Теория вероятности

Содержание 
 

1. Ведение……………………………………………………..……………...…….2-3

2. Понятие события……...……………………………………………………...…4-6

3. Операции над  событиями...…………………………………………………….7-9

4. Аксиоматика  теории вероятности……………………………………..……..9-12

     - построение вероятностного пространства;…………………………….9-10 - классическое определение вероятности………………………………11-12

5. Основные теоремы  теории вероятности……………………………...….…13-15

     - теоремы сложения вероятности;…………………..…………………..13-15

     - теорема умножения вероятностей;………………………………………..16

     - формула полной вероятности……………...……………………………...17

6. Заключение……………………………………………………………………….18

7. Приложение …………………………………………………….……………19-23

8. Библиографический список  ………………………......................................24-25

Введение

 

     Теория  вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки  были заложены великими математиками. Например, Ферм, Бернулли, Паскаль. Позднее  развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой  вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные  и статистические методы в настоящее  время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием  вычислительной техники. Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.   Как уже говорилось, раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатом проведения достаточно большого числа испытаний, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. По определению, приведенному в БСЭ, теория вероятностей есть математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятность других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.  

     Французский естествоиспытатель Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столетии подбрасывал монету 4040 раз  – герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в нале прошлого века подбрасывал  её 24000 раз – герб выпал 12012 раз. В 70-х г.г. XX века американские естествоиспытатели повторили опыт. При 10000 подбрасываниях герб выпал 4979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них  и является случайным событием, при  неоднократном повторении подвластны объективному закону.

     Теория  вероятностей и изучает закономерности, управляющие массовыми случайными событиями.

     В повседневной жизни мы часто пользуемся словами "вероятность", "шанс" и т.д.  "К вечеру, вероятно, пойдет дождь", "Вероятнее всего, мы поедем  

в воскресенье  за город", "Это совершенно невероятно", "Много шансов, что я успешно  напишу контрольную работу" и  т.д. - все эти выражения как-то оценивают вероятность того, что  произойдет некоторое случайное  событие. Однако, чтобы можно было применять к оценке вероятностей математические методы, надо дать этому  понятию строгое определение. Приведем цитату из БСЭ, дающую представление  о том, что такое вероятность:

       "Вероятность математическая - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях". Попытаемся превратить это описание понятия вероятности в точное математическое определение и выяснить, как связана вероятность с частотой появления данного события в длинной серии испытаний.

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Понятие события  

     Любой исход эксперимента мы будем называть элементарным событием.

        Все эти исходы равновозможные и взаимоисключающие друг друга. Например, в опыте, состоящем в подбрасывании кубика  всего 6 элементарных событий.

        События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…  

Определение:

     Два события А и В называются несовместными, если в условиях эксперимента эти  события не могут происходить  одновременно, т.е. происходит только одно из них.

     События называют несовместными, если появление  одного из них исключает появление  других событий в одном и том  же испытании. В противном случае события называются совместными.

     Например, события «пошел дождь» и «наступило утро» являются совместными, а события  «наступило утро» и «наступила ночь» - несовместными.  

Определение:

     Событие называется случайным, если в результате эксперимента оно может произойти, либо не произойти.

       Так, например, при бросании игральной  кости выпадение четного числа  очков, т.е. появление либо грани  с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным  событием.

     С случайными событиями (или явлениями), то есть с такими, которые могут  либо произойти, либо не произойти в  результате какого-то испытания, мы встречаемся  в жизни очень часто.

     Ученик  извлекает билет – это испытание. Появление при этом билета №13 –  случайное событие, билета №5 – другое случайное событие. Выбор наугад какой-то страницы в книге – это  испытание. То, что первой буквой на этой странице окажется «м» – это  случайное событие.

     Например, рассмотрим следующие события:  

 

     События А₁, А₅ произойдут закономерно, А₂, А₃, А₄ – случайные. 
 

Определение: 

     События А и В называются совместными, если в условиях эксперимента появление  одного события не исключает появление  другого.

       Например, подбрасываем игральный  кубик. Пусть

                          А - выпадение очков, кратных  двум,

                          В - выпадение числа, кратных  3.

       Эти события совместны, т.к.  на грани может выпасть 6.

Определение:

     Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате эксперимента обязательно  должно произойти одно из этих событий. И эти события равновозможны, взаимоисключающие единственно  возможные исходы.

     События называют равновозможными, если есть основания  считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Примеры:

1. стреляем по мишени.

              А - либо попали

              В - либо не попали

       Это полная группа событий.

     2) «выпадение герба» и «выпадение цифры» при бросании монеты – равновозможные события. «Изъятие из набора домино дубля» и «изъятие из набора домино костяшки с разными очками» - неравновозможные события, так как дублей в наборе домино всего 7, а остальных костяшек 21. 

Определение:

     Событие называется достоверным, если в ходе эксперимента оно происходит всегда (т.е. оно является единственным возможным  исходом данного события).

       Например, идет экзамен. Оценка  в любом случае будет получена, либо положительная, либо отрицательная,  т.е. всегда. 

Определение:

     Событие называется невозможным, если в ходе эксперимента оно некогда не наступает.

       Например, в урне только синие  шары. Вытащить желтый шар из  этой урны просто невозможно.

     Конкретный  результат испытания называется элементарным событием. В результате испытания происходят только элементарные события. Совокупность всех возможных, различных, конкретных исходов испытаний  называется пространством элементарных событий. Например: Испытание - подбрасывание  шестигранного кубика. Элементарное событие - выпадение грани с “1”  или “2”. Совокупность элементарных событий это пространство элементарных событий.     Сложным событием называется произвольное подмножество пространства элементарных событий. Сложное событие в результате испытания наступает  
 

тогда и только тогда, когда в результате испытаний  произошло элементарное событие, принадлежащее  сложному.     

     Таким образом, если в результате испытания  может произойти только одно элементарное событие, то в результате испытания  происходят все сложные события, в состав которых входят эти элементарные.    Например: испытание - подбрасывание кубика. Элементарное событие - выпадение грани с номером “1”. Сложное событие - выпадение нечетной грани. Введем следующие обозначения:        А - событие;           w - элементы пространства W;        W - пространство элементарных событий;      U - пространство элементарных событий как достоверное событие;  V - невозможное событие.         Иногда для удобства элементарные события будем обозначать E_i, Q_i.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Операции  над событиями.        

     1. Событие C называется суммой A+B, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в A, так и в B. При этом если элементарное событие входит и в A, и в B, то в C оно входит один раз. В результате испытания событие C происходит тогда, когда произошло событие, которое входит или в A или в B. Сумма произвольного количества событий   состоит из всех элементарных событий, которые входят в одно из Ai, i=1, ..., m.    C=C₁ C₂ … C_n C₁+C₂+…+C_n           2. Событие B называется произведением событий A₁,А₂,…, А_n, если оно состоит из всех этих элементарных событий. Произведением произвольного числа событий   называется событие состоящее из элементарных событий, входящих во все Ai, i=1, ..., m.          B = A₁ A₂ ··· A_n A₁· A₂ ·····A_n 

     3. Разностью событий A-B называется  событие C, состоящее из всех  элементарных событий, входящих  в A, но не входящих в B.     D=A-B           4. Событие   называется противоположным событию A, если оно удовлетворяет двум свойствам.          Достоверное: А_d= ={w_i} (состоит из всех элементарных событий).  Невозможное: ┐А_d=Ш (пустое событие, т.е. противоположное к достоверному).            5. События A₁, A₂,…, A_n называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания (не имеют общих элементарных событий).            A_i ·A_j=Ш, i,j =