Ряды Фурье

                                                         (17*)

   Пусть в промежутке [a, b] дана какая-нибудь ортогональная система {φn(x)}. Зададимся целью разложить определенную в [а, b] функцию f(x) в «ряд по функциям φ» вида.

                    (18)

   Для определения коэффициентов этого разложения, допуская его возможность, поступим так, как мы это сделали в частном случае выше. Именно, умножив обе части разложения на φm (х), проинтегрируем его почленно:

   В силу ортогональности [см. (15) и (16)], все интегралы справа, кроме одного, будут нулями, и легко получается:

         (m=1,2,3,…).                                    (19)

[формулы (7), (11), (12) являются частными случаями этой формулы]. 

   Ряд (18) с коэффициентами, составленными по формулам (19), называется (обобщенным) рядом Фурье данной функции, а сами коэффициенты — ее (обобщенными) коэффициентами Фурье относительно системы {φn(х)}. Особенно просто выглядят формулы (19) в случае нормальной системы; тогда

   

                                               (19a)

   Конечно, здесь могут быть повторены те же замечания, какими мы закончили предыдущий номер. Обобщенный ряд Фурье, построенный для данной функции f(x), связан с нею лишь формально. И в общем случае связь между функцией f(x) а ее (обобщенным) рядом Фурье обозначают так:

   

                    (18a)

   Сходимость второго ряда к функции f{x), как и в случае тригонометрического ряда, подлежит еще исследованию.[3] 

§ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ФУРЬЕ

2.1 Постановка вопроса - Интеграл Дирихле.

Пусть f(x) будет непрерывная или кусочно-непрерывная функция с периодом 2π. Вычислим постоянные (ее коэффициенты Фурье);

                    (m=1,2,3,…).

                          (m=1,2,3,…).                       (1)

и по ним составим ряд Фурье нашей функции

                                                  (2)

Читатель замечает здесь маленькое отступление от обозначений: коэффициент мы определяем теперь по обшей формуле для при m= 0, в разрез с формулой (7) упомянутого номера, но зато свободный член ряда пишем в виде .

   Замечание. Если функция F(и) кусочно-непрерывна в любом конечном промежутке и к тому же имеет период 2π, так что

F(u + 2π) = F(u),

      то величина интеграла

.

   по промежутку    длины   2π не зависит  от    а. 

      Действительно, ограничиваясь случаем непрерывной функции F, имеем

       Если в последнем интеграле сделать подстановку u = 2π+t, то он приведется к интегралу

и лишь знаком будет отличаться от первого интеграла. Таким образом, рассматриваемый интеграл оказывается равным интегралу

уже не содержащему α. Легко распространить этот результат и на случай любой кусочно-непрерывной функции.

     Этим замечанием мы в последующем будем пользоваться. В частности, и в формулах (1), определяющих коэффициенты Фурье» интегралы могут быть взяты по любому промежутку длины 2п; например, можно было бы писать

                    (m=1,2,3,…).

                          (m=1,2,3,…).                       (1a)

и т.п.

   Для того чтобы исследовать поведение ряда (2) в какой-нибудь определенной точке х = x составим удобное выражение для его частичной суммы

Подставим вместо а_т и b_т их интегральные выражения (1) и подведем постоянные числа cos mx , sinmx под знак интеграла: 

 

Легко проверить тождество

Воспользовавшись им для преобразовxания подынтегрального выражения, окончательно получим

                      (3)   
Этот интеграл обыкновенно называют интегралом Дирихле (хотя у Фурье он встречается гораздо раньше!).

Так как мы имеем здесь дело с функциями от u периода 2π, то промежуток интегрирования [—π, π] по сделанному выше замечанию можно заменить, например, промежутком [х₀— π, х₀+π] _:

 

Подстановкой t = u - х₀ преобразуем этот интеграл к виду:

^{,затем, разбивая интеграл на два:  и приводя второй интеграл путем изменения знака переменной тоже к}

^{промежутку [0,π], придем к такому окончательному выражению для частичной суммы ряда Фурье:}

                (4)

Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметра n.. Своеобразие представляющейся здесь задачи заключается в том, что в этом случае не может быть использован предельный переход под знаком интеграла ⁴⁾, который до сих пор служил нам единственным средством для разыскания предела интеграла, содержащего параметр. И с таким положением вещей нам в этой главе придется сталкиваться систематически.

2.2 Первая основная лемма.

Прежде чем продолжить наше исследование, докажем следующее важное для дальнейшего утверждение, которое принадлежит Риману:

   Если функция g(t) непрерывна или кусочно-непрерывна в некотором конечном промежутке [а, b], то

     

u, аналогично,

       

   Доказательство достаточно провести для первого из этих пределов, предполагая функцию g(f) непрерывной.

   Заметим предварительно, что, каков бы ни был конечный промежуток [α,β], имеем такую оценку:

                      (5)

Разобьем промежуток [а, b] на n частей точками

                   (6)

и в соответствии с этим разложим и интеграл 

Обозначив через m_l наименьшее из значений g(f) в l-м промежутке, можно преобразовать это выражение так:

   

Если   ω_i есть колебание функции g(f) в i-м промежутке, то в его пределах        g(t) – m_i ≤ ω_i ; с учетом неравенства (5) теперь легко получать для нашего интеграла стенку;

Задавшись произвольным числом е>0, выберем сначала дробление (6) так, чтобы было так что

                                   

это сделать можно ввиду непрерывности функции g. Теперь, так как числа m _i   тем самым уже определены, можем взять

                                

и для этих значений р получим

                                

что и доказывает наше утверждение.

Мы обращаем внимание читателя на то, что уже здесь пределы, к которым стремятся интегралы, установлены помимо предельного перехода под знаком интеграла.

Если вспомнить формулы (1), выражающие коэффициенты Фурье, то в качестве первого непосредственного следствия отсюда получается утверждение:

Коэффициенты Фурье a_m, b_m кусочно-непрерывной функции при m→∞ стремятся к нулю. 

2.3 Принцип локализации.

Вторым непосредственным же следствием доказанной леммы является так называемый «принцип локализации»

Взяв произвольное положительное число δ<π разобьем интеграл в (4) на два: Если второй из них переписать в виде

                     

то станет ясно, что множитель при синусе является кусочно-непрерывной функцией от t в промежутке [δ, π] ибо такова функция от t, стоящая в числителе, в то время как знаменатель 2sin t, не обращающийся в нуль в этом промежутке, сохраняет непрерывность. В таком случае по лемме этот интеграл при n→∞ стремится к нулю, так что и самое существование предела для частичной суммы ряда Фурье, s_n(x₀) и величина этого предела целиком определяются поведением одного лишь интеграла

                                        (7)

Но в этот интеграл входят лишь значения функции f(x), отвечающие изменению аргумента в промежутке от х₀ — δ до х₀ + δ .Этим простым соображением и доказывается «принцип локализации», состоящий в следующем:

   Теорема. Поведение ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке х₀ зависит исключительно от значений, принимаемых этой функцией в непосредственной близости рассматриваемой точки, т. е. в сколь угодно малой ее окрестности.

Таким образом, если, например, взять две функция, значения которых в произвольно малой окрестности x₀ совпадают, то как бы они ни разнились вне этой, окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в точке х₀ ⁵⁾ одинаково: либо оба сходятся, и притом к одной и той же сумме, либо оба расходятся. Этот результат покажется еще более разительным, если подчеркнуть, что самые коэффициенты Фурье рассматриваемых функций, зависящие от всех их значений, могут оказаться совершенно различными!

   Эта теорема обычно связывается с именем Римана, ибо является следствием более общей его теоремы, доказанной в 1853 г. Следует, однако, отметить, что идея «принципа локализации» содержится уже в одной работе Остроградского 1828 г. по математической физике, а также отражена в исследованиях Лобачевского 1834 г, по тригонометрическим рядам.

2.4 Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье.

   Возвращаемся к прерванному исследованию поведения частичной суммы 
s_n(х₀) Фурье, для которой мы получили интегральное выражение (4). Отметим, что упомянутое равенство имеет место для каждой 
функции f(x), удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять f(х)≡1, то и s_n(х₀) ≡1, и из (4) получим, что