Ряды Фурье

                                          

                                               

  Умножая обе части этого равенства на постоянное число S₀ -предполагаемую сумму нашего ряда, точное значение которой мы установим ниже, и вычитая результат из (4), найдем:

                                              (8)

   где для краткости положено

                   φ(t)=f(x₀+t)+ f(x₀-t)-2S₀                                  (9)

   Если мы хотим установить, что S₀ действительно является суммой ряда, то для этого нужно доказать, что интеграл (8) при п→∞ стремится к нулю.

Обратимся к выбору самого числа S₀. Практически важны те случаи, когда (а) функция f(х) в точке х₀ непрерывна, либо (б) f(x) имеет в этой точке с обеих сторон разве лишь разрывы первого рода (или скачки), так что оба предела f(х₀+0) и f(х₀-0) существуют. Этими случаями мы впредь ограничимся и раз навсегда полагаем:

в случае (a):  S₀= f(x₀),

в случае (б):  S₀=

   В различении случаев (а) и (б) нет надобности, если в точке х₀, где налицо разрыв первого рода, выполняется равенство

                         

                             

Точки, где это условие соблюдено, иногда называют регулярными. Отметим, что так как

               или  

смотря по случаю, то при указанном выборе числа S₀ всегда будет

                                                      (10)

Имея это в виду, сформулируем теперь 

Признак Дини. (U. Dini) Ряд Фу р ь е функции f(x) в точке x₀сходится к сумме S₀, если при некотором h> 0 интеграл                                                    

                                                        

существует.

Действительно, при этом предположении существует и интеграл

                                                        

Если переписать выражение (8) в виде

                                           

то непосредственно по основной лемме ясно, что оно при n→∞ стремится к нулю, так как функция , а с нею и абсолютно интегрируема. Этим и завершается доказательство.

В развернутом виде интеграл Дини может быть написан так:

в случае (a): 

в случае (б):   

   Очевидно, достаточно предположить существование порознь интегралов (смотря по случаю)

   Или

     и 

   Отсюда можно получить ряд частных признаков, используя различные известные признаки существования интегралов. Например, ограничиваясь случаем (а), укажем

Признак Липшица (R. О. Lipschitz).

Ряд Фурье функции f(х) сходится в точке х_0,где она непрерывна, к сумме f(x₀), если для достаточно малых t выполняется неравенство

                                                        

где L и α — положительные постоянные (α≤ 1). В случае α= 1 имеем попросту

                                                    

   так что интегралы (11) существуют как собственные. Если же α<1, то

                                                   

и так как справа стоит интегрируемая функция, то интегралы (11) все же существуют, хотя бы как несобственные.

В частности, условие Липшица при α=1 заведомо будет выполнено, если для функции f(х) в точке х₀существует конечная производная f’(х₀) или, по крайне л мере, конечные односторонние производные

                             f '₊(x₀)= , f '_־(x₀)=

хотя бы и различные между собой («угловая точка»). Таким образом, в точке х₀, где функция f(x) дифференцируема или, по крайней мере, имеет обе конечные односторонние производные, ряд Фурье сходится, причем сумма его равна f(х₀).

   Легко перефразировать признак Л и п ш и ц а и для случая (б). Как частное следствие отсюда, укажем и здесь, что в  точке х₀ разрыва первого рода для сходимости ряда Фурье достаточно предположить существование конечных пределов:

                         

причем на этот раз суммой ряда будет  .

   Упомянутые пределы в некотором смысле уподобляются односторонним производным, лишь значение f(х₀) функции в точке х₀ заменяется, соответственно, ее предельными значениями справа или слева от этой точки.

     Наиболее часто на практике приходится иметь дело с функциями f(x), имеющими период 2π и дифференцируемыми ⁶⁾ или же кусочно-дифференцируемыми. Как видим, для таких функций ряд Фурье всегда сходится к самой функции  f(х), за исключением «точек стыка» различных функций, где суммой ряда будет .

  2.5  Вторая основная лемма.

   Для построения дальнейших признаков мы будем нуждаться еще в одном вспомогательном утверждении, впервые установленном Дирихле:Если функция g(t) монотонно возрастает, оставаясь ограниченной, в промежутке [0, h], где h>0, то

                                (12) 

  Доказательство. Прежде всего, рассматриваемый интеграл может быть представлен в виде суммы двух интегралов:

                   (13)

Если первый из них с помощью подстановки pt=z преобразовать к виду

                                                  

то сразу ясно, что при р→+∞ он стремится к ибо

                                                      

Таким образом, весь вопрос сводится к доказательству того, что второй из интегралов (13) стремится к нулю.

По произвольно заданному ε>0 найдется такое δ>0 (можно считать δ<h), что

                                        0 ≤  g(t) - g(+0) < ε  для   0 < t ≤ δ

Разобьем теперь упомянутый только что интеграл на два:

                                         

К интегралу l₁, применим формулу Бонне;  мы получим, что

                                  

Но первый множитель <ε, а второй равномерно ограничен при всех значениях р. Действительно, из сходимости несобственного интеграла следует, что непрерывная (при z≥0) функция от z

                                                             

имеющая при z→+∞ конечный предел, будет ограничена при всех значениях z:

                                              (L=const),

так что

                                     

Итак, для интеграла l₁имеем независимо от р оценку  |l₁|<2L_ε

  Что же касается интеграла l_2,то при р→∞ (и фиксированном δ) он стремится к нулю по лемме, так как множитель при sin pt есть интегрируемая в собственном смысле функция ( ведь t≥δ!).Этим и завершается доказательство.

  Признак Дирихле — Жордана.

  Обратимся теперь к выводу, нового признака сходимости рядов Фурье, основанного на другой идее.

  Признак Дирихле —Жордана. Ряд Фурье функции f(х) в точке x₀ сходится к сумме S₀, если в некотором промежутке [х₀ — h, х₀ +h] с центром в этой точке функция имеет ограниченное изменение.

  Мы  видели ранее, что поведение частичной суммы S_n(x₀) при n→∞ определяется повелением интеграла ρ_n(δ) [см. (7)], где за δ, в частности, можно взять и то число h, о котором была речь выше. Перепишем интеграл  ρ_n(h) в виде

   .

  Cумма   в   квадратных   скобках,    по   предположению,   есть   функция с ограниченным изменением; частное же представляет собой

возрастающую функцию. Таким образом, и произведение их имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Поскольку лемма предыдущего n^o приложима к каждой из них в отдельности, она приложима и к их  разности, и мы сразу  получаем, что

Этим  все доказано, ибо в точке непрерывности  полученное выражение само собою обращается в f(х₀).

  Нужно сказать, что первоначально сформулированные самим Дирихле условия разложимости функции в ряд Фурье носили более частный характер. Именно, он установил следующее предложение:

  Признак Дирихле. Если функция f(х) периода 2π кусочно-монотонна в промежутке [-π, π] ⁷⁾ и имеет в нем не более, чем конечное   число   точек   разрыва,   то   ее   ряд   Фурье   сходится к сумме f(x₀) в каждой точке непрерывности и к сумме в каждой точке разрыва.

  С тех пор высказанные здесь  условия известны под именем «условий Дирихле».

  Так как функция, удовлетворяющая этим условиям, очевидно. имеет ограниченное изменение в любом конечном промежутке, то этот  признак формально перекрывается предыдущим признаком.

  Изложенных  признаков вполне достаточно для  удовлетворения практических потребностей анализа и его приложений. Другие предложенные признаки представляют, главный образом, теоретический интерес; на них мы  не имеем возможности останавливаться.

   Коснемся в  заключение вопроса о взаимоотношении  признаков Дини

и Дирихле -Жордана. Можно показать, что они несравнимы между собой, т. е. не вытекают один из другого. Рассмотрим сначала   функцию  f(х),   которая   в   промежутке  [-π,π] определяется так ⁸⁾: