Теория вероятности

                            Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)

{     Рассмотрим все исходы, в которых  появляются события А и В.

       Возможны следующие события:

1. А·В (А наступило, В – не произошло)
2. Ā·В (В – происходит, А – не произошло)
3. А·В  

       Все эти три события уже  несовместны, т.е. одновременно  наступить не могут. Тогда

       А+В=А·В+Ā·В+А·В    

Так как события несовместны, то по теореме 1

       Р(А+В)=Р(А·В)+Р(Ā·В)+Р(А·В)       (*)

Так как  Ā·В  и А·В – несовместны, то событие  В наступит, если имеет место либо Ā·В, либо А·В, поэтому  В=Ā·В+А·В. 

По теореме 1,   Р(В)=Р(Ā·В)+Р(А·В), отсюда Р(Ā·В)=Р(В)-Р(А·В).

Аналогично, т.к. А·В и А·В – несовместны  и А=А·В+А·В и по теореме 1   Р(А)=Р(А·В)+Р(А·В), значит

Р(А·В)=Р(А)-Р(А·В).

Подставим получившееся равенство в (*).

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)-Р(А·В)+Р(А·В), т.е.

       Р(А+В)=Р(А)-Р(А·В)+Р(В)

Теорема доказана.  }

       Пример 4. Найти вероятность того, что при подбрасывании игральной кости выпадает четное или кратное 3 число очков.

{    Обозначим

       А – выпадение четного числа  очков

       В – число очков, кратных  3

     Всего  исходов 6. Наступлению событию  А благоприятствует три исхода (выпадение 2, 4 либо 6). Наступлению  событию В благоприятствует два  исхода (выпадение 3 или 6).

       Т.к. события А и В – являются  совместными, то 

                        

 Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)

       Вычислим Р(А),  Р(В),  Р(А·В)

     Р(А) = =

     Р(B) = =

     Р(А·В ) = = , поэтому

     Р(А+В ) = + - = = } 

  Теорема 3.   Вероятность суммы полной системы событий равна 1.

  {  Пусть  А₁, А₂, …А_n – полная группа событий, тогда событие А₁+ А₂+…+ А_n - является достоверным событием.

        По свойству вероятности имеем

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=1, поскольку

              А₁, А₂, …А_n полная группа событий, то

              Р(А₁+ А₂+…+ А_n)= Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n), поэтому

              Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1  } 

2. Теорема умножения вероятностей

Определение: 

Событие А называется независимым  от события В, если вероятность события  А не изменится  от того, произошло  событие В или  нет. В противном  случае, событие А  называется зависимым  от события В.

Определение: 

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называют условной вероятностью события А  и обозначают Р(А\В), либо Р_В(А).

       Пример 5. Бросают две игральные кости. Сумма выпавших очков равна 6. Вычислить вероятность того, что одна из цифр этих очков равна 2.

{    Будем  обозначать через (а, в) возможные  исходы из числа всех исходов,  а – количество очков, выпавших  на первой игральной кости,  в – количество очков, выпавших  на второй игральной кости.

     Тогда  возможные исходы:

       (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)

А – сумма  цифр, равная 6

В – выпала цифра 2

     Р_А(В)=     (2 благоприятствующих исхода из возможных 5 исходов)} 
 

Теорема 4 (Теорема умножения вероятности).

       Вероятность совместного появления  двух событий (А·В) равна произведению  одного из этих событий на  условную вероятность другого  события.

              Р(А·В)=Р(А)·Р_А(В)=Р(В)·Р_В(А).

    

  {  Пусть  n – общее число исходов, k – число исходов, благоприятствующих наступлению событий А, и из этих k-событий, m – благоприятствует наступлению события В, тогда наступлению А·В благоприятствует m - исходов, следовательно (по классическому определению вероятности)

Р(А·В) = = =Р_А(В)·Р(А) }

      Следствие: Если события А и В независимые, то вероятность совместного наступления этих событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

                Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

       Пример 6. В ящике 6 белых и 8 черных шаров. Из ящика вынули два шара (не возвращая вынутый шар в ящик). Найти вероятность того, что оба шара белые.

{     Обозначим   А – первый, вынутый шар, белый.

                             В – второй, вынутый шар, белый.

                             С – оба шара – белые,  тогда

                             С=А·В.

       По теореме умножения вероятностей  для случая зависимых событий  имеем:

                 Р(С)=Р(А·В)=Р(А)·Р(В\А)=Р(А)·Р_А(В)

     Вычислим  Р(А), Р_А(В)    

       Р(А) = = = (вероятность появления первого белого шара);

     РА(В) = = (вероятность появления второго белого шара в предположении, что первый белый шар уже вынут).

        Следовательно,   Р(А·В) = = } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Формула полной  вероятности

       Пусть событие А может произойти  совместно с одним и только  одним событием Н₁, Н₂, …Н_n , которые образуют полную группу событий. События Н_i – принято называть гипотезами. 

Теорема 5. Вероятность события А равна сумме попарных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условные вероятности события А.

Р(А)= - формула полной вероятности, где

{ Так как Н₁;Н₂;…;Н_n – несовместные, то Н₁А;Н₂А;…;Н_nА – несовместные, очевидно   А=Н₁А+Н₂А+…+Н_nА

       По теореме о сложении несовместных  событий, имеем

                                                          (теорема 5)

       Р(А)=Р(Н₁А)+Р(Н₂А)+…+Р(Н_nА)=

                                     =Р(Н₁)Р_Н1(А)+Р(Н₂)Р_Н2(А)+…+Р(Н_n)Р_Hn(А)    }

A =

Р_n = n’

C =  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

     Теория  вероятности изучает случайные  события. Вероятность – это количественная мера возможности появления события.        Основные формулы: 

ОSP (A) ≤ 1

P (A) =

C=A+В

С=А·В

С =

P(A+B)=P(A) +P(B)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

P(A·B)=P(A)·P(B)

P(A·B)=P(A)·P(B/A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                              Приложение

 

     Задача№ 1

       Техническое устройство, состоящее  из трех узлов, работало в  течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р₁, второй – с вероятностью р₂, третий – с вероятностью р₃. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).

     p₁=0,4       p₂=0,6      p₃=0,9 

     Решение:

     Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда - первый узел был исправен в промежуток времени t, - был исправен второй узел, - был исправен третий узел. 

     а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей имеем:

       

     б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:

       

     в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:

     

     События несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:

     

     

       

     г) Пусть событие D₁ – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:

     

      .

Задача  № 2

 

     По  линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В  – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности  искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

     Решение:

     Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие - искажение при передаче символа А, событие и - искажения при передаче символов В и С соответственно.

     По  условию вероятности этих событий  равны:

      , , , ,

     Если  события  , и - искажения при передаче символов, то события , и - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:

     

     Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.

     Можно выдвинуть следующие гипотезы:

     Н₁ – переданы символы АА,

     Н₂ – символы АВ,

     Н₃ – символы ВА,

     Н₄ – символы АС,

     Н₅ – символы СА,

     Н₆ – символы ВВ,

     Н₇ – символы ВС,

     Н₈ – символы СВ,

     Н₉ – символы СС.

     Вероятности этих гипотез: