Ряды Фурье

       Введение.

      Жан Батист Жозеф Фурье - французский  математик, член Парижской Академии Наук (1817).

      Первые  труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил теорему  о числе действительных корней алгебраического  уравнения, лежащих между данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

      Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811 он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу «Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности метода эта книга стала источником всех современных методов математической физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление функций тригонометрическими рядами Фурье.

      Ряды  Фурье теперь стали хорошо разработанным  средством в теории уравнений  в частных производных при  решении граничных задач. 

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

1. Периодические функции.

       Функция f(х) называется периодической, если существует постоянное число Т>0, для которого

   f(x+T)=f(x),      (1.1)

каково бы ни было х из области задания этой функции¹). Число Тс таким свойством называется периодом функции f(x). Наиболее известными  периодическими функциями являются

Черт 1.

sin x, cos х, tg x,... С периодическими функциями приходится иметь дело во многих приложениях математики к задачам физики и техники.

  Сумма, разность, произведение и частное функций периода Т, очевидно, всегда дают функции того же периода.

   Если мы построим график периодической функции у=f(х) для какого-нибудь отрезка [а, а+Т] значений х, то полный график этой функции получим периодическим повторением построенного (черт. 1).

   Если Т есть период функции f(x) то числа 2T, 3T, 4T,... будут также периодами, что сразу вытекает из рассмотрения графика периодической функции или из цепи равенств 

f(x) =f(x + Т) =f(x + 2T) =f(х + 3T) =..., 

являющихся следствием многократного пользования условием (1.1). Таким образом, если T—период, то и всякое

   Черт. 2. 

число вида κТ, где κ — целое положительное число, есть также период, т. е. период, если он существует, всегда не единственен. Отметим следующее свойство любой функции f(x) периода Т.

Если f(x) интегрируема на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на всяком другом отрезке такой длины, и величина интеграла при в том неизменна, т. е.

          (1.2)

при любых а и b .

   Это свойство легко вытекает из интерпретации интеграла как площади. Действительно, интеграл слагается из площадей, заключенных между кривой у=f(x) крайними ординатами и осью Ох, причем площади, лежащие над осью Ох, берутся со знаком “+”, а лежащие под осью Ох, со знаком “-”. В нашем случае в силу периодичности f(x) эти площади оказываются одинаковыми для обоих интегралов (1.2) (черт. 2).

   В дальнейшем, когда мы будем говорить, что функция периода Т интегрируема, то будем под этим подразумевать ее интегрируемость на отрезке длины Т, а значит, и на любом отрезке конечной длины, как это легко следует из только что установленного свойства.[1] 

2. Определение коэффициентов по методу Эйлера — Фурье.

 

   Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (5) для заданной функции f(х) имеющей период 2π, нужно исходить из определенного набора коэффициентов Мы укажем прием для определения их, который во второй половине XVIII века был применен Эйлером и независимо от него в начале XIX века — Фурье.

   Будем впредь предполагать функцию f(x) непрерывной или кусочно-непрерывной в промежутке [— π, π] ²).

   Допустим, что разложение (5) имеет место, и проинтегрируем его почленно от —π до π; мы получим

                       (5)

Но, как легко видеть.

                                         (6)

Поэтому все члены под знаком суммы будут нулями, и окончательно найдем

                                                                               (7)

   Для того чтобы установить величину коэффициента а_т умножим обе части равенства (5), которое мы все время предполагаем выполненным, на cos тх и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке:

   

Первый член справа исчезает ввиду (6). Далее имеем

                                                                                                                                  

(8)                                                                                                                                                                                                                                                                 

(9) 

Если n m, и, наконец: 

                                         (10)                                                                     

Таким образом, обращаются в нуль все интегралы под знаком суммы, кроме интеграла, при котором множителем стоит именно коэффициент а_т. Отсюда этот коэффициент и определяется:

                 (m=1,2,3,…).                                     (11)

   Аналогично, умножая предварительно разложение (5) на sinmx я затем_, интегрируя почленно, определим коэффициент при синусе:

                         (m=1,2,3,…).                                    (12)

При этом, кроме (6) и (8), мы опираемся еще на легко проверяемые соотношения:

                                           (13)

если n m, и

                                               (14)

Формулы (7), (11) и (12) известны под именем формул Эйлера — Фурье, вычисленные по этим формулам коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с их помощью тригонометрический ряд (5) — ее рядом Фурье. Рядами Фурье мы исключительно, а будем заниматься в настоящей главе.

   Дадим теперь себе отчет в том, какова логическая ценность проведенных рассуждений. Так как мы исходили из предположения, что тригонометрическое разложение (5) имеет место, то вопрос о том, отвечает ли это действительности, естественно, остается открытым. Но убедительны ли те соображения, с помощью которых по примеру Эйлера и Фурье мы определили коэффициенты разложения (5), даже в предположении, что оно осуществляется? Мы пользовались повторно почленным интегрированием ряда, а эта операция не всегда дозволительна. Достаточным условием для ее применимости является равномерная сходимость ряда. Поэтому строго установленным можно считать лишь следующее:

если функция  f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд (5) ³), то последний необходимо будет ее рядом Фурье.

   Если же не предполагать наперед равномерности сходимости, то наши соображения не доказывают даже и того, что функция может разлагаться только в ряд Фурье. Каков же смысл приведенных соображений? Их можно рассматривать лишь как наведение, достаточное для того, чтобы в поисках тригонометрического разложения данной функции начать ее с ряда Фурье, обязуясь (уже со всею строгостью!) установить условия, при которых он сходится я притом — именно к данной функции.

   Пока же это не сделано, мы имеем право лишь формально рассматривать ряд Фурье данной функция f(x), но не можем о нем ничего утверждать, кроме того, что он «порожден» функцией  f(x).

   Эту его связь с функцией f обычно обозначают так:

                                        (5a)

  избегая знака равенства. 

1.3 Ортогональные системы функций. 

    Изложенное в предыдущем пункте является образцом рассуждений, которыми часто приходится пользоваться в математическом анализе при изучении многих разложений.

   Назовем две функции φ(х) и ψ(x), определенные в промежутке [а, b], ортогональными в этом промежутке, если их произведение имеет интеграл, равный нулю:

 

   Рассмотрим систему функций {φn(x)}, определенных в промежутке [а, b] и непрерывных в нем или, по крайней мере, кусочно-непрерывных. Если функции данной системы попарно ортогональны.

                    (n, m=0,1,2,…; n≠m)                  (15)

то ее называют ортогональной системой функций. При этом мы всегда будем предполагать, что

                                                                       (16)

При соблюдении условий λn=1 (л = 0, 1, 2, ...) система называется нормальной. Если же условия не выполнены, то при желании можно перейти к системе

,которая уже заведомо будет нормальной. 

   Важнейшим примером ортогональной системы функций как раз и является тригонометрическая система

1, cosх, sinx, cos2x, sin2x, …  cosnx, sinnx, ...               (17)

в промежутке [-π, π], которую мы рассматривали выше, ее ортогональность следует из соотношений (6), (8), (9) и (13). Однако нормальной она не будет ввиду (10) к (14). Умножая тригонометрические функции (17) на надлежащие множители, легко получить нормальную систему: