C=AЧB=V             Тут V - пустое множество.         Частость наступления события.        Пусть пространство элементарных событий конечно и состоит из m элементарных событий. В этом случае в качестве возможных исходов испытаний рассматривают 2^m событий - множество всех подмножеств пространства элементарных событий W и невозможное событие V.      Пример:                W=(w₁, w₂, w₃)                                                      A₁=V                     A₂=(w₁)                    A₃=(w₂)                    A₄=(w₃)                     A₅=(w₁, w₂)                    A₆=(w₂, w₃)                                                 A₇=(w₁, w₃)                                                A₈=(w₁, w₂, w₃)            Обозначим систему этих событий через F. Берем произвольное событие AОF. Проводим серию испытаний в количестве n.  n - это количество

     испытаний, в каждом из которых произошло  событие A.     Пусть в результате некоторого испытания произошло событие A. По определению сумы это означает, что в этом испытании произошло некоторое событие A_i. Так как все события попарно несовместны, то это означает, что никакое другое событие A_j (i№j) в этом испытании произойти не может. Следовательно:           n_A=n_A1+n_A2+...+n_Ak          Теория вероятности используется при описании только таких испытаний, для которых выполняется следующее предположение: Для любого события A частость наступления этого события в любой бесконечной серии испытаний имеет один и тот же предел, который называется вероятностью наступления события A.             Следовательно, если рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной  (достаточно длинной) серии испытаний.  К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Аксиоматика теории вероятности.      

      Теория  вероятности как наука была построена  на аксиоматике Колмогорова.             

Построение  вероятностного пространства.

 

    Последовательно строим вероятностное пространство.

    Этап 1:

    Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться  одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì e, B Ì e наблюдаемы, то наблюдаемы и события .

    Система событий F называется полем событий  или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì F выполняется:

1. Дополнения
2. (A+B) Î F, (A×B) Î F
3. все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
4. все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
5. все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.

    Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.

Множество всех подмножеств конечного числа  событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.

    Этап 2:

    Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.

Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.

1.   
2. P(U)=1.
3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.

     .      Если  , то      .

    Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения. 
 

    Пример: В пространстве R¹ зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³x>b, b¹a.

    Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³x>b, но и расширением полей вида a>x³b, a³x³b.

    Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.

1.    .    P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
2. P(A) Î [0, 1]       P(U)=1.
3. Пусть имеется A₁, A₂, A₃,..., A_k - система попарно несовместных событий

           Если  , то      .

    Классическое  определение вероятности.

 

    Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий и все элементарные события равновероятны, т.е. ни одному из них из них нельзя отдать предпочтения до испытания, следовательно, их можно считать равновероятными.

    Тогда достоверное событие    m - количество равновероятных событий

     ,                  ,             

    Пусть произвольное событие  Тогда , т.е. событие A состоит из k элементарных событий.

    Если  элементарные события являются равноправными, а, следовательно, и равновероятными, то вероятность наступления произвольного  события равна дроби числитель  которой равен числу элементарных событий, входящих в данное, а знаменатель - общее число элементарных событий.     Условная вероятность.

    P(A/B)

    Условной  вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло  событие B.

    Вывод формулы условной вероятности для  случая равновероятных элементарных событий 
 
 

m

r

B

A

A×B

 
 

    Действительно, в данном испытании произошло  одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность  наступления произвольного элементарного  события, входящего в B равна 1/t. Тогда  по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

    

      
 

    В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности  она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Основные  теоремы теории вероятности 

1. Теоремы сложения вероятности

 

   Пусть А, В – случайные  события.

Определение:

Под суммой двух событий (А+В) понимается такое событие, которое имеет место <=>   произошло хотя бы одно из событий А или В (либо происходит А, либо происходит В, либо они происходят одновременно).  Пример 1 (суммы двух событий).

       Стреляем по мишени из двух  орудий.

Пусть А –  попали в мишень при стрельбе из 1^го орудия.

           В – попали в мишень из 2^го орудия.

       Тогда А+В – либо мы попали  из 1^го орудия, либо попали из 2^го орудия, либо попали одновременно.           Замечание. Если А и В – это несовместные события, то А+В – либо произошло А, либо произошло В. Не попадание – это будет противоположное событие к сумме. 

       Теорема 1 (теорема сложения вероятностей для несовместных событий).

       Вероятность суммы двух несовместных  событий равна сумме вероятностей  этих событий.

                           Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

{   Пусть  n – общее число всех возможных исходов, m – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события А, k – число исходов, благоприятствующих наступлению события В. Тогда m+k – число исходов, благоприятствующих наступлению А+В. Используя определение классической вероятности, получаем:

           Р(А+В) = = + = Р(А)+Р(В) }

   Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий     А₁, А₂, …А_n

     P =

     Пример 2.  В урне находятся три белых шара, пять красных, два синих. Какова вероятность того, что шар, извлеченный из урны, не белый?

       Обозначим:

   { А  – шар не белый

       В – шар, извлеченный из  урны, красный 

       С – шар, извлеченный из  урны, синий 

Число всех исходов  n=10, т.к. шаров всего 10.

Число благоприятствующих исходов для В равно 5.

Число благоприятствующих исходов для С равно 2, т.е.

     P(B)= = ;  P(C)= =

    

Событие А=В+С, т.к. В и С  – несовместны, следовательно, применим теорему 1.

     Р(А) =Р(В)+Р(С)= + =   }

 Определение:

Произведением двух случайных событий А и  В называется (А·В) событие, состоящее  в том, что события А и В  наступают одновременно.

 Пример 3.  А – деталь стандартная.

                           В – деталь окрашенная.

                           А·В – деталь стандартная и  окрашенная. 

Теорема 2  (теорема сложения для двух совместных событий)

       Если события А и В совместные, то вероятность суммы этих  двух событий равна сумме вероятностей  этих событий без вероятности  наступления произведения этих  событий.