Математическое моделирование биологических процессов и систем

расчет, использование  корреляционной функции приводит к  увеличению отношения сигнал/шум (S/N).

Дисперсия оценки корреляционной функции обратно пропорциональна длине выборки, а также обратно пропорциональна ширине полосы частот шума (В). Кроме того, дисперсия оценки корреляционной функции зависит от самой корреляционной функции.

Увеличение отношения  сигнал/шум (G) в результате вычисления корреляции равно:

В наиболее интересном для  приложений случае, когда (S/N)_in<<1, G=2BT(S/N)_in.

4. Методы распознавания образов

В целом, можно выделить три метода распознавания образов:  
Метод перебора. В этом случае производится сравнение с базой данных, где для каждого вида объектов представлены всевозможные модификации отображения. Например, для оптического распознавания образов можно применить метод перебора вида объекта под различными углами, масштабами, смещениями, деформациями и т. д. Для букв нужно перебирать шрифт, свойства шрифта и т. д. В случае распознавания звуковых образов, соответственно, происходит сравнение с некоторыми известными шаблонами (например, слово, произнесенное несколькими людьми).

Второй подход - производится более глубокий анализ характеристик  образа. В случае оптического распознавания  это может быть определение различных геометрических характеристик. Звуковой образец в этом случае подвергается частотному, амплитудному анализу и т. д.

Следующий метод - использование  искусственных нейронных сетей (ИНС). Этот метод требует либо большого количества примеров задачи распознавания при обучении, либо специальной структуры нейронной сети, учитывающей специфику данной задачи. Тем не менее, его отличает более высокая эффективность и производительность.

Общая характеристика задач распознавания образов  и их типы

Общая структура системы распознавания и этапы в процессе ее разработки показаны на рисунке:

Задачи распознавания  имеют следующие характерные  черты.

Это информационные задачи, состоящие из двух этапов:  
- преобразование исходных данных к виду, удобному для распознавания; 
- собственно распознавание (указание принадлежности объекта определенному классу).

В этих задачах можно  вводить понятие аналогии или  подобия объектов и формулировать  правила, на основании которых объект зачисляется в один и тот же класс или в разные классы.  
В этих задачах можно оперировать набором прецедентов-примеров, классификация которых известна и которые в виде формализованных описаний могут быть предъявлены алгоритму распознавания для настройки на задачу в процессе обучения.

Для этих задач трудно строить формальные теории и применять классические математические методы (часто недоступна информация для точной математической модели или выигрыш от использования модели и математических методов несоизмерим с затратами).

Выделяют следующие  типы задач распознавания:  
- Задача распознавания - отнесение предъявленного объекта по его описанию к одному из заданных классов (обучение с учителем); 
- Задача автоматической классификации - разбиение множества объектов, ситуаций, явлений по их описаниям на систему непересекающихся классов (таксономия, кластерный анализ, самообучение);  
- Задача выбора информативного набора признаков при распознавании;  
- Задача приведения исходных данных к виду, удобному для распознавания;  
- Динамическое распознавание и динамическая классификация - задачи 1 и 2 для динамических объектов; 
- Задача прогнозирования - суть предыдущий тип, в котором решение должно относиться к некоторому моменту в будущем.

Распознавание (классификация,идентификация, кластеризация, категоризация) – это отнесение предъявленного к распознаванию объекта к одному из возможных классов с помощью специально построенного правила.

Объект распознавания  предъявляется сенсорной системой в виде упорядоченного набора признаков  , т.е. в виде вектора (кортежа) , принадлежащего -мерному пространству признаков.

Каждому классу сопоставляется некоторый средний образ –  эталон . Для идентификации предъявленного образа используют различного типа меры геометрической близости по критерию минимума расстояния или меры сходства

5. Фильтрация изображений

Обычно изображения, сформированные различными информационными системами, искажаются действием помех. Это  затрудняет как их визуальный анализ человеком-оператором, так и автоматическую обработку в ЭВМ. При решении  некоторых задач обработки изображений в роли помех могут выступать и те или иные компоненты самого изображения. Например, при анализе космического снимка земной поверхности может стоять задача определения границ между ее отдельными участками - лесом и полем, водой и сушей и т.п. С точки зрения этой задачи отдельные детали изображения внутри разделяемых областей являются помехой.

Ослабление действия помех достигается  фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного  изображения, искаженного помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Что может послужить основой для таких решений? Изображение часто представляет собой двумерную функцию пространственных координат, которая изменяется по этим координатам медленнее (иногда значительно медленнее), чем помеха, также являющаяся двумерной функцией. Это позволяет при оценке полезного сигнала в каждой точке кадра принять во внимание некоторое множество соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости. Однако, как правило, частота этих перепадов относительно невелика, так что на значительных промежутках между ними сигнал либо постоянен, либо изменяется медленно. И в этом случае свойства сигнала проявляются при наблюдении его не только в локальной точке, но и при анализе ее окрестности. Заметим, что понятие окрестности является достаточно условным. Она может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом последнем случае, конечно, степень влияния далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной.

Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании  данных как из рабочей точки, так  и из ее окрестности. В этом проявляется  существенное отличие фильтрации от рассмотренных выше поэлементных процедур: фильтрация не может быть поэлементной процедурой обработки изображений.

Задача заключается  в том, чтобы найти такую рациональную вычислительную процедуру, которая  позволяла бы достигать наилучших  результатов. Общепринято при решении  этой задачи опираться на использование вероятностных моделей изображения и помехи, а также на применение статистических критериев оптимальности. Причины этого понятны - это случайный характер как информационного сигнала, так и помехи и это стремление получить минимальное в среднем отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов связано с большим разнообразием сюжетов, которые приходится описывать различными математическими моделями. Кроме того, применяются различные критерии оптимальности, что также ведет к разнообразию методов фильтрации. Наконец, даже при совпадении моделей и критериев очень часто из-за математических трудностей не удается найти оптимальную процедуру. Сложность нахождения точных решений порождает различные варианты приближенных методов и процедур.

Общие понятия  фильтрации изображений

Изображения, сформированные различными оптико-электронными системами  и зарегистрированные с помощью разнообразных приёмников искажаются действием помех различного характера. Искажения изображения вносятся всеми компонентами изображающего прибора, начиная с осветительной системой (например, неравномерность освещенности предмета). Искажения, которые вносит оптическая система, известны еще на этапе её проектирования и называются аберрации. Искажения, которые вносят электронные приёмники излучения, например ПЗС-матрицы, называются электронный шум. Помехи затрудняет визуальный анализ изображения и его автоматическую обработку.

Ослабление действия помех достигается фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного  помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Для выполнения фильтрации необходимо выработать принципы таких преобразований, которые основываются на том, что интенсивность изображения изменяется по пространственным координатам медленнее, чем функция помех. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости.

В методах фильтрации при оценке реального сигнала  в некоторой точке кадра принимают  во внимание некоторое множество (окрестность) соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. Понятие окрестности является достаточно условным. Окрестность может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом случае, степень влияния (вес) далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной. Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее окрестности.

При решении задач  фильтрации используют вероятностные  модели изображения и помехи, и  применяют статистические критерии оптимальности. Это связано со случайным  характером помехи и стремлением  получить минимальное в среднем  отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов фильтрации связано с большим разнообразием математических моделей сигналов и помех, а также различными критериями оптимальности.

Пусть – значение яркости изображения – полезного сигнала на пересечении i-ой строки и j-го столбца, а наблюдаемое на входе фильтра изображение описывается моделью:

Здесь – значение помехи в точке с координатами (i,j), f() – функция, описывающая взаимодействие сигнала и помехи, а I и J – число строк и столбцов в кадре соответственно.

На рисунке 7 показаны примеры окрестностей различных  типов, изображенные в виде совокупностей  точек. Центром окрестностей, рабочей  точкой, в которой осуществляется обработка, является точка с координатами (i,j).

а)	б)	в)

Рисунок 7 Примеры окрестностей различных видов

В зависимости от типа окрестности различают каузальную (а), некаузальную (б) и полукаузальную (в) фильтрацию изображений. Понятие  каузальности (причинно-следственной зависимости) связывают с соотношением координат текущей точки и точек, входящих в окрестность. Если обе координаты (номер строки и номер столбца) всех точек окрестности не превышают соответствующих координат текущей точки, то окрестность и использующая ее обработка называются каузальными. Если точки окрестности удовлетворяют принципу каузальности, фильтрация, опирающаяся на использование такой окрестности, называется некаузальной. Если среди точек окрестности есть точки, координаты которых не превышают рабочую точку в одном направлении, но превышают её в другом, то фильтрация является полукаузальной фильтрацией.

При линейной фильтрации выходной эффект определяется линейной комбинацией входных данных:

.

В этом выражении  – результат фильтрации полезного сигнала в точке кадра с координатами (i,j), S – множество точек, образующих окрестность, – весовые коэффициенты, совокупность которых представляет собой двумерную импульсную характеристику (ИХ). Если область S конечна, то импульсная характеристика имеет конечную длину и фильтр называется КИХ-фильтром. В противном случае импульсная характеристика имеет бесконечную длину, а фильтр называется БИХ-фильтром. Импульсная характеристика не зависит от координат точки, в которой определяется выходной эффект. Процедуры обработки изображений, обладающие свойством независимости от координат, называются однородными (изопланатичными).

Наиболее распространенным критерием оптимальности, применяемым  для оценки качества обработки, является критерий минимума среднего квадрата ошибок. Применительно к фильтрации запишем его выражение в виде:

где – символ математического ожидания. Отыскание оптимального фильтра заключается в определении его ИХ таким образом, чтобы средний квадрат ошибки , выражающей различие между сигналом и оценкой, формируемой фильтром, был минимальным.

Очень часто при обработке  стремятся сохранить среднюю  яркость изображения. Математическое ожидание от обеих частей уравнения  фильтрации можно записать следующим образом:

где принято, что средняя  яркость  входного изображения не зависит от координат и, как результат, получено, что и средняя яркость выходного изображения также постоянна во всех точках кадра. Сохранить среднюю яркость изображения удается при выполнении равенства

которое является дополнительным требованием к импульсной характеристике фильтра.

Потенциально наилучшие  результаты фильтрации, достигаются  при использовании некаузального  принципа, поскольку этот принцип  основан на применении абсолютно всех исходных данных при обработке каждой точки кадра.

Все линейные алгоритмы  фильтрации приводят к сглаживанию  резких перепадов яркости изображений, прошедших обработку. Линейные процедуры  являются оптимальными при гауссовском  распределении сигналов, помех и наблюдаемых данных. Обычно этому условию отвечают шумовые помехи на изображениях, поэтому при их подавлении линейные алгоритмы имеют высокие показатели. А если, например, задача обработки изображения состоит в выявлении границ объекта, то линейная фильтрация не подходит для ее решения.

Реальные изображения  не подчиняются данному распределению  вероятностей (разнообразные перепады яркости на границах, переходы от одной  текстуры к другой и т. п.). Приходится иметь дело с изображениями, искаженными помехами других типов. Одной из них является импульсная помеха. При ее воздействии на изображении наблюдаются белые или (и) черные точки, хаотически разбросанные по кадру. Применение линейной фильтрации в этом случае неэффективно - каждый из входных импульсов ( по сути - дельта-функция) дает отклик в виде импульсной характеристики фильтра, а их совокупность способствует распространению помехи на всю площадь кадра.

Удачным решением перечисленных  проблем является применение медианной фильтрации. Отметим, что медианная фильтрация представляет собой эвристический метод обработки, ее алгоритм не является математическим решением строго сформулированной задачи. Также как и в методе масочной фильтрации, при применении медианного фильтра происходит последовательная обработка каждой точки кадра, а для вычисления оценки используется некоторая окрестность (окно). Наиболее часто применяются варианты окон в виде креста и в виде квадрата. Размеры окна изменяются в зависимости от задаче и характера изображения. Отсчеты изображения, оказавшиеся в пределах окна, образуют рабочую выборку текущего шага.