, что g'(x)=\ 0 на (а, b). Докажем формулу (2). Рассмотрим на [а_? b] вспомогательную функцию F(x)=f(x)- f(a)(f(b)-f(a))\(g(b)-g(a))*(g(x)-g(a)) Нетрудно заметить, что F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля:

1)  F(x) непрерывна.на [а,b]

2)  дифференцируема на    (a, b), кроме того, F(b) =0 u F(a) = 0, т.е. F(a) = F(b). По теореме Ролля для функции F(x) существует точка с,   а<с<Ь, такая,что F'(c) = 0.

Так как F\x) = f'(x)-(f(b)-f(a))\(g(b)-g(a))g'(x)  то F'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))\(g(b)-g(a))*g'(c)=0

Учитывая, что  g'(x)=\О, получаем формулу (2).

Формула (2) называется формулой Коши или обобщенной формулой

конечных приращений 

50 Условие монотонности  функции

Теорема. Если функция f(х) дифференцируема на интервале (а,Ь) и f^r(x)>=О (f'(x)<=0) на (а,b), то функция f(х) не убывает (не возрастает) на (а, Ь).