Ряды Фурье

  

при x≠0, 
 

Эта функция  непрерывна и кусочно-монотонна  и, значит, удовлетворяет условиям Дирихле. В то же время интеграл Дини, относящийся к точке х = 0: 

 
 

явно расходится при любом  h>0.

  С другой стороны, если в промежутке [-π,π] определить функцию равенствами *:

  

  при x≠0, 

то в точке  х=0 заведомо выполняется условие Липшица:

,а следовательно и условие Дини. Однако на этот раз функция f(x) ни в   какой   окрестности   точки   х = 0  не имеет   ограниченного изменения. 

2.7 Случай непериодической функции.

  Вся построенная выше теория исходила на предположения, что заданная функция определена для всех вещественных значении х и притом имеет период 2π. Между тем, чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией f(x), иной раз даже заданной только в промежутке [-π,π].

  Чтобы иметь право применить к такой  функции изложенную теорию, введем взамен нее вспомогательную функцию f*(x), определенную следующим образом. В промежутке[-π,π] мы отождествляем f* с f:

f*(x)=f(x)      (-π<x≤π),                        (15)

затем полагаем

f(-π)=f*(π),

а на остальные вещественные значения x распространяем функцию f*(x) по закону периодичности.

  К построенной таким образом функции f*(x) с периодом 2π можно уже применять доказанные теоремы разложения. Однако если речь идет о точке х₀, лежащей строго между —π и π, то при проверке условий этих теорем нам пришлось бы иметь дело ввиду (15) лишь с фактически заданной функцией f(х). По той же причине и коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (1), не переходя к функции f*(х). Короче говоря, все доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию f(x), минуя вспомогательную функцию f*(x).

  Особого внимания, однако, требуют концы промежутка x= . При проверке для функции f*(х) условий какой-либо из теорем, скажем в точке х=π, нам пришлось бы иметь дело как со значениями вспомогательной функции f*(х) слева от x = π, где они совпадают с соответственными значениями данной функции f(x), так и со значениями f*(х) справа от х =π, где она совпадают уже со значениями f(х) справа от х =-π. Поэтому, если бы мы пожелали перефразировать для случаев точек x= . например, признак Дирихле—Жордана, то нам в обоих случаях следовало бы потребовать, чтобы f(х) имела ограниченное изменение как слева от х=π, так и справа от х=-π. При этом в качестве значения S₀ в обоих же случаях надлежало бы взять

.

Таким образом, если заданная функция f(x) даже непрерывна при x= ±π, но не  имеет периода 2π,  так что f(π)≠ f(-π), то при соблюдении какого-либо из достаточных дли сходимости ряда Фурье условий суммой этого ряда будет число

                                                                                                 ,                                         

отличное  как от f(— π), так и от f(π). Для такой функции разложение может иметь место лишь в открытом промежутке (— π, π).

  Следующее замечание заслуживает серьезного внимания читателя. Если тригонометрический ряд (2) сходится в промежутке (—π, π) к функции f(х), то ввиду того, что его члены имеют период 2π, он сходится всюду, и сумма его S(х) оказывается тоже периодической функцией от х с периодом 2π. Но эта сумма вне указанного промежутка вообще уже не совпадает с функцией f(х) (если последняя была задана на всей вещественной оси). Ниже это замечание будет проиллюстрировано многочисленными примерами.

  Отметим, наконец, что вместо промежутка [—π, π] можно было бы взять любой промежуток [α, α+2π] длины 2π.

2.8 Случай произвольного промежутка.

Предположим, что функция f(x) задана в промежутке [—π, π] произвольной длины 2l(l>0). Если прибегнуть к подстановке

                         (-π≤y≤π),

то получится  функция f( ) от y в промежутке [—π, π], к которой уже приложимы рассмотрения предыдущего n°. При соблюдении определенных условий, как мы видели, можно разложить ее в ряд Фурье:

,

коэффициенты которого определяются формулами Эйлера — Фурье:

,  .

(π=0,1,2…)                       (π=0,1,2…)                 

Вернемся теперь к прежней переменной x, полагая 

Тогда мы получим разложение заданной функции f(x) в тригонометрический ряд несколько измененного типа:

.                         (16). 

      Здесь косинусы   и   синусы   берутся   от углов,   кратные  не х, а  .

Можно было бы и  формулы   для   определения   коэффициентов  этого разложения преобразовать той же подстановкой к виду

, .   (17)

    (π=0,1,2…)                       (π=0,1,2…)                 

  В отношении концов промежутка x=±l сохраняют силу замечания, сделанные в предыдущем n^o относительно точек х=±π. Конечно, промежуток [-l,l] может быть заменен любым другим промежутком длины 2l, в частности, промежутком [0,2l]. В последнем случае формулы (17) должны быть заменены формулами

, .   (17*)

      (π=0,1,2…)                       (π=0,1,2…)  

    При всех оговорках относительно концов промежутка или относительно точек разрыва функции, мы осе же установили факт огромного принципиального значении: произвольно заданная в произвольном промежутке функция в очень широком классе случаев⁹⁾ оказывается разложимой в тригонометрический ряд, т. е. представляется единым аналитическим выражением — тригонометрическим рядом — во всей области определения функции. Далее мы найдем большое число примеров такого разложения функций, первоначально заданных в различных частях промежутка различными аналитическими выражениями, Аппарат тригонометрических рядов оказывается универсальным средством для «склеивания» функций, окончательно стирая грань между функциями, допускающими единое аналитическое представление во всей области определения, и функциями, определенными с помощью нескольких аналитических выражений

2.9  Разложения только по косинусам или только по синусам.

  Начнем  со следующего замечания: если заданная Р промежутке [—π,π] интегрируемая (в собственном или несобственном смысле) функция f(х) будет   нечетной,   то для нее

                              

В этом легко  убедиться, представив   интеграл  и виде  суммы  интегралов:  и заменив во втором  из них   х на - х. Таким же путем устанавливается, что в случае   четной   функции f(х):

                             

  Пусть теперь f(x) будет абсолютно интегрируемая в промежутке [-π,π] четная функция. Тогда произведение f(x)sinпх окажется нечетной функцией, и по сказанному

    

    (π=0,1,2…)                 

Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:    

f(x)~ . (18)

Так как  f(x) cos nх в этом случае тоже будет четной функцией то, применив сюда второе из сделанных выше замечаний, можем, коэффициенты а_n разложения написать в виде

     .       (19)

        (π=0,1,2…)                 

  Если  же  функция f(х)   будет   нечетной,   то   нечетной   будет и функции f (x)cos nx, так что

     .       (19*)

                                    (π=0,1,2…)       

Мы приходим   к   заключению,  что ряд   Фурье   нечетной функции содержит одни лишь синусы:

f(x)~ . (20)

При   этом   ввиду   четности   произведения  f(x) sin пх   можно писать:

                                                          (21)

                             (π=0,1,2…)

  Отметим попутно, что каждая функция f(x), заданная в промежутке [-π, π], может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих функции

                                    f(x)=f₁ (x)+ f₂ (x),

где                  ,       

Очевидно, что ряд Фурье функции f(x) как раз и составится из разложения

 

     Черт.123.   

Предположим, далее, что функция f(x) задана лишь в промежутке [0, π]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье (2), мы дополним определение нашей функции для значений х в промежутке [-π,π] по произволу, а затем применим сказанное ранее. Подчеркнутый  выше произвол в определении функции дает    возможность   получить   таким путем различные   тригонометрические   ряды. Если в какой-нибудь точке х, между 0 и π наша функция удовлетворяет одному из признаков, то все эти ряды будут в точке х₀ сходиться f(x₀) или в случае разрыва к .

Можно использовать произвол в определении функции в промежутке [-π,0] так, чтобы получить для f(x) разложение только по косинусам или только по синусам. Действительно, представим себе, что для 0 < x≤π мы полагаем

f(-x)=f(x) (22)

так что  в результате получится четная функция в промежутке [—π, π]   (черт. 123,а), к   тому   же   имеющая   даже   период  2π. Её разложение, как мы видели, будет содержать одни только косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по формулам (19), куда входят лишь значения первоначально заданной функции f(x).

  Аналогично, если дополнить определение функции f(х) условием (для 0<x≤π)

                 f(-π) = f(π), (23)

так, чтобы  она оказалась нечетной (рис. 123,б), то в ее разложении будут участвовать только члены с синусами. Коэффициенты его определяются по формулам (21).

  Таким образом, заданную в промежутке [0, π] функцию при соблюдении известных условий оказывается возможным разлагать как в ряд по косинусам, так и в ряд по синусам!

  Особого исследования требуют, впрочем, точки  х = 0 и x= π. Здесь оба разложения ведут себя по-разному. Предположим для простоты, что заданная функция f(х) непрерывна при x=0 и x = π, и рассмотрим сначала разложение по косинусам. Условие (22) прежде всего сохраняет непрерывность при х = 0, так что при соблюдении надлежащих условий ряд (18) при х = 0 будет сходиться именно к f(0).  Так как, далее,

f(-π + 0)=f(π-0)= f(π),

то и при  х =π имеет место аналогичное обстоятельство. 

  Иначе обстоит дело с разложением по синусам. Не вдаваясь в соображения  относительно нарушения непрерывности  условием (23) и т. п., мы просто заметим, что в точках х = 0 и x= π сумма ряда (20) явно будет нулем. Поэтому она может дать нам значения f(0) и f(π),очевидно, лишь в том случае, если эти значения равны нулю.

  Если  функция f(х) задана в промежутке [0,l] (l> 0), то, прибегнув к замене переменной, мы сведем вопрос о разложении ее и ряд по косинусам:

                          

или в ряд  по синусам:

                             

к  только что  рассмотренному. При  этом   коэффициенты   разложений вычисляются, соответственно, по формулам: