Одномерные комплексные отображения:множества Жюлиа,Мандельброта и Ньютона

  МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ

  ГОУ ВПО «Чувашский государственный  педагогический

  университет имени И. Я. Яковлева» 
 

  кафедра геометрии 

М. А. Ильмухина 

  Одномерные  комплексные отображения:

  фракталы  Жюлиа, Мандельброта и Ньютона 

Выпускная квалификационная работа 
 
 

  Научный руководитель – к. ф.-м. н., доц. Абруков Д.А. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Чебоксары 2012

Содержание

1. Постановка вопроса 4

2. Цель работы 5

3.Методика  исследования. 5

4. Структура и объём  работы 5 

Глава 1. Фракталы 6

§1. Понятие фрактала 6

§2. Самоподобие 9 

Глава 2. Одномерные комплексные  отображения 11

§1. Итерации комплексных  функций. Множества  Жюлиа 11

§2. Основы теории множества  Жюлиа 12

§3. Множества Жюлиа 15

§4. Орбиты во множествах Жюлиа 19

§5. Хаос и множества  Жюлиа 23 

Глава 3. Множество Мандельброта 25

§1. Множество Мандельброта 25

         1.1. Роль критической орбиты 36

         1.2. Периоды и обрамление 37

         1.3. Построение множества Мандельброта 41 

Глава 4. Фракталы Ньютона 43

§1. Фракталы Ньютона 43 

Глава 5. Приложение (решение  задач на Pascal ABC) 47 

Библиографический список 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Постановка вопроса

  Заслуживает внимания тот факт, что появление  фракталов (еще не получивших этого  имени) в математической литературе около ста лет назад было встречено с прискорбной неприязнью, как это бывало и в истории развития многих других математических идей. Один известный математик, Шарль Эрмит, даже окрестил их монстрами. По крайней мере, общее мнение признало их патологией, представляющей интерес только для исследователей, злоупотребляющих математическими причудами, а не для настоящих ученых.

  В результате усилий Бенуа Мандельброта такое отношение изменилось, и фрактальная геометрия стала уважаемой прикладной наукой. Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хаусдорфа, предложенной в 1919 году. За много лет до появления его первой книги по фрактальной геометрии, Мандельброт приступил к исследованию появления монстров и других патологий в природе. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение для моделирования лесного и горного ландшафтов, флуктуации уровня рек и биения сердца. С выходом в свет его книг приложения фрактальной геометрии стали появляться как грибы после дождя.

  Эта работа будет посвящена изучению фракталов.

2. Цель работы

  Изучить фракталы Жюлиа, Мандельброта и Ньютона.

3.Методика  исследования.

Использован язык программирования Pascal ABC.

4. Структура и объём работы

  Дипломная работа состоит из общей характеристики работы, четырех глав списка использованной литературы, включающего три наименования и приложения с решениями задач на Pascal ABC.

  Полный объем работы составляет 50 страницы машинописного текста.  
 

 

  

  Глава 1. Фракталы

  §1. Понятие фрактала

  Сравнительно  давно в математике возник образ  объекта, более объемистого, но тем не менее сходного с линией. Некоторым ученым было трудно примириться с понятием линии, не имеющей ширины, поэтому постепенно ими стали изучаться геометрические формы и структуры, имеющие дробную пространственную размерность. На смену непрерывным кривым, обладающим всеми своими производными, пришли ломаные или очень изрезанные кривые. Ярким примером такой кривой является траектория броуновской частицы. Так в науке возникло понятие фрактала.

  Фракталами  называются геометрические объекты: линии, поверхности, пространственные тела, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он более или менее единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. Так, при увеличении маленькие фрагменты фрактала получаются очень похожими на большие. В идеальном случае такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т.е. ему, как говорят, присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.

  Конечно, для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины , такой, что на расстояниях его основное свойство — самоподобие — пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин > , где — характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах , удовлетворяющих соотношению Такие ограничения являются довольно естественными, потому что, когда мы приводим в качестве примера фрактала — изломанную, негладкую траекторию броуновской частицы, то мы понимаем, что этот образ является очевидной идеализацией. Дело в том, что на маленьких масштабах сказывается конечность массы и размеров броуновской частицы, а также конечность времени соударения. При учете этих обстоятельств, траектория броуновской частицы становится плавной кривой.

  Отметим, что свойство точного самоподобия характерно лишь для регулярных фракталов. Если вместо детерминированного способа построения включить в алгоритм их создания некоторый элемент случайности (как это бывает, например, во многих процессах диффузионного роста кластеров, электрическом пробое и т.д.), то возникают так называемые случайные фракталы. Основное их отличие от регулярных состоит в том, что свойства самоподобия справедливы только после соответствующего усреднения по всем статистически независимым реализациям объекта. При этом увеличенная часть фрактала не точно идентична исходному фрагменту, однако их статистические характеристики совпадают. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Самоподобие

  Разделим  отрезок прямой на равных частей. Тогда каждую часть можно считать копией своего отрезка, уменьшенной в раз. Очевидно, связаны  отношением . Если квадрат разбить на равных квадратов (с площадью, в раз меньше площади исходного), то соотношение запишется как . Если куб разбить на равных кубов (с объемом, в раз меньше объема исходного), то соотношение примет следующий вид: . Заметим, что размерность объекта, будь то одномерный отрезок, двумерный квадрат или трехмерный куб, появляется как степень в соотношении между , числом равных подобъектов, и коэффициентом подобия . А именно:

                                                                                       (1.1)

   Множества, построенные на рис. 1.1, обладает целой размерностью. Зададимся вопросом, возможно ли такое построение, при котором показатель в равенстве (1.1) не является целым, то есть такое, что при разбиении исходного множества на непересекающихся подмножеств, полученных масштабирование оригинала с коэффициентом , значение не будет выражаться целым числом. Такое множество называют самоподобным фракталом или размерностью подобия.

  

  Рис. 1.1

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  Глава 2. Одномерные комплексные отображения

  §1. Итерации комплексных функций. Множества Жюлиа

  Множества Жюлиа дают наиболее впечатляющие иллюстрации  того, как простой процесс может  привести к чрезвычайно запутанным множествам. Итерации (отображения)

                                        

  0,1,2, … с простой функцией на  комплексной плоскости , например с где - ненулевая константа, вызывают появление различных экзотических фракталов.

  Множества Жюлиа появляются в результате итераций функции  комплексной переменной и относится к дискретным динамическим системам. В общем, множество Жюлиа – это динамический репеллер (отталкивающее множество). Как правило – это фрактал. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Основы теории множества Жюлиа

  Для удобства изложения мы предположим, что  является полиномом степени с комплексными коэффициентами, . Заметим, что с небольшими изменениями теория остается справедливой, если - рациональная функция (где ) на расширенной комплексной плоскости , и многое из нее выполняется, если  - мероморфная функция (то есть функция, которая аналитична на за исключением конечного числа полюсов). Дадим короткое изложение основ теории комплексных отображений.

  Будем обозначать через  -ю итерацию (композицию) функций Если назовем неподвижной точкой , и если для некоторого целого - то периодической точкой ; наименьшее такое, что называется периодом . Мы назовем , , орбитой периода . Пусть - периодическая точка периода , с , где штрих означает комплексное дифференцирование. Точка называется

  - притягивающей, если ;

  -индифферентной, если ;

  - отталкивающей, если .

  Множество Жюлиа преобразования определим как замыкание множества отталкивающих периодических точек . Дополнение множества Жюлиа называется Фату и обозначается через . Здесь мы исследуем геометрию и фрактальную природу множества Жюлиа в случае, когда - полином. Мы покажем, что является инвариантным множеством как для отображения , так и для обратного отображения , то есть .  Также покажем, что множество непустое и компактное. Более того, итерации ведут себя «хаотически» на , и обычно является фракталом.

  Обратимся к простейшему примеру, когда  и, следовательно, . Точки, удовлетворяющие , это . Они являются отталкивающими, так как в таких точках. Таким образом, множество Жюлиа - это окружность, единичного радиуса: . Очевидно, и при , если ; , если и итерации для всех , если . Итак, множество Жюлиа является границей между множествами точек, которые стремятся к 0 и , то есть это окружность. Конечно, в этом особом случае не является фракталом рис 2.1.