Математическое моделирование биологических процессов и систем

Третье преимущество цифровой рентгенологии - это возможность  цифровой обработки изображений. Рентгенолог  должен обнаружить аномальные образования  на осложненной фоном нормальной структуре объекта. Он может не заметить мелких деталей или пропустить слабоконтрастную структуру на фоне шумов изображения. Поэтому очень важной является возможность повышения визуального качества потенциально информативных участков для увеличения вероятности принятия правильных решений.

Получение изображений  с помощью радиоизотопов

Метод, который рассматривается  ниже, получил очень широкое применение в медицине. В последние десятилетия  значительно развилась клиническая  диагностика заболеваний человека с помощью введения в его организм радиоизотопов в индикаторном количестве. Визуализация с помощью радиоизотопов включает в себя ряд методов получения изображений, которые отражают распределение в организме меченных радионуклидами веществ. Эти вещества называются радиофармпрепаратами и предназначены для наблюдения и оценки физиологических функций отдельных внутренних органов. Характер распределения радиофармпрепаратов в организме определяется способами его введения, а также такими факторами, как величина кровотока объема циркулирующей крови и наличием того ли другого метаболического процесса.

Радиоизотопные изображения позволяют  получать ценную диагностическую информацию. Наиболее распространенным методом  этого класса является статическая  изотопная визуализация в плоскости, которая называется планарной сцинтиграфией. Планарные сцинтиграммы представляют собой двумерные распределения, а именно проекции трехмерного распределения активности изотопов, которые находятся в поле зрения детектора. Томографические исследования с применением системы многоракурсного сбора информации об объекте разрешают преодолеть большинство проблем, связанных с наложением информации при одноракурсном способе сбора данных. Прогресс компьютерных технологий привел к применению компьютеров при исследованиях с помощью радиоизотопов, где важную роль играет томографическая и динамическая информация. Использование компьютерной техники повышает качество изображения и дает возможность при радиоизотопной визуализации получать количественную информацию об исследуемых объектах.

Ультразвуковая диагностика

Ультразвуковые методы визуализации широко применяются при разных диапазонах частот - от подводной локации и биоэхолокации (частоты до 300 КГц) до акустической микроскопии (от 12 МГц до 1ГГц и выше). Промежуточное расположение по частотам занимают ультразвуковая диагностика и терапия, а также неразрушающий контроль в промышленности. Информация о структуре исследуемого объекта закодирована в лучах, которые прошли через него и в рассеянном излучении. Задача системы визуализации состоит в расшифровке этой информации. В отличие от рентгеновских лучей, ультразвуковые волны преломляются и отбиваются на границах раздела сред с разными акустическими показателями преломления. Эти эффекты могут быть довольно заметными, что разрешает создать фокусирующие системы.

С точки зрения выбора конкретного способа построения систем визуализации, в зависимости от вида излучения между ультразвуком и рентгеновским излучением есть существенные различия. Ультразвуковые волны распространяются довольно медленно, поэтому при характерных размерах исследуемого объекта легко измерять соответствующее время распространения, которое разрешает использовать эхо-импульсные методы для формирования акустических изображений. С другой стороны, скорость ультразвуковых волн достаточно большая для того, чтобы накапливать и реконструировать всю информацию о виде полного кадра изображения за время 80 мс. Другими словами, появляется возможность наблюдать движение объектов в динамике. Ультразвуковые приборы отличаются один от другого лишь деталями.

Использование эффекта  ядерного магнитного резонанса (ЯМР) для получения изображений

Несмотря на то, что во многих больших  исследовательских центрах ЯМР-визуализация является одним из важных диагностических  средств, сам метод еще находится  на относительно ранней стадии своего развития. Само явление ядерного магнитного резонанса было открыто в 1946 году независимо Блохом и Парселлом с Паундом. Этот метод с помощью небольших изменений резонансной частоты (через наличие околомолекулярной электронной тучи) позволяет идентифицировать ядра в разном химическом окружении. Сначала ЯМР-методы с высокой разрешающей способностью разрабатывались как универсальное средство изучения химического состава и структуры твердого тела и жидкостей, а далее нашли свое применение и в других областях, в частности, медицине. Рядом с развитием ЯМР-спектроскопии развивались и методы визуализации - это и точечные методы, методы "быстрой" визуализации и прочие. Роль центрального процессора в современных ЯМР-системах выполняет мощный миникомпьютер, который обеспечивает канал связи с оператором и контроль функций узлов системы. Компьютер также обеспечивает запоминание и архивирование информации, отображение результатов исследований и во многих случаях соединяется с устройством быстрой обработки типа матричного процессора.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Переход от непрерывных сигналов и преобразований к дискретным

В систему обработки  информации сигналы поступают, как  правило, в непрерывном виде. Для  компьютерной обработки непрерывных  сигналов необходимо, прежде всего, преобразовать  их в цифровые. Для этого выполняются операции дискретизации и квантования.

Дискретизация изображений

Дискретизация – это преобразование непрерывного сигнала в последовательность чисел (отсчетов), то есть представление этого сигнала по какому-либо конечномерному базису. Это представление состоит в проектировании сигнала на данный базис.

Наиболее удобным с точки  зрения организации обработки и  естественным способом дискретизации  является представление сигналов в  виде выборки их значений (отсчетов) в отдельных, регулярно расположенных точках. Такой способ называют растрированием, а последовательность узлов, в которых берутся отсчеты – растром. Интервал, через который берутся значения непрерывного сигнала называется шагом дискретизации. Обратная шагу величина называется частотой дискретизации,

Существенный вопрос, возникающий  в ходе дискретизации: с какой  частотой брать отсчеты сигнала  для того, чтобы была возможность  его обратного восстановления по этим отсчетам? Очевидно, что если брать  отсчеты слишком редко, то в них  не будет содержаться информация о быстро меняющемся сигнале. Скорость изменения сигнала характеризуется верхней частотой его спектра. Таким образом, минимально допустимая ширина интервала дискретизации связана с наибольшей частотой спектра сигнала (обратно пропорциональна ей).

Для случая равномерной дискретизации  справедлива теорема Котельникова, опубликованная в 1933 году в работе “О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи”. Она гласит: если непрерывный сигнал имеет спектр, ограниченный частотой , то он может быть полностью и однозначно восстановлен по его дискретным отсчетам, взятым с периодом , т.е. с частотой .

Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции  . Котельниковым было доказано, что непрерывный сигнал, удовлетворяющий приведенным выше критериям, может быть представлен в виде ряда:

.

Эта теорема так же еще называется теоремой отсчетов. Функция  называется еще функцией отсчетов или Котельникова, хотя интерполяционный ряд такого вида изучал еще Уитакер в 1915 году. Функция отсчетов имеет бесконечную протяженность по времени и достигает наибольшего значения, равного единице, в точке , относительно которой она симметрична.

Каждую из этих функций можно  рассматривать как отклик идеального фильтра низких частот (ФНЧ) на дельта-импульс, пришедший в момент времени . Таким образом, для восстановления непрерывного сигнала из его дискретных отсчетов, их необходимо пропустить через соответствующий ФНЧ. Следует заметить, что такой фильтр является некаузальным и физически нереализуемым.

Приведенное соотношение означает возможность точного восстановления сигналов с ограниченным спектром по последовательности их отсчетов. Сигналы с ограниченным спектром – это сигналы, спектр Фурье которых отличен от нуля только в пределах ограниченного участка области определения. Оптические сигналы можно отнести к ним, т.к. спектр Фурье изображений, получаемых в оптических системах, ограничен из-за ограниченности размеров их элементов. Частоту называют частотой Найквиста. Это предельная частота, выше которой во входном сигнале не должно быть спектральных компонентов.

Квантование изображений

При цифровой обработке  изображений непрерывный динамический диапазон значений яркости делится  на ряд дискретных уровней. Эта процедура  называется квантованием. Её суть заключается в преобразовании непрерывной переменной в дискретную переменную , принимающую конечное множество значений . Эти значения называются уровнями квантования. В общем случае преобразование выражается ступенчатой функцией (рис. 1). Если интенсивность отсчета изображения принадлежит интервалу (т.е., когда ), то исходный отсчет заменяется на уровень квантования , где – пороги квантования. При этом полагается, что динамический диапазон значений яркости ограничен и равен .

Рис. 5. Функция, описывающая квантование

Основная задача при  этом состоит в определении значений порогов  и уровней квантования. Простейший способ решения этой задачи состоит в разбиении динамического диапазона на одинаковые интервалы. Однако такое решение не является наилучшим. Если значения интенсивности большинства отсчетов изображения сгруппированы, например, в "темной" области и число уровней ограничено, то целесообразно квантовать неравномерно. В "темной" области следует квантовать чаще, а в "светлой" реже. Это позволит уменьшить ошибку квантования.

В системах цифровой обработки изображений  стремятся уменьшить число уровней  и порогов квантования, так как  от их количества зависит объем информации, необходимый для кодирования  изображения. Однако при относительно небольшом числе уровней на квантованном изображении возможно появление ложных контуров. Они возникают вследствие скачкообразного изменения яркости проквантованного изображения и особенно заметны на пологих участках ее изменения. Ложные контуры значительно ухудшают визуальное качество изображения, так как зрение человека особенно чувствительно именно к контурам. При равномерном квантовании типичных изображений требуется не менее 64 уровней.

Спектральный анализ

Спектральный анализ экспериментальных  результатов проводится на ЭВМ с использованием аппарата конечного преобразования Фурье (КПФ). Непрерывная функция X(t) заменяется дискретной функцией U(j)=X(t_0j), заданной в моменты времени t(j)=t_0j, где t₀ - шаг дискретизации, j - номер отсчета. Согласно теореме Котельникова периодическая функция с ограниченным спектром f_v может быть однозначно восстановлена по дискретной функции, заданной в отсчетах, если шаг дискретизации удовлетворяет неравенству to<1/(2- f_v).

Спектр дискретной функции, конечного анализа Фурье (КАФ), является периодической функцией, период которой по частоте равен 1/t₀. Частота f_N=1/(2t₀) называется частотой Найквиста. Расстояние по оси частот между гармониками спектра δf=1/T=1/(t₀·N) определяется интервалом времени, на котором определена функция U(j).

Если шаг дискретизации t₀>1/(2f_v) (f_v>f_N), то спектр дискретной функции оказывается искаженным и отличается от спектра непрерывной функции вследствие так называемого эффекта наложения частот.

Рисунок 6. Эффект наложения частот, возникающий при дискретизации функции:

а) спектр непрерывной  функции;

б) спектр дискретной функции (f_v<1/(2t₀) (f_v<f_N)',

в) спектр дискретной функции f_v>1/(2t₀) (f_v>f_N)

Для вычисления спектра  дискретной функции используется алгоритм БПФ, позволяющий существенно сократить  количество требуемых операций. Так, вычисление N спектральных компонент непосредственно по формуле для спектра требует порядка N² комплексных операций типа сложения и умножения, в то время как использование алгоритма БПФ требует N·log₂N операций.

Основными характеристиками выборочной спектральной плотности мощности (СПМ) являются ее состоятельность и смещение.

Если функция U(t) является детерминированной, то выборочная СПМ является состоятельной и асимптотически несмещенной оценкой истинной СПМ S(f), т.е.

Истинная СПМ при этом определяется так

Если U(t) является случайной функцией или суперпозицией случайной и детерминированной функций, то выборочная СПМ является несостоятельной оценкой: дисперсия оценки не зависит от интервала Г, на котором вычисляется выборочная СПМ. Для получения состоятельной оценки используется * метод периодограмм, в котором за оценку СПМ принимают среднее значение ряда выборочных СПМ, вычисленных при разбиении исходной выборки на К секций, т.е.

При конечном числе секций оценка СПМ оказывается случайной  величиной при фиксированной  частоте fw дисперсия оценки СПМ обратно пропорциональной числу секций К, по которым производится усреднение.

В ходе выполнения задачи студентами исследуется влияние числа секций усреднения на результат вычисления СПМ, влияние формы временного окна на спектр функции, способы увеличить отношение сигнал/шум спектральными методами и другие фундаментальные, но очень функциональные и прикладные свойства спектрального анализа.

Корреляционный  анализ

Задача состоит в  том, чтобы по реализации x(t) ответить на вопрос: есть ли в реализации периодический сигнал или его нет. Определение формы сигнала не требуется.

Из-за конечной длины  выборки N мы всегда имеем дело с оценкой корреляционной функции - случайной величиной, дисперсия которой пропорциональна 1/N. Кроме того, из-за конечной полосы частот шума, оценка автокорреляционной функции R_xx(m) представляет собой функцию с затухающими осцилляциями. Поэтому оценка R_xx(m) помимо осцилляции, обусловленных сигналом, содержит случайную компоненту и затухающие осцилляции, обусловленные шумом. Как показывает