Математическое моделирование биологических процессов и систем

Обозначим рабочую выборку  в виде одномерного массива  ; число его элементов равняется размеру окна, а их расположение произвольно. Обычно применяют окна с нечетным числом точек n (это автоматически обеспечивается при центральной симметрии апертуры и при вхождении самой центральной точки в ее состав). Если упорядочить последовательность по возрастанию, то ее медианой (средним значением) будет тот элемент выборки, который занимает центральное положение в этой упорядоченной последовательности. Полученное таким образом число и является продуктом фильтрации для текущей точки кадра. Понятно, что результат такой обработки в самом деле не зависит от того, в какой последовательности представлены элементы изображения в рабочей выборке. Формальное обозначение описанной процедуры выглядит следующим образом:

>Предположим, что  апертура фильтра находится вблизи  границы, разделяющей светлый  и темный участки изображения,  при этом ее центр располагается в области темного участка. Тогда, вероятнее всего, рабочая выборка будет содержать большее количество элементов с малыми значениями яркости, и, следовательно, медиана будет находиться среди тех элементов рабочей выборки, которые соответствуют этой области изображения. Ситуация меняется на противоположную, если центр апертуры смещен в область более высокой яркости.

Простейшим методом  препарирования изображений является бинаризация. Это преобразование заключается в превращении изображения в двухцветное черно-белое. Главным параметром такого преобразования является порог – значение, которое будет критерием проверки интенсивности точки изображения. Функция бинаризации представлена на рисунке 2.

Рисунок 8. Функция бинаризации

Задача контрастирования связана с улучшением согласования динамического диапазона изображения и экрана, на котором выполняется визуализация. Если для цифрового представления каждого отсчета изображения отводится 1 байт (8 бит) запоминающего устройства, то входной или выходной сигналы могут принимать одно из 256 значений. Обычно в качестве рабочего используется диапазон 0...255; при этом значение 0 соответствует при визуализации уровню черного, а значение 255 – уровню белого. Предположим, что минимальная и максимальная яркости исходного изображения равны и соответственно. Если эти параметры или один из них существенно отличаются от граничных значений яркостного диапазона, то визуализированная картина выглядит как ненасыщенная, неудобная, утомляющая при наблюдении.

При линейном контрастировании используется линейное поэлементное преобразование вида:

параметры которого и определяются желаемыми значениями минимальной и максимальной выходной яркости. С учетом этого, представленное выражение может быть приведено к виду:

Функция линейного контрастирования представлена на рисунке:

 

6. Источники и вид представления экспериментальных данных

Экспериментальные исследования событий и процессов основаны на наблюдениях, в ходе которых регистрируются различные факты искусственного и естественного происхождения.

Источниками экспериментальных  данных являются:

результаты наблюдения за реальными объектами и протекающими в них процессами. Наблюдения могут  проводиться в ходе испытаний  или в ходе обычной эксплуатации;

результаты моделирования объектов. В первую очередь к ним следует отнести результаты имитационного моделирования;

технические, экономические, научные отчеты и обозрения, публикуемые  в различных изданиях, например, сведения о результатах испытаний  или о характеристиках однотипных устройств различных производителей;

результаты опросов  специалистов и другие источники.

Обработка ЭД, получаемых от различных источников, имеет много  общего. Однако организация сбора  и интерпретации ЭД специфична для  конкретной предметной области. В дальнейшем обработка ЭД будет рассматриваться применительно к результатам наблюдения за функционированием АСОИУ, ее элементов или их моделей.

Вид ЭД определяет форму  представления, степень зависимости  от времени, характер данных.

Одной из основных форм является символьная, которая включает представление данных в виде чисел, двоичных величин или текста. Для задания значений соответствующих величин применяются различные шкалы измерений. Описательные (качественные) признаки измеряются на основе номинальных и порядковых шкал. Номинальные шкалы обеспечивают только группирование объектов по признаку наличия у них некоторых общих свойств, но не позволяют проводить ранжирование объектов. Порядковые шкалы обеспечивают возможность упорядочивания данных по признакам "больше", "меньше", "равно", но при этом не указывается, на сколько одно значение признака больше или меньше другого.

Количественные свойства отображаются числами в относительных  или абсолютных шкалах измерений. В  относительных шкалах точки начала отсчета и масштаб измерений имеют условный характер. Например, температуру можно измерять в относительных шкалах по Цельсию, Реомюру, Фаренгейту. Исходя из этого, результаты количественного сравнения величин зависят от используемой шкалы, а некоторые операции над количественными признаками недопустимы. Например, температура одного объекта выше температуры другого на три градуса Цельсия, эти три градуса не равны трем градусам шкалы Фаренгейта. Бессмысленно говорить, во сколько раз температура одного объекта выше температуры другого, в частности, нельзя сказать, что температура +10° С в два раза выше, чем +5° С. Абсолютная шкала обеспечивает однозначное представление точки отсчета и масштаба. Примерами абсолютных шкал является шкала температур по Кельвину, шкала вероятностей. Эти шкалы позволяют дать однозначные ответы на вопросы о том, на сколько или во сколько раз одна величина больше (меньше) другой. Именно применение относительных и абсолютных шкал дает возможность проводить количественную обработку ЭД. Но при обработке следует применять только те операции, которые допускаются применяемой шкалой измерений.

Количественные характеристики (параметры) представимы дискретными  или непрерывными величинами. Дискретные параметры принимают только отдельные  значения, без промежуточных значений между ними. Часто дискретные параметры имеют такое большое количество допустимых значений, что их на практике считают квазинепрерывными. Непрерывные параметры способны принимать любые значения из некоторого допустимого диапазона. В процессе обработки непрерывные величины всегда округляют и представляют ограниченным числом разрядов, т. е. они становятся квазинепрерывными. На практике ЭД отображают с разрядностью, обеспечивающей относительную погрешность не более единиц или десятых долей процента.

Экспериментальные данные могут быть представлены не только в символьной, но и в других формах: графической (графики, осциллограммы, штриховые рисунки, цветные изображения и полутоновые рисунки); аудиоданных. Такие данные обрабатывают непосредственно или предварительно преобразуют в числовую форму.

В дальнейшем рассматривается  только числовая форма представления  данных как универсальная и широко распространенная форма представления  информации, количественно характеризующая  параметры объектов и процессов. А сами параметры считаются непрерывными величинами, если особо не оговорено иное. Обработка данных, представленных в других формах, обладает существенной спецификой и требует отдельного рассмотрения.

Параметры, вообще говоря, зависят или не зависят от времени. В пособии изучаются оценки параметров, не зависящие от времени.

Результаты наблюдений носят детерминированный или  случайный характер. Большинство  событий и процессов в автоматизированных системах можно считать случайными. Именно на обработке таких данных сосредоточено внимание в пособии.

Существенной особенностью задач оценивания параметров АСОИУ  является наличие цензурирования, под  которым понимается отсутствие в  результатах наблюдений каких-либо элементов. Цензурирование возникает  по ряду причин, например, как следствие разновременности начала и окончания работы различных устройств или из-за того, что время свершения некоторого события выходит за пределы периода наблюдения. Обработка таких ЭД требует применения специального математического аппарата.

Таким образом, в данном учебном пособии в качестве объекта обработки рассматриваются совокупности числовых данных, характеризующих не зависящие от времени случайные значения непрерывных параметров.

Цели обработки  экспериментальных данных

Основные показатели АСОИУ, например, показатели производительности и надежности, носят вероятностный характер и не могут быть непосредственно измерены [2, 6]. Для их оценки следует применять косвенные способы на основе регистрации соответствующих первичных параметров и последующей обработки накопленных данных с привлечением специальных математических методов. Иначе говоря, ЭД представляют собой лишь наборы возможных случайных значений показателей, зарегистрированных в некоторые моменты времени. Например, продолжительность наработок до отказа некоторой совокупности однотипных устройств можно рассматривать как множество возможных случайных значений показателя "наработка до отказа". Именно по наработкам и необходимо оценить значение этого показателя. Сам показатель как случайная величина характеризуется законом распределения, моментами распределения или другими параметрами, которые и следует определить.

Основными целями обработки  ЭД являются следующие:

оценка значений показателей  качества средств, комплексов или системы  в целом. На стадиях создания такая оценка проводится в интересах обоснования принимаемых решений по построению объектов, проверки показателей на соответствие требованиям, выявления существенных факторов, влияющих на функционирование объектов, выявления причин несоответствия требованиям. На стадии эксплуатации обработка ЭД проводится также для решения задач управления объектом: изменения режимов работы объекта; изменения порядка обработки информации; обоснования данных для модернизации объекта (изменения конфигурации технических и программных средств); адаптации объекта к условиям функционирования;

сжатие информации о  функционировании объекта, ее обобщение  для последующего применения в интересах  исследования подобных объектов, обоснования  данных для создания новых систем;

выявление закономерностей  функционирования объекта в конкретных условиях эксплуатации, т. е. установление зависимостей между параметрами  объекта, внешней среды и показателями качества объекта. Выявленные закономерности применяют для поиска оптимальных значений параметров при синтезе новых систем, для упрощенного описания объекта в модели суперсистемы;

выявление существенных параметров системы и внешней  среды;

изучение типологии  объектов (распознавание образов, классификация  объектов);

прогнозирование развития объектов в интересах организационного и технологического управления.

Следует помнить, что  результаты обработки ЭД не гарантируют  достоверного описания неизвестных  показателей или закономерностей, их необходимо рассматривать только лишь как более-менее удачную аппроксимацию соответствующих характеристик.

Необходимость сбора  и обработки ЭД обусловлена объективными обстоятельствами, так как действительные значения показателей качества сложных  объектов обычно существенно отличаются от рассчитанных на стадиях проектирования. Эти различия являются следствием ряда причин:

на стадиях проектирования нет достаточно полных и точных представлений  о характеристиках процессов, протекающих  в объекте и во внешней среде, поэтому при проектировании приходится вводить существенные допущения и ограничения. На практике часть принятых допущений оказывается не вполне справедливой;

с вводом в действие объекта  внешняя среда постепенно меняет свои характеристики, например, меняются стиль и методы работы пользователей, появляются дополнительные потребности в решении задач. Такие изменения заранее предусмотреть невозможно;

условия эксплуатации, квалификация обслуживающего персонала в разных организациях имеют свою специфику;

в ходе эксплуатации изменяются характеристики технических, программных и информационных средств, меняется их взаимное отображение. Эти обстоятельства приводят к изменению характеристик потоков запросов на решение задач и параметров их обслуживания.

Таким образом, фактические  значения показателей качества не только отличаются от расчетных, но и меняются с течением времени, имеют свои особенности для одних и тех же типов объектов, эксплуатируемых в различных организациях, претерпевают колебания, зависящие от времени, характера выполняемых на объекте работ.

В зависимости от стадии жизненного цикла АСОИУ задачи обработки ЭД имеют ряд особенностей. На стадии создания имеется принципиальная возможность проведения активных и пассивных экспериментов. Понятие "активный" подразумевает возможность выбора объема экспериментов, последовательности и значений характеристик воздействий на объект по желанию исследователя. Проведение активных экспериментов позволяет расширить диапазон условий, при которых проводится оценивание качества. A специальным образом подобранные условия проведения исследования и порядок задания внешних воздействий, т. е. рационально обоснованные планы экспериментов, обеспечивают взаимную статистическую независимость результатов испытаний. Эти обстоятельства значительно облегчают обработку ЭД, повышают качество получаемых оценок, позволяют разделить влияние различных факторов при построении модели функционирования объекта. Активные эксперименты в основном проводятся на завершающих стадиях создания в виде испытаний опытных образцов, фрагментов систем и т. п. Вопросы постановки активных экспериментов, методов обработки их результатов изучаются в рамках специальной теории планирования экспериментов.

Реальные условия эксплуатации объекта в конкретной организации  могут отличаться от предполагаемых при проведении испытаний. В связи с этим, показатели, установленные в ходе испытаний, несут в себе известную долю абстракции. На стадии создания время испытаний весьма ограничено, что не дает возможности сформировать большой объем ЭД для полноценной оценки искомых показателей.

В пассивных экспериментах количество наблюдений, последовательность и значения воздействий определяются реальной обстановкой использования объектов. Иначе говоря, исследователь практически лишен возможности управления качеством и количеством ЭД.

На стадии эксплуатации возможности проведения активных экспериментов  значительно ограничены или вообще отсутствуют, что обычно приводит к  взаимной зависимости результатов  наблюдений. Наличие такой зависимости  затрудняет обработку полученных данных, а игнорирование данного обстоятельства приводит к смещению значений получаемых оценок, невозможности разделения влияния различных факторов на показатели функционирования и к другим нежелательным последствиям. Нестационарные условия эксплуатации, влияние на объекты периодических или нерегулярно изменяющихся воздействий (трендов) обусловливают необходимость рассмотрения характеристик не как случайных величин, а как случайных функций. Однако из-за слабой разработанности методов и средств оценки параметров случайных процессов по результатам наблюдения обычно предполагается, что процесс функционирования объекта носит стационарный или кусочно-стационарный характер.