Ряды Фурье

 (24)

или

.  (25) 

2.10  Пример.

    Периодическая функция ƒ(x) с периодом 2π определена следующим образом:

    

    Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке     [-π, π]. Вычислим ее коэффициенты Фурье:

,  

 

                                 
 
 
 

    Следовательно, для рассматриваемой функции  ряд Фурье имеет вид:

     .

    Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.  

  §3 Характер сходимости рядов Фурье

3.1 Некоторые дополнения к основным леммам.

   Переходя к изучению самого характера сходимости рядов Фурье, мы остановимся сначала на достаточных условиях равномерной сходимости   этих рядов.

Для этого  нам, прежде всего, необходимо сделать  дополнение к первой   основной   лемме. Именно, вводя в рассмо ренные там интегралы различные параметры, мы будем интересоваться теперь вопросом о равномерном относительно этих параметров стремления интегралов к нулю.

  1°. Пусть функция g(t) определена и абсолютно  интегрируема в промежутке [A,B]; тогда оба интеграла

                               

при р→+ ∞ стремятся к нулю равномерно относительно переменных а и b, которые принимают произвольные значения в промежутке [А, В].

  Достаточно  рассмотреть первый из интегралов. Ввиду равномерной непрерывности функций

можно разбить по заданному ε>0 промежуток [А, В] точками

А =τ₀< τ₁<...< τ_i< τ_i+1<...< τ_n=B

на столь мелкие части, чтобы было

     (i=0,1,..,n-1).

Для интегралов вида

                                            ( i, j = 0,1,2,…n)

так как  их конечное число можно установить общее Δ>0, такое, что для р >Δ А все они по абсолютной величине уже будут < ε. Но, как легко видеть, интеграл

каковы бы ни были а и b, разнится (при любом р) меньше, чем на 2ε от одного из интегралов (1). Следовательно, при p> Δ он независимо от а и b по абсолютной величине будет <ε, что и требовалось доказать.

  2°. Можно утверждать, далее, что и интегралы

                                       

при р→+∞ стремятся к нулю равномерно относительно параметров а,b  и х, подчиненных лишь условиям

A ≤ х ± a, х ± b ≤ В.

Действительно, например, первый из них подстановкой

                     x ± t = u

может быть представлен  в виде

        так  что вопрос приводится к предыдущему случаю(1°).

  3°.  Наконец, если ввести в подинтегральное выражение еще произвольный множитель γ(t) с ограниченным изменением в [А, В], то и интегралы

                            

при р→+∞ также стремятся к нулю равномерно.

  Так как γ(t) представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций, то достаточно предположить самое γ(t) возрастающей. В таком случае,   по второй   теореме о   среднем

                    

(a≤τ≤b).

Ввиду ограниченности функции γ(t), вопрос и здесь приводится к уже рассмотренному случаю (2°).

  Перейдем  теперь ко второй основной лемме, ее мы дополним лишь следующим замечанием:

  4^о. Пусть функция g(t) непрерывна и монотонно возрастает в промежутке [А, В], содержащем внутри себя промежуток [а, b].   Тогда интеграл

                                    

(где    0<h ≤а - А   и   В - b)   при   p→+∞стремится   к пределу  π/2 g(x)   равномерно    относительно x в промежутке [a,b].

  Проследим применительно к данному случаю доказательство. Первый из интегралов (13), который сейчас напишется так:

                                      

стремится   к пределу π/2 g(x) равномерно    относительно   х

в [а,b] ввиду ограниченности g(x). С другой стороны, равномерная непрерывность функции g(x) в [A,B] дает нам возможность по заданному   ε > 0 выбрать независимо от х, изменяющегося в пределах   от а до b, число δ>0 так, чтобы было

|g(x±t)-g(x)|<ε при 0<t≤δ.

Разбивая  второй из интегралов (13), как и там, на сумму I₁ +I₂, имеем оценку (14) независимо не только от р, но и от х. Наконец, I₂ стремится к нулю равномерно относительно х, в силу 3°. Отсюда в совокупности и вытекает требуемое заключение.

3.2 Признаки равномерной сходимости рядов Фурье.

Теперь  нетрудно уже установить удобные  признаки, по которым можно было бы судить о равномерной сходимости ряда Фурье в некотором промежутке [а,b] к самой функции f(х). Эту функцию естественно, прежде всего, предположить непрерывной в названном промежутке. Сформулируем на первом месте видоизмененный

  Признак Дани. Ряд Фурье функции f(x), непрерывной в промежутке [а,b], сходится к ней равномерно в этом промежутке, если при некотором h>0 для всех х из [а,b]интеграл 

                                                                                                                    (2)

сходится, и к тому же равномерно, относительно х (при t= 0).

Напомним, что в этом случае

                            

                                 (3) 

По произвольно  заданному ε>0, в силу сделанного предположения, найдется такое не зависящее от х число δ>0, что для  всех  х из [а,b]

                            

Тогда   интеграл  (3)   представится   в   виде  суммы  При этом, очевидно, каково бы ни было п,

для   всех   указанных   значений   х   одновременно.

Обращаясь к  интегралу                    

                                      

мы видим, что  интегралы

                    

стремятся при  n→∞ к нулю равномерно относительно х в [а, b], в силу пункта 3^o предыдущего п°. То же справедливо и для интеграла

                       

ввиду ограниченности функции f(x) в промежутке [a,b]. Таким образом, существует такой не зависящий от х номер N, что дли n>N и интеграл (3) по абсолютной величине станет <ε, каково  бы   ни  было x из [a,b]. Этим все доказано.

Отсюда, в частности, вытекает

  Признак Липшица. Ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции равномерно в промежутке [а,b] если в некотором более широком промежутке [А, В] (А<а<b<В) выполняется условие

|f(x)—f(x)|≤С|x'—x|^α,

где х, х'— любые принадлежащие   [А, В] точки, а С и α— положительные постоянные (α≤1).

  Действительно, если за h выбрать наименьшее из чисел В — b и а — А, то интеграл (2) при всех х в [а,b] мажорируется следующим сходящимся интегралом: 

                          

  Очевидно  условие Липшица (при α = 1) выполняется, а следовательно, равномерная сходимость к функции f(х) осуществляется в промежутке   [а, b], если в более широком промежутке функция f(х) имеет ограниченную производную f(x).

  Впрочем, это условие содержится как частный  случай и в следующем:

  Признак Дирихле — Жордана. Ряд Фурье функции f(x) сходится к этой функции равномерно в промежутке [а,b], если в некотором более широком промежутке [А, В] функция f(x) непрерывна и имеет ограниченное изменение.

Следуя рассуждениям, представим интеграл

            

в виде суммы интегралов: , выбирая положительное число h

меньшим а— А и В—b, независимо от значений х в [а,b]. Относительно второго из этих интегралов сразу ясно, что он при п→∞ стремится к 0 равномерно относительно х, в силу 3°. Из первого же интеграла, полагая

 

мы прежде всего выделим часть

                 

которая, также  в силу 3°. равномерно стремится к нулю*.Обратимся, наконец, к интегралу

                  

  Так как в промежутке [А, В] функция f(х) представляется в виде разности двух   непрерывных   возрастающих  функций:

                                f(x)=f₁(x)-f₂(x),

то, применяя к каждой из них предложение 4°, убеждаемся, что этот интеграл стремится к  пределу  равномерно же. Этим и завершается доказательство.

  В частности, если функция f(x), заданная в промежутке [—π, π], непрерывна в этом промежутке и имеет в нем ограниченное изменение, а также удовлетворяет условию

                               f(-π) =f(π),

то  ее ряд Фурье во всем промежутке сходится к ней равномерно.

  Для доказательства достаточно распространить функцию по закону периодичности, с периодом 2π, на всю числовую ось, а тогда за промежуток [А, В] взять любой, содержащий внутри себя промежуток [— π, π]. 

  Заключение.     

  Можно сделать вывод, что ряды Фурье широко применяются в инженерно-технических расчетах. Они часто встречаются при рассмотрении ряда задач измерительной техники, особенно при исследовании колебательных процессов в измерительных системах, а также при анализе результатов измерений нестационарных параметров.